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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Terminale S : devoir sur feuille \no 4}}\end{center}

\emph{\og{}Arithmétique, algèbre, géométrie, trinité grandiose ! Triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connus est un insensé ! Il mériterait l'épreuve des plus grands supplices.\fg{}, d'après le Comte de Lautréamont (1846 - 1870))}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=2x-1+\ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right)$.\\
On note $\mathscr{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ du plan (unité graphique 2 cm).

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $f$ en 0 ; interpréter graphiquement le résultat.

\item 
\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $f$ en $+\infty$.

\item En démontrant que $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-(2x-1)]=0$, montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=2x-1$ est une asymptote à $\mathscr{C}_f$ en $+\infty$.\\
Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $\Delta$.
\end{enumerate}

\item Dresser le tableau de variation de $f$ (en justifiant toutes les étapes !).

\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10-{-2}$.

\item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathscr{C}_f$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Quand boire sa tasse de café ?}}
Il fait 20 degrés dans une pièce. Une personne vient de se faire du café et s'en verse dans une tasse. Il est à une température de 80 \degre. A bout de deux minutes, le café est à une température de 60 \degre.

Cette personne aime le boire quand il a refroidi et atteint une température de 40 \degre.

On admet que l'évolution de la température du café sui la loi de refroidissement de Newton et est donnée par la fonction $f(t)=60\mathrm{e}^{kt}+20$, où $k$ est une constante. (60 correspond à la différence des températures entre le café à l'instant $t=0$ et celle de la pièce)

\begin{enumerate}
\item Calculer cette constante $k$

\item Au bout de combien de temps peut-il espérer boire son café ?
\end{enumerate}

\subsection{}%Pondichéry avril 2013
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
  
On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.\index{complexes}
 
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.
 
À tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.
 
On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].
 
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à  (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (\textbf{\textcolor{blue}{propriété 1}}) et que B$M' = 2 \text{O}I$ (\textbf{\textcolor{blue}{propriété 2}	}). 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend 

$z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$. 
		\item Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
		
Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$. 
		\item Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${ }en prenant 2~cm pour unité graphique.
		 
Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à  l'aide du graphique.
	\end{enumerate} 
\item On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Écrire les coordonnées des points $I$, B et $M'$. 
		\item Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$. 
		\item Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{}%Pondichéry avril 2013
On s'intéresse à  l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
 
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : 

\[h(t) = 	\dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}\]

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h(t)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
 
On sait qu'initialement, pour $t = 0$, le plant mesure $0,1$~m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de $2$~m.
 
Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à  la croissance du plant de maïs étudié.

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur [0~;~250] par 

\[f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(t)$ en fonction de $t$ ($f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$). 
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~250]. 
\item Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à  $1,5$~m. 
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $t$ appartenant à  l'intervalle [0~;~250] on a $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$. 
 
Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~250] par 

$F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$. 
		\item Déterminer la valeur moyenne\index{valeur moyenne} de $f$ sur l'intervalle [50~;~100]. 

En donner une valeur approchée à  $10^{-2}$ près et interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}  
\item On s'intéresse à  la vitesse de croissance du plant de maïs  ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$. 

En utilisant le graphique donné ci-dessous, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-5,-0.2)(230,2.2)
\multido{\n=0+20}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2.2)}
\multido{\n=0.0+0.2}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(230,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.2]{->}(0,0)(-5,-0.18)(230,2.2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{230}{2 19 2.71828 0.04 x mul exp div 1 add div}
\psline(-5,2)(230,2)\uput[d](10,2){$y = 2$}
\uput[u](210,0){temps $t$ (en jours)}
\uput[r](0,2.15){hauteur (en mètres)}
\end{pspicture}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}  