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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur la fonction $\ln$}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2018}}
Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir
$\theta$ par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse
pas $1,6$ mètre.

Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un
fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté.

On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un
plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie
sur l'intervalle [0~;~1[ par:

\[f(x) = bx + 2\ln (1- x)\]

où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l'abscisse
du projectile, $f(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(1.1,1.7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(1.1,1.7)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(1.1,1.7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.932}{5.69 x mul 1 x sub ln 2 mul add}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0.4,1.5)
\psarc(0,0){0.15}{0}{72}
\end{pspicture*}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~1[. On note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Montrer que , pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1[ :
\[f'(x) = \dfrac{- bx + b - 2}{1 - x}.\]

\item En déduire que la fonction $f$ possède un maximum sur l'intervalle [0~;~1[.

\item Montrer que le maximum de la fonction $f$ est égal à $b - 2 + 2\ln \left(\dfrac{2}{b}\right)$.
\end{enumerate}
\item  Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse
pas $1,6$~mètre.
\item  Dans cette question, on choisit $b = 5,69$.

L'angle de tir $\theta$ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la
fonction $f$ au point d'abscisse $0$ comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus.

Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\theta$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2012}}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A : Restitution organisée des connaissances}}

On rappelle que $\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{\mathrm{e}^{t}}{t} = + \infty$.

Démontrer que $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.



\medskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B} }

On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $f(x) = x -
\frac{\ln(x)}{x}$. 

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $g(x) =  x^2
  -1 + \ln(x)$.

Montrer que la fonction $g$ est positive sur $[1~;~+ \infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $[1~;~+ \infty[$, $f^{\prime}(x) =
    \frac{g(x)}{x^2}$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_kN_k = \dfrac{\ln(k)}{k}$.
		\item Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2012}}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A : étude d'une fonction}}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\ln x}\]

Sur l'annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $1$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$. 
\item En déduire que si $x \geqslant \text{e}$ alors $f(x) \geqslant \text{e}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B : étude d'une suite récurrente}}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 

\[\left\{\begin{array}{r c r}
u_{0}& =& 5\\
\text{pour tout entier naturel}\: n, \:u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)
\end{array}\right.\]  

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $A_{0},\: A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{0},\:u_{1}$ et $u_{2}$. On laissera apparents les traits de construction.
 
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant \text{e}$. 
		\item Déterminer les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 
		\item Déterminer sa limite $\ell$. 
	\end{enumerate} 
\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$X$ est une variable réelle ; $Y$ est une variable entière\\
Affecter $5$ à $X$ et $0$ à $Y$\\
Tant que $X > 2,72$ \\
\hspace{0,5cm}Faire\\
\hspace{1cm}Affecter $(X/ \ln X)$ à $X$\\ 
\hspace{1cm}Affecter $Y + 1$ à $Y$\\ 
Fin de Tant que\\
 Afficher $Y$\\ \hline
\end{tabular}

\end{center}
 
À l'aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l'algorithme.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$ &0& 1 &2 \\ \hline 
$u_{n}$&$5$&\np{3,1066746728} &\np{2,7406525323} \\ \hline\hline
$n$ &3& 4 &5 \\ \hline 
$u_{n}$&\np{2,7183726346}& \np{2,71828183001} &\np{2,7182818285}\\
\hline
\end{tabularx} 
\end{enumerate}


\columnbreak

\begin{center} 
\textbf{\Large ANNEXE}
\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(8,11)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-1}{8}{x}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.107}{8}{x x ln div}
\uput[dr](0,0){O}\uput[d](8,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  