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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac (géométrie dans l'espace)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2014}}
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points 

\[\text{A}(5~;~-5~;~2), \text{B} (-1~;~1~;~0), \text{C}(0~;~1~;~2)\quad  \text{et D}(6~;~6~;~-1).\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire. 
\item 
	\begin{enumerate}\index{vecteur normal}
		\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$  est un vecteur normal au plan (BCD). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A. 
\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (BCD). 
\item Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. 

\emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule  $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times  h$, où $\mathcal{B}$ est  
l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.} 
\item On admet que AB = $\sqrt{76}$ et AC $= \sqrt{61}$.
 
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle 
$\widehat{\text{BAC}}$. 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban juin 2014}}
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte
\medskip \index{Vrai--Faux}

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.\index{géométrie dans l'espace}

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + 3z + 1 = 0$

et la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est
 
$\begin{cases}
x=2t\\
y=1+t\quad,\quad t\in\mathbb{R} \\
z=-5+3t
\end{cases}$

On donne les points $A(1~;~1;~0),\;B(3~;0~;~-1)$ et $C(7~;1~;~-2)$
\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Proposition 1 :}}

Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est \index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
$\begin{cases}
x=5-2t\\
y=-1+t\quad,\quad t\in\mathbb{R} \\
z=-2+t
\end{cases}$
\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Proposition 2 :}}

Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales.
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Proposition 3 :}}

Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires.
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Proposition 4 :}}

La droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8;~-3;~-4)$.
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Proposition 5 :}}

Les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2014}}
On considère un cube ABCDEFCH donné en annexe 2 (à rendre avec la copie).\index{géométrie dans l'espace} 
 
On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que 

$\overrightarrow{\text{HP}}  = \dfrac{1}{4} \overrightarrow{\text{HG}}$. 

\medskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Section du cube par le plan (MNP)}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.
 
Construire le point L 
\item On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d'intersection.
 
On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d'intersection. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Construire l'intersection des plans (MNP) et (ABF).
	\end{enumerate} 
\item En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).
\end{enumerate}


 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip
 
L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère. 
\item Déterminer les coordonnées du point L. 
\item On admet que le point T a pour coordonnées $\left(1~;~1~;~\frac{5}{8}\right)$.
 
Le triangle TPN est-il rectangle en T ? 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7,14) 
\psframe(0.3,0.3)(6.3,6.3)%ABFE
\psline(6.3,0.3)(8,2.8)(8,8.8)(6.3,6.3)%BCGF
\psline(8,8.8)(2,8.8)(0.3,6.3)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2,2.8)(8,2.8)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2,2.8)(2,8.8)%DH
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.15,7.55)(7.15,4.55)(3.5,8.8)
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](6.3,0.3){B} \uput[r](8,2.8){C} 
\uput[ur](2,2.8){D} \uput[ul](0.3,6.3){E} \uput[ul](6.3,6.3){F} 
\uput[ur](8,8.8){G} \uput[ul](2,8.8){H} \uput[ul](1.15,7.55){M} 
\uput[dr](7.15,4.55){N} \uput[u](3.5,8.8){P} 
\end{pspicture}

\end{center}




\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  