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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices de type bac sur les nombres complexes}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\fbox{\begin{minipage}{8cm}
\textbf{\textcolor{blue}{Préambule}}
Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.\\

\begin{enumerate}
\item Soient $\Omega(a~;~b)$ un point fixe et  $M(x~;~y)$ un point variable et soit $r>0$ un nombre réel.\\
Trouver, en utilisant la définition d'un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$, une équation cartésienne du cercle $\mathscr{C}(\Omega~;~r)$.

\item Réciproquement : une équation du type \[x^2+ax+y^2+bx+c=0\] est-elle toujours une équation cartésienne de cercle ?
\end{enumerate}

\end{minipage}}
\bigskip

À tout nombre complexe $z$ différent de $-2\mathrm{i}$, on associe le nombre complexe $Z=\dfrac{z-2+\mathrm{i}}{z+2\mathrm{i}}$.\\
On pose $z=x+\mathrm{i}y$, $x$ et $y$ réels.

\begin{enumerate}
\item Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction de $x$ et de $y$.\\
On vérifiera que $\Re(Z)=\dfrac{x^2+y^2-2x+3y+2}{x^2+(y+2)^2}$.

\item En déduire 
\begin{itemize}
\item l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ du plan complexe, d'affixe $z$, tels que $Z$ est réel.

\item l'ensemble $\mathscr{F}$ des points $M$ du plan complexe, d'affixe $z$, tels que $Z$ est imaginaire pur.
\end{itemize}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2015}}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. À tout point $M$ d'affixe $z$
du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par:

\[z' = z^2 + 4z + 3.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé.

Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points
sous forme algébrique, \sout{puis sous forme exponentielle}.
\item  Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe 
$\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$.

Montrer que OAB est un triangle équilatéral.
\item  Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels.
\item  Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2015}}
\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.\\
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{\textbf{1.} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $S$
l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie les deux conditions :
\[|z - 1| = |z - \text{i}|\quad  \text{et} \quad  |z - 3 - 2\text{i}| \leqslant 2.\]

Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre le 
point de coordonnées (3~;~2) et de rayon 2, et la droite d'équation $y = x$.

Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-1)(6,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(6,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.8,-0.9)(6,5.5)
\psline(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\pscircle(3,2){2}
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}\uput[r](1.177,1.177){\scriptsize A}\uput[d](3.823,3.823){\scriptsize B}
\psdots(3,2)(1.177,1.177)(3.823,3.823)
\end{pspicture*}}

\medskip

\textbf{1.}  \textbf{Affirmation 1 :} l'ensemble $S$ est le segment [AB].

\textbf{2.}  \textbf{Affirmation 2 :} le nombre complexe $\left(\sqrt{3} +\text{i}\right)^{\np{1515}}$ est un réel.\\
\emph{indication} : En appelant $a$ le nombre $\sqrt{3}+\mathrm{i}$, calculer $a^3$ puis $a^6$.

\medskip

\emph{Pour les questions 3 et 4, on considère les points} E (2 ; 1 ; - 3), F (1 ; -1 ; 2) \emph{et} G (-1 ; 3 ; 1) \emph{dont les coordonnées sont définies dans un repère orthonormé de l'espace.}

\textbf{3.}  \textbf{Affirmation 3 :} une représentation paramétrique de la droite (EF) est donnée par:
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2t\\
y&=&-3 + 4t\\
z&=&7-10t
\end{array}\right., t\: \in \mathbb{R}.\]

\textbf{4.}  \textbf{Affirmation 4 :} une mesure en degré de l'angle géométrique $\widehat{\text{FEG}}$, arrondie au degré, est 50\degre.


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  