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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{\huge Exercices sur le théorème des valeurs intermédiaires}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+x^2-x$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est continue sur \\
$[-1~;~2]$.

\item Calculer $f(-1)$ et $f(2)$.

\item En déduire que l’équation $f(x)=5$ admet au moins une solution dans $[-1~;~2]$.

\end{enumerate}



\subsection{}
Soit $f$ est la fonction définie sur l’intervalle [-3~;~6] par $f(x) = x^3-12x$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f’(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$.

\item Pourquoi l’équation $f(x) = 30$ a-t-elle des solutions dans l’intervalle [-3~;~6] ?

\item Combien cette équation a-t-elle de solutions ?

\item En donner une approximation d’amplitude $10^{-2}$, en utilisant la calculatrice.

\end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{}
$ƒ$ est définie et continue sur \\
$I=[-4~;~1]$ par $f:x\mapsto x^{3}+6x^{2}+9x+3.$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$.

\item En justifiant votre réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation \\
$f(x)=2$ dans $I$.
\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation \\
$f(x)=4$ admet une solution unique, $\alpha$, dans l'intervalle $I$.

\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ entre deux entiers consécutifs (en justifiant votre réponse).

\item Déterminer une valeur approchée par excès de $\alpha$ au millième près (en justifiant votre réponse).

\end{enumerate}


\item On admet que l'équation \[f(x)=0\] admet une solution unique $\beta$ dans [-3~;~-1].\\
Déterminer un encadrement de $\beta$ à $10^{-2}$ près (en justifiant la réponse).
\end{enumerate}



\subsection{}
Montrer que l'équation $\dfrac{2x^3-1}{3x^2+1}=0$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$.


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  