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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac (loi exponentielle et loi normale)}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2018}}
Les quinze jours précédant la rentrée universitaire, le standard téléphonique d'une mutuelle étudiante
enregistre un nombre record d'appels.

Les appelants sont d'abord mis en attente et entendent une musique d'ambiance et un message
préenregistré.

Lors de cette première phase, le temps d'attente, exprimé en secondes, est modélisé par la variable
aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,02$~s$^{-1}$.\index{loi exponentielle}

Les appelants sont ensuite mis en relation avec un chargé de clientèle qui répond à leurs questions.

Le temps d'échange, exprimé en secondes, lors de cette deuxième phase est modélisé par la
variable aléatoire $Y$, exprimée en secondes, qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 96$~s et d'écart-type $\sigma = 26$~s.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la durée totale moyenne d'un appel au standard téléphonique (temps d'attente et
temps d'échange avec le chargé de clientèle) ?
\item  Un étudiant est choisi au hasard parmi les appelants du standard téléphonique.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'étudiant soit mis en attente plus de 2 minutes.
		\item Calculer la probabilité pour que le temps d'échange avec le conseiller soit inférieur à 90
secondes.
 	\end{enumerate}
\item  Une étudiante, choisie au hasard parmi les appelants, attend depuis plus d'une minute d'être
mise en relation avec le service clientèle. Lasse, elle raccroche et recompose le numéro. Elle
espère attendre moins de trente secondes cette fois-ci.
	
Le fait de raccrocher puis de rappeler augmente-t-il ses chances de limiter à $30$~secondes
l'attente supplémentaire ou bien aurait-elle mieux fait de rester en ligne ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2018}}
On étudie certaines caractéristiques d'un supermarché d'une petite ville.

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A - Démonstration préliminaire}}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$.\index{loi exponentielle}

On rappelle que l'espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$, est égale à:

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\displaystyle\int_{0}^{x}  0,2t\text{e}^{-0,2t}\:\text{d}t.\]

Le but de cette partie est de démontrer que $E(X) = 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(t) = 0,2t\text{e}^{-0,2t}$.

On définit la fonction $G$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $G(t) = (- t - 5)\text{e}^{-0,2t}$.

Vérifier que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.\index{primitive}
\item  En déduire que la valeur exacte de $E(X)$ est 5.

\emph{Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant }:

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \text{e}^{- 0,2x} = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B - Étude de la durée de présence d'un client dans le supermarché}}

\medskip

Une étude commandée par le gérant du supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en
minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$.

Cette variable $T$ suit une loi normale d'espérance $40$ minutes et d'écart type un réel positif noté $\sigma$.\index{loi normale}

Grâce à cette étude, on estime que $P(T < 10) = 0,067$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
\item Dans cette question, on prend $\sigma = 20$~minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui
passent plus d'une heure dans le supermarché ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie C - Durée d'attente pour le paiement}}

\medskip

Ce supermarché laisse le choix au client d'utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou
bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La durée d'attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une
variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$~min$^{-1}$.\index{loi exponentielle}
	\begin{enumerate}
		\item Donner la durée moyenne d'attente d'un client à une borne automatique de paiement.
		\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, que la durée d'attente d'un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à $10$ minutes.
	\end{enumerate}
\item L'étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante:
	
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, 86\,\% attendent moins de $10$ minutes ;
\item[$\bullet~~$] parmi les clients passant en caisse, 63\,\% attendent moins de $10$ minutes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On choisit un client du magasin au hasard et on définit les évènements suivants :

$B$ : \og le client paye à une borne automatique \fg{} ;

$\overline{B}$ : \og le client paye à une caisse avec opérateur \fg{} ;

$S$ : \og la durée d'attente du client lors du paiement est inférieure à $10$ minutes \fg.

Une attente supérieure à dix minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique
engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que
plus de 75\,\% des clients attendent moins de $10$ minutes.

Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de
paiement pour que cet objectif soit atteint ?
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie D - Bons d'achat}

\medskip

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le
nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à
gratter par tranche de $10$~\euro{} d'achats.

Par exemple, si le montant des achats est 58,64~\euro, alors le client obtient $5$ cartes ; si le montant est $124,31$~\euro, le client obtient $12$~cartes.

Les cartes gagnantes représentent $0,5$\,\% de l'ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est
suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une carte à un tirage avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un client effectue des achats pour un montant de 158,02~\euro.

Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'il obtienne au moins une carte gagnante ?\index{probabilité}
\item  À partir de quel montant d'achats, arrondi à 10~\euro, la probabilité d'obtenir au moins une carte
gagnante est-elle supérieure à 50\,\% ?
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  