\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 3}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

Déterminer les limites suivantes : 

\begin{enumerate}[a) ]
\item $\lim_{x\to+\infty} \dfrac{-3x+7\sqrt{x}+2}{-3+x}$

\item  $\lim_{x\to+\infty} \left[\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right]$.
\end{enumerate}


%\subsection{}%d'après Asie juin 2013
%
%  On considère la suite $(w_n)$ définie par : $w_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ :
%\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{center}
%$w_{n+1} = \dfrac{1 + 3w_n}{3 + w_n}.$
%\end{center}
%\vspace{-0.5\baselineskip}On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $w_n> 1$.
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item \'Etablir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $w_{n+1}-w_n= \dfrac{\left(1 - w_n \right)\left(1 + w_n \right)}{3+ w_n}$.
%		\item Déterminer le sens de variation de la suite $(w_n)$.
%
%En déduire que la suite $(w_n)$ converge.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}


\subsection{}

On considère la suite $(u_n)$ 	définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{center}
$u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_n}{0,5 + u_n}.$
\vspace{-0.5\baselineskip}\end{center}
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
      \begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
1&\textrm{\emph{Entrées :}}\\
2.&Soit un entier naturel non nul $n$\\
3.&\textrm{\emph{Initialisation :}}\\
4.&Affecter à $u$ la valeur 2\\
5.&\textrm{\textit{Traitement et sortie}}\\
6.&POUR $i$ allant de 1 à $n$\\
7.&Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1+\nombre{0,5}u}{\nombre{0,5}+u}$\\
8.&Afficher $u$\\
9.&FinPour\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$.\linebreak Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 $i$  & 1 & 2 & 3 \\\hline
 $u$ & &&\\\hline
 \end{tabularx}
 
\item Pour $n = 12$, on a obtenu :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 $i$  & 4 & 5 & 6&7&8 \\\hline
 $u$ & \nombre{1,0083}&\nombre{0,9973}&\nombre{1,0009}&\nombre{0,9997}&\nombre{1,0001} \\\hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 $i$ & 9&10&11&12 \\\hline
 $u$ & \nombre{0,99997}&\nombre{1,00001} &\nombre{0,999996} & \nombre{1,000001}  \\\hline
\end{tabularx}

Conjecturer le comportement de la suite $(u_n)$ à l'infini.
\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
		\item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_n \neq 1$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : \\
		$u_n = \dfrac{1 + v_n}{1 - v_n}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Le jeu est-il favorable ?}}%\no 59 Hyperbole 2002
On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant des boules indiscernables au toucher.

L'urne $U_1$ contient $n$ boules blanches et 3 boules noires ($n$ entier, $n\geqslant 1$).

L'urne $U_2$ contient 2 boules blanches et 1 boule noire.

On tire au hasard une boule de $U_1$ et on la met dans $U_2$ puis on tire au hasard une boule de $U_2$ et on la met dans $U_1$ ; l'ensemble de ces deux opérations constitue une épreuve.

\begin{enumerate}
\item On considère l'événement $A$: \og{}Après l'épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de départ\fg{}.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p(A)=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n+2}{n+3}\right)$.

\item Déterminer la limite de $p(A)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\item On considère l'événement $B$ : \og{}Après l'épreuve, l'urne $U_2$ contient une seule boule blanche\fg{}.

Vérifier que $p(B)=\dfrac{6}{4(n+3)}$.

\item Un joueur mise 20 \euro{} et effectue une épreuve. L'issue de cette épreuve, on compte le nombre de boules blanches contenues dans l'urne $U_2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $U_2$ contient 1 boules blanches, le joueur reçoit $2n\text{ \euro}$.

\item Si $U_2$ contient 2 boules blanches, le joueur reçoit $n\text{ \euro}$.

\item Si $U_2$ contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi le joueur  n'a aucun intérêt à jouer tant que $n$ ne dépasse pas 10.

Dans la suite, on considère $n>10$ et on introduit la variable aléatoire $X$ qui prend pour valeur le gain algébrique du joueur.

Par exemple, si après l'épreuve, l'urne $U_2$ contient une seule boule blanche, $X=2n-20$.

\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.

\item Calculer l'espérance de $X$.

\item On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance est strictement positive.

Montrer qu'il en est ainsi dès que l'urne $U_1$ contient au moins 25 boules blanches.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\subsection{}
%
%
%On considère la suite $(x_n)$ définie par : $x_0=1$ et $x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n}$ pour $n\geqslant 0$.\\
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n$, $x_n³1$.
%
%\item Soit $\varphi$ (lire  \og{}phi\fg{}) la racine positive de l'équation $x=1+\frac{1}{x}$.Calculer $\varphi$.(Ce nombre est également appelé nombre d'or)
%
%\item Sans utiliser la valeur de $\varphi$ trouvée au 1°, mais seulement la relation $\varphi=1+\frac{1}{\varphi}$, établir que : \[x_n-\varphi=\frac{\varphi-x_{n-1}}{\varphi  x_{n-1}}.\]
%
%\item En déduire que : $\left|x_n-\varphi\right|\leqslant \frac{\left|x_{n-1}-\varphi\right|}{\varphi}$.
%
%\item Démontrer que : $\left|x_n-\varphi\right|\leqslant \left(\frac{2}{3}\right)^n$ pour $n³0$.
%
%\item En déduire la limite de la suite $(x_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
%
%\end{enumerate}







%\subsection{Baccalauréat France métropolitaine, juin 2009, 4 points)}
%
%
%\it Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.
%
%
%
%\begin{enumerate}
%\item On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour
%  tout entier naturel $n$: 
%  $ u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+4$
%
%  On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-6$. 
%
%
%\begin{enumerate}
%
%  \item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en
%    fonction de $v_n$. 
%
%        Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? 
%
%    \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$: 
%      $ u_n=-5\left(\frac{1}{3}\right)^n+6 .$
%
%    \item Etudier la convergence de la suite $(u_n)$. 
%\end{enumerate}
%
%
%  \item On considère la suite $(w_n)$ dont les termes vérifient,
%    pour tout nombre entier $n\geq 1$: 
%    \[ n w_n = (n+1)w_{n-1}+1 \ \mbox{ et } \ w_0=1\ .
%    \]
%
%    
%    Le tableau suivant donne les premiers termes de cette suite: 
%    \[\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline
%      $w_0$ & $w_1$ & $w_2$ & $w_3$ & $w_4$ & $w_5$ & 
%      $w_6$ & $w_7$ & $w_8$ & $w_9$ \\\hline
%      $1$ & $3$ & $5$ & $7$ & $9$ & $11$ & $13$ & $15$ & $17$ & $19$ \\\hline
%    \end{tabular}\]
%
%    \begin{enumerate}
%    \item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. 
%          \item{\it Dans cette question toute trace de recherche, même
%      incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en
%      compte dans l'évaluation.}
%      
%      Donner la nature de la suite $(w_n)$. Calculer $w_{2009}$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}



\subsection{}

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2;0\}$ par \\
$f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x^2+2x}$. 

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
\item Déterminer les limites de $f$ en $-2$ et $0$. 
\item Interpréter graphiquement les résultats des deux questions
  précédentes. 
\item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$. 
\item Tracer dans un repère les asymptotes de $\mathcal{C}_f$ et
  l'allure de $\mathcal{C}_f$. 
\end{enumerate}


\subsection{}%Pondichéry avril 2014, exercice 4
Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1.

Dans le repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées
respectives M$\left(1~;~1~;~\dfrac{3}{4}\right)$,\: N$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$,\: P$\left(1~;~0~;~- \dfrac{5}{4}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer M, N et P sur la figure donnée ci-dessous.
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{MN}}$ et $\overrightarrow{\text{MP}}$.

En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.
\item On considère l'algorithme 1 donné en annexe.
	\begin{enumerate}
		\item Exécuter \emph{à la main} cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P
données ci-dessus.
		\item À quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme ? Qu'en déduire pour le
triangle MNP ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu'il teste
et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.
\item On considère le vecteur $\overrightarrow{n}(5~;~- 8~;~4)$ normal au plan (MNP).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).
		\item On considère la droite $\Delta$ passant par F et de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$.
		
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite $\Delta$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$.
		\item On donne FK $= \sqrt{\dfrac{27}{35}}$.

Calculer le volume du tétraèdre MNPF{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(7.6,8)
\pspolygon(0.5,6)(0.5,0.8)(5,0.2)(5,5.4)%EABF
\psline(5,0.2)(7.2,1.6)(7.2,6.8)(5,5.4)%BCGF
\psline(7.2,6.8)(2.7,7.4)(0.5,6)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.8)(2.7,2.2)(2.7,7.4)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.7,2.2)(7.2,1.6)%DC
\uput[dl](0.5,0.8){A} \uput[d](5,0.2){B} \uput[r](7.2,1.6){C} \uput[ul](2.7,2.2){D} 
\uput[ul](0.5,6){E} \uput[u](5,5.4){F} \uput[ur](7.2,6.8){G} \uput[u](2.7,7.4){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}%Liban 2014
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte
\medskip \index{Vrai--Faux}

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.\index{géométrie dans l'espace}

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + 3z + 1 = 0$

et la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est
 
$\begin{cases}
x=\phantom{-5 +}2t\\
y=\phantom{-}1+t\quad,\quad t\in\mathbb{R} \\
z=-5+3t
\end{cases}$

On donne les points $A(1~;~1;~0),\;B(3~;0~;~-1)$ et $C(7~;1~;~-2)$
\medskip

\textbf{Proposition 1 :}

Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est 
$\begin{cases}
x=\phantom{-}5-2t\\
y=-1+\phantom{2}t\quad \\
z=-2+\phantom{2}t
\end{cases},\: t\in\mathbb{R}$
\medskip

\textbf{Proposition 2 :}

Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales.
\bigskip

\textbf{Proposition 3 :}

Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires.
\bigskip

\textbf{Proposition 4 :}

La droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8~;~-3;~-4)$.
\bigskip

\textbf{Proposition 5 :}

Les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.\

 \subsection{\textcolor{blue}{Exercice facultatif}}%https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2014/10/DM-maths-terminale-S-1.pdf
Soit $m$ un nombre réel..\\
Étudier, selon les valeurs de $m$, la limite en $+\infty$ de la fonction $u:x\longmapsto \dfrac{(m^2 -m)x^2 +2mx+1}{(m-1)x^2 +x-2}$.


\end{multicols}
 \label{fin}
\end{document}  