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\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices sur la dérivation}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\begin{cases}g(x)=\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\text{ si }x\neq 0\\
g(0)=0\end{cases}$.

On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Étudier la parité de $g$.

\item Montrer que $g$ est continue en 0.

\item La fonction $g$ est-elle dérivable en 0 (on pourra poser $h=x^2$).
Interpréter graphiquement.

\item Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

Interpréter graphiquement.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]-\infty~;~0[$ par :

$f(x)=x^2-x\text{ et }g(x)=\frac3x.$\\
Démontrez que les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ admettent des tangentes parallèles au point d'abscisse -1.

\subsection{}
Soit $f$ une fonction définie sur l'ensemble $\mathscr{D}$ ; déterminer sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=x^5+\dfrac{1}{2}x^4-2x^3+5x-1$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}$.

\item $f(x)=(3x-1)\sqrt{x}$, $\mathscr{D}=]0~;~+\infty[$.

\item $f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+2}$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.

\item $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{1-\sin x}$, $\mathscr{D}=\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$.

\item $f(x)=\dfrac{1}{3x^2+5}$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}$.
\end{enumerate}



\subsection{}
Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$.\\
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, $f''$ la dérivée de $f'$ $\left(f''=\left(f'\right)'\right)$, $f^{(3)}$ la dérivée de $f''$ et plus généralement $f^{(n)}$ la dérivée de $f^{(n-1)}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, $f''(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$.

\item Conjecturer alors l'expression de $f^{(n)}(x)$ en fonction de $n$.

\item La démontrer.
\end{enumerate}

\subsection{}
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin x$.
\begin{enumerate}
\item Dériver les dérivées successives $f'$, $f''$, $f^{(3)}$, $f^{(4)}$.

\item Conjecturer, suivant les valeurs de $n\in\mathbb{N}^{*}$, l'expression de $f^{(n)}(x)$.

\item À partir de cette conjecture, montrer que \\
$f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$ avec $n\in\mathbb{N}^*$.
\end{enumerate}


\end{multicols}

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%Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\begin{cases}g(x)=\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\text{ si }x\neq 0\\
%g(0)=0\end{cases}$.
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%On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative.
%\begin{enumerate}
%\item Étudier la parité de $g$.
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%\item Montrer que $g$ est continue en 0.
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%\item La fonction $g$ est-elle dérivable en 0 (on pourra poser $h=x^2$).
%Interpréter graphiquement.
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%\item Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
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%Interpréter graphiquement.
%\end{enumerate}
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%\subsection{}
%Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]-\infty~;~0[$ par :
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%$f(x)=x^2-x\text{ et }g(x)=\frac3x.$\\
%Démontrez que les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ admettent des tangentes parallèles au point d'abscisse -1.
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%\subsection{}
%Soit $f$ une fonction définie sur l'ensemble $\mathscr{D}$ ; déterminer sa fonction dérivée.
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%\begin{enumerate}[a)]
%\item $f(x)=x^5+\dfrac{1}{2}x^4-2x^3+5x-1$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}$.
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%\item $f(x)=(3x-1)\sqrt{x}$, $\mathscr{D}=]0~;~+\infty[$.
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%\item $f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+2}$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.
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%\item $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{1-\sin x}$, $\mathscr{D}=\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$.
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%\item $f(x)=\dfrac{1}{3x^2+5}$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}$.
%\end{enumerate}
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%\subsection{}
%Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$.\\
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, $f''$ la dérivée de $f'$ $\left(f''=\left(f'\right)'\right)$, $f^{(3)}$ la dérivée de $f''$ et plus généralement $f^{(n)}$ la dérivée de $f^{(n-1)}$.
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%\begin{enumerate}
%\item Calculer $f'(x)$, $f''(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$.
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%\item Conjecturer alors l'expression de $f^{(n)}(x)$ en fonction de $n$.
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%\item La démontrer.
%\end{enumerate}
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%\subsection{}
%$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin x$.
%\begin{enumerate}
%\item Dériver les dérivées successives $f'$, $f''$, $f^{(3)}$, $f^{(4)}$.
%
%\item Conjecturer, suivant les valeurs de $n\in\mathbb{N}^{*}$, l'expression de $f^{(n)}(x)$.
%
%\item À partir de cette conjecture, montrer que \\
%$f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$ avec $n\in\mathbb{N}^*$.
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