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\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices du bac Métropole Réunion juin 2018}}\end{center}
\setcounter{subsection}{1}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points}}
\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d'une ville.

La vaccination contre la grippe est possible; elle doit être renouvelée chaque année.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques
individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n'est pas toujours
totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la
grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l'issue de la période hivernale a permis de constater que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]40\,\% de la population est vaccinée ;
\item[$\bullet~~$]8\,\% des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;
\item[$\bullet~~$]20\,\% de la population a contracté la grippe.
\end{itemize}

\smallskip

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les
évènements :

\begin{description}
\item[ ] $V$ : \og la personne est vaccinée contre la grippe \fg{} ;
\item[ ] $G$ : \og la personne a contracté la grippe \fg.\index{probabilité}
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité de l'évènement $G$.
		\item Reproduire l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés indiqués sur quatre de ses branches.\index{arbre}
		
		\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$~}\naput{\ldots}}
	{\TR{$G$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{G}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V}$~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$G$}
	\TR{$\overline{G}$}
	}
}	
		
		\end{center}
	\end{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.
\item La personne choisie n'est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu'elle ait contracté la grippe est égale à $0,28$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette
ville.

\medskip

Après la période hivernale, on interroge au hasard $n$ habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à $n$ tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à $0,4$.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les $n$
interrogées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ?\index{loi binomiale}
\item Dans cette question, on suppose que $n = 40$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité qu'exactement $15$ des $40$ personnes interrogées soient vaccinées.
		\item Déterminer la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
 	\end{enumerate}
\item  On interroge un échantillon de \np{3750} habitants de la ville, c'est-à-dire que l'on suppose ici que $n = \np{3750}$.
	
On note $Z$ la variable aléatoire définie par : $Z = \dfrac{X - \np{1500}}{30}$.
	
On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z$ peut être approchée par la
loi normale centrée réduite.\index{loi normale}
	
En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu'il y ait entre \np{1450} et \np{1550} individus vaccinés dans l'échantillon interrogé.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}
Le but de cet exercice est d'examiner, dans différents cas, si les hauteurs d'un tétraèdre sont concourantes, c'est-à-dire d'étudier l'existence d'un point d'intersection de ses quatre hauteurs.\index{géométrie dans l'espace}

\emph{On rappelle que dans un tétraèdre} MNPQ, \emph{la hauteur issue de} M \emph{est la droite passant par} M \emph{orthogonale au plan} (NPQ).

\bigskip

\textbf{Partie A Étude de cas particuliers}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH.

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8,7.3)
\psline(0.5,1)(4.8,0.5)(6.8,1.3)(6.8,6.3)(4.8,5.5)(4.8,0.5)%ABCGFB
\psline(6.8,6.3)(2.5,6.8)(0.5,6)(4.8,5.5)%GHEF
\psline(0.5,1)(0.5,6)%AE
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0.5,1)(2.5,1.8)(2.5,6.8)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](7.2,1.3)(2.5,1.8)
\uput[dl](0.5,1){A} \uput[d](4.8,0.5){B} \uput[r](6.8,1.3){C} \uput[ur](2.5,1.8){D} 
\uput[l](0.5,6){E} \uput[u](4.8,5.5){F} \uput[ur](6.8,6.3){G} \uput[u](2.5,6.8){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées \og grandes diagonales\fg{} du cube, sont concourantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le tétraèdre ABCE.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.
		\item Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes?
 	\end{enumerate}
\item On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ACH) est : $x - y + z = 0$.\index{equation de plan@équation de plan}
		\item En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF{}.
		\item Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues respectivement des sommets A, C et H.
		
Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.}

\bigskip

\textbf{Partie B Une propriété des tétraèdres orthocentriques}

\medskip

Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et
N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans
(NPQ) et (MPQ) respectivement.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,8.2)
\pspolygon(3.9,8)(0.5,0.5)(7.8,0.5)%MNP
\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](0.5,0.5)(5,2)(3.9,8)%NQM
\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](5,2)(7.8,0.5)%QP
\psline[linestyle=dotted](3.9,8)(3.9,0.8) \psframe(3.9,0.8)(4.1,1)
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(6,3.2) \rput{-60}(6,3.2){\psframe(0.2,0.2)}
\uput[u](3.9,8){M} \uput[dl](0.5,0.5){N} \uput[dr](7.8,0.5){P} 
\uput[ur](5,2){Q} \uput[ul](3.9,2.2){K} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.
		\item Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan (MNK) ? Justifier la réponse.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.
	
Ainsi, on obtient la propriété suivante :
	
Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
	
(On dit que deux arêtes d'un tétraèdre sont \og opposées\fg{} lorsqu'elles n'ont pas de sommet commun.)
\end{enumerate}

\bigskip

\columnbreak

\textbf{Partie C Application}

\medskip

Dans un repère orthonormé, on considère les points :

\[\text{R}(-3~;~5~;~2) ,\text{S}(1~;~4~;~-2) , \text{T}(4~;~-1~;~5)\quad  \text{et U}(4~;~7~;~3).\]

Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On pose $z_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$ :

\[z_{n+1} = \dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4}z_n.\]

On note $A_n$ le point du plan d'affixe $z_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que :
		
\[\dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}.\]
		
		\item En déduire l'écriture de chacun des nombres complexes $z_1$,  $z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle et vérifier que $z_3$ est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.
		\item Représenter graphiquement les points $A_0$ , $A_1$ , $A_2$ et $A_3$ ; on prendra pour unité le centimètre.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\index{récurrence}
		
\[z_n = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}}.\]
		
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_n\right|$.
		
Déterminer la nature et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\index{suite complexe}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $k$,
		
		\[\dfrac{z_{k+1} - z_{k}}{z_{k+1}} = - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{i}.\]

En déduire que, pour tout entier naturel $k$, on a l'égalité : $A_kA_{k+1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{O}A_{k+1}$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, on appelle $\ell_n$ la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points $A_0$,\: $A_1$,\: $A_2$, \ldots , $A_n$.
		
On a ainsi : $\ell_n = A_0A_1 + A_1A_2 + \ldots + A_{n-1}A_n$.
		
Démontrer que la suite $\left(\ell_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  