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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle (limites, continuité, espace) (2 heures)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Continuité (2,5 points)}}

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et soit $a$ un réel de $I$.\\
Que signifie mathématiquement que $f$ est continue en $a$ ?

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[\begin{cases}f(x)=\dfrac{x^2-16}{x-4}\text{ si }x\neq 4\\f(4)=8\end{cases}\]
Montrer que $f$ est continue en 4.
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Continuité}}
%Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=\begin{cases}2x-5\text{ pour } x<1\\ x^2-k\text{ pour }x\geqslant 1\end{cases}.\]
%Pour quelle(s) valeurs(s) de $k$ la fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?

\subsection{\textcolor{blue}{Calcul de limites (3 points)}}

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $f(x)=5x^3-3x+4$ en $+\infty$.

\item Étudier la limite de $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$ en $-\infty$, $+\infty$ et en 1.

%\item Étudier la limite de $f(x)=\dfrac{x+2}{(x-3)^2}$ en $-\infty$, $+\infty$ et en~3.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit $f$ une fonction telle que, pour tout $x>1$, \[\dfrac{3x+\cos x}{x}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{3x+7}{x-1}.\]
$f$ a-t-elle une limite en $+\infty$ ? Justifier soigneusement.

%\subsection{}
%Étudier la limite en -2 de $f:x\longmapsto \dfrac{x+2}{\sqrt{x^2-x-6}}$.


\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}%Math'x
Soit $f$ la fonction définie sur $I=[-1~;~3]$ par \[f(x)=x^3-3x^2+4.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression de $f'(x)$, dérivée  de $f$.

\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur $I$.

\item Montrer que l'équation $f(x)=3$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~1]$.

\item Donner un encadrement de $\alpha$ sur $I$.
\end{enumerate}

%\subsection{}%Math'x
%Le cône ci-contre a pour hauteur $h$ en cm, rayon $r$ en cm et un volume $V$ en cm$^3$.\\
%On rappelle que $V=\dfrac{1}{3}\times\text{ aire de base }\times \text{hauteur}=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$.
%
%
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-4.,-1.)(4.,6.)
%\rput{0.}(0.,4.){\psellipse[linewidth=2.pt](0,0)(2.2360679774997925,1.)}
%\psline[linewidth=0.8pt](0.,0.)(2.2360679774997925,4.)
%\psline[linewidth=0.8pt](0.,0.)(-2.2360679774997925,4.)
%\uput[d](0,0){$O$}
%\psline(0,0)(0,4)
%\psline{<->}(0.4,0)(2.64,4)
%\uput[l](0,2){h}
%\uput[u](1,4){r}
%\uput[ul](0,4){O'}
%\uput[r](1.5,2){8}
%\psline[linestyle=dashed](0,4)(2.24,4)
%\end{pspicture*}
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que $V=\dfrac{1}{3}\pi\left(64-h^2\right)h$ pour $0\leqslant h\leqslant 8$.
%
%\item Le cône peut-il avoir un volume de 150 cm$^3$ ? Si oui, donner une valeur approchée de la ou des hauteur(s) au mm près.
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}%Math'x

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur [-3~;~3] par \[g(x)=2x^3-3x^2-1.\]
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur [-3~;~3].

\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur [-3~;~3] et en donner une valeur approchée à 0,01 près.

\item En déduire le signe de $g(x)$ sur [-3~;~3].
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{1-x}{x^3+1}$ sur $[-3~;~-1[ \cup ]1~;~3]$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour $x\neq -1$, \[f'(x)=\dfrac{g(x)}{\left(x^3+1\right)^2}.\]

\item Étudier la limite de $f(x)$ en $-\infty$, en $+\infty$ et en -1.

\item Donner le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

Pour la suite, l'espace est muni d'une repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overline{k}\right)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}%Radial Belin page 421
On considère les points $\text{A}\left(2~;~3~;~)4\right)$ et $\text{B}(1~;~5~;~0)$.\\
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ passant par A et perpendiculaire à la droite (AB).

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}%Radial Belin page 423
$\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont les deux plans d'équations cartésiennes :\\
$\mathscr{P}~:~x+3y-2z+3=0$\qquad ;\qquad $\mathscr{P}'~:~2x-4y+z+1=0$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont sécants selon une droite que l'on note $\mathscr{D}$.

\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$.
\end{enumerate}

\end{multicols}

\bigskip

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice facultatif (2 points)} }%Transmath TS
\noindent $n$ est un entier naturel non nul.\\
Démontrer que l'équation $x^{n+1}-2x^n+1=0$ a une racine comprise entre $\dfrac{2n}{n+1}$ et 2.

\label{fin}
\end{document}  