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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry mai 2018}}
Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

\smallskip

Les points A, B et C ont pour affixes respectives $a = - 4,\: b = 2$ et $c = 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les trois points A$'$, B$'$ et C$'$ d'affixes respectives $a'= \text{j}a$, $b'= \text{j}b$ et $c'= \text{j}c$ où j est le nombre complexe $-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de j.
		
En déduire les formes algébriques et exponentielles de $a'$, $b'$ et $c'$.
		\item Les points A, B et C ainsi que les cercles de centre O et de rayon 2, 3 et 4 sont
représentés sur le graphique fourni en \textbf{Annexe}.
		
Placer les points A$'$, B$'$ et C$'$ sur ce graphique.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que les points A$'$, B$'$ et C$'$ sont alignés.
\item  On note M le milieu du segment [A$'$C], N le milieu du segment [C$'$C] et P le milieu du
segment [C$'$A]. 
	
Démontrer que le triangle MNP est isocèle.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](2,0){B} \uput[dr](4,0){C}\uput[dl](-4,0){A}
\pscircle(0,0){2}\pscircle(0,0){3}\pscircle(0,0){4}
\psdots(-4,0)(2,0)(4,0)
\end{pspicture}

\end{center}
\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2018}}
\begin{enumerate}
\item Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes $1 + \text{i}$ et $1 - \text{i}$.
\item  Pour tout entier naturel $n$, on pose 
\[S_n = (1 + \text{i})^n + (1 - \text{i})^n.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme trigonométrique de $S_n$.
		\item \emph{Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l'absence de réponse n'est
pas pénalisée.}
		
\smallskip
		
\textbf{Affirmation A }: Pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $S_n$ est un nombre réel.
		
\textbf{Affirmation B }: Il existe une infinité d'entiers naturels $n$ tels que $S_n = 0$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2014} }
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : \index{complexes}

\[z_{0} = 1\quad  \text{et}\quad  z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\]

On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison 
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\index{suite géométrique}
		\item En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|X|}\hline 
Variables& $n$ entier naturel\\  
&$R$ réel\\ 
&$P$ réel strictement positif\\ \hline 
Entrée& Demander la valeur de $P$\\ \hline  
Traitement &$R$ prend la valeur 1\\ 
&$n$ prend la valeur 0\\ 
&Tant que $R > P$\\ 
&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
&\hspace{0,5cm}$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$\\ 
&Fin tant que\\ \hline 
Sortie &Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ? 
		\item Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$. 
		\item On admet que $z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{\'i}\frac{n\pi}{6}}$.
		 
Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées. 
		\item Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
		 
Les traits de construction seront apparents.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.3)(1.1,0.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-0.6,-0.3)(1.1,0.8)
\psdots(1;0)(0.866;30)(0.75;60)(0.6495;90)(0.5625;120)(0.487139;150)
\psline(1;0)(0.866;30)(0;0)(0.75;60)(0.866;30)
\psline(0.75;60)(0.6495;90)(0;0)(0.5625;120)(0.6495;90)
\psline(0.5625;120)(0.487139;150)(0;0)
\uput[ur](1;0){$A_{0}$} \uput[ur](0.866;30){$A_{1}$} \uput[ur](0.75;60){$A_{2}$} 
\uput[ur](0.6495;90){$A_{3}$} \uput[ul](0.5625;120){$A_{4}$} \uput[ul](0.487139;150){$A_{5}$} \uput[dl](0,0){O}
\psline[arrowsize=3pt 4]{->}(0,0)(1,0) 
\end{pspicture}
\end{center}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  