\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : DM \no 2}}\end{center}

\emph{Si l'esprit d'un homme s'égare, faites-lui étudier les mathématiques car dans les démonstrations, pour peu qu'il s'écarte, il sera obligé de recommencer. (Francis Bacon)}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Démontrer qu'une suite croissante et convergente vers un réel $\ell$ est majorée par $\ell$.

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_n=\dfrac{\cos n}{n+1}$.


\begin{enumerate}

\item Rappeler pourquoi les nombres $\cos n$ sont-ils bornés ?

\item En déduire que cette suite est convergente et a pour limite 0.

\end{enumerate}

\subsection{}
$\left(u_n\right)$ est une suite convergente. \\
La suite $\left(\dfrac{1}{u_n}\right)$ est-elle alors convergente ?


\subsection{}
On considère une suite arithmético-géométrique $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=au_n+b$ où $a$ et $b$ sont des réels non nuls et $a\neq 1$.

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction $x\mapsto ax+b$. Déterminer son point fixe, c'est-à-dire la solution $\beta$ de l'équation $f(x)=x$.

\item Puisque $\beta$ est le point fixe de $f$, on a : $\beta=a\beta+b$.

On définit alors une suite auxiliaire $\left(v_n\right)$ par \[v_n=u_n-\beta\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}.\]

Montrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$. On précisera son premier terme en fonction de $u_0$.

\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Application}} : soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n-7\end{cases}$.

Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\item Cette suite est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
\end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Suites mêlées}}%\no 56 page 31 sesamath
  On considère les suites mêlées $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=-10$, $v_0=20$ et :
  $$\left\{\begin{array}{l}
  u_{n+1}=\nombre{0,7}u_n+\nombre{0,8}v_n\\
  v_{n+1}=\nombre{0,8}u_n+\nombre{0,7}v_n\\
  \end{array}\right.\textrm{ pour tout }n\in\mathbb{N}.$$
  \begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
            \item Calculer $u_1$, $v_1$, $u_2$ et $v_2$.
            \item Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont-elles arithmétiques ? géométriques ?
          \end{enumerate}

    \item \begin{enumerate}
            \item Montrer que la suite $(a_n)$ définie pour tout \\
            $n\in\mathbb{N}$ par $a_n=u_n+v_n$ est géométrique.
            \item En déduire le terme général de $(a_n)$ puis $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n$.
          \end{enumerate}
    \item\begin{enumerate}
            \item Montrer que la suite $(b_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $b_n=u_n-v_n$ est géométrique.
            \item En déduire le terme général de $(b_n)$ puis $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} b_n$.
            \item Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont-elles convergentes ?
          \end{enumerate}
    \item Déduire des questions précédentes les termes généraux de $(u_n)$ et $(v_n)$.
    \item Déterminer
      $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n u_k$.
  \end{enumerate}

\subsection{}%D'après Bac (Polynésie - 2013) \no 57 page 31 sesamath
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$,
\begin{center}
$u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}.$
\end{center}
\vspace{-1\baselineskip}\begin{enumerate}
\item
  	\begin{enumerate}
  		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
  		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a $0 < u_n$.
  	\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.

\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par
$v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$.
  	\begin{enumerate}
  		\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $3$.
  		\item Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
  		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a :
  \begin{center}
  $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}.$
  \end{center}
  		\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  