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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Nouvelle Calédonie mars 2015}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles.

À la sortie de fabrication, 5\,\% d'entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients.

On dit qu'une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à \np{1000}~heures. On observe que 2\,\% des puces livrées ont une durée de vie courte.

On note $L$ l'évènement \og La puce est livrée \fg.

On note C l'évènement \og La puce a une durée de vie courte c'est-à-dire inférieure ou égale à \np{1000}~heures \fg.

Étant donné deux évènements $A$ et $B$, on note $P_A(B)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

\textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une puce fabriquée par l'entreprise.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur $P_L(C)$.
		\item Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à \np{1000}~heures?
		\item Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ?
	\end{enumerate}

\medskip
			
\emph{Dans la suite de l'exercice on s'intéresse seulement aux puces livrées aux clients.}

\medskip

\item On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d'une telle puce.

On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\lambda = \dfrac{ - \ln (0,98)}{\np{1000}}$.
		\item Calculer la probabilité qu'une puce ait une durée de vie supérieure à 
		
		\np{10000}~heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
		\item Calculer $P(\np{20000} \leqslant X \leqslant \np{30000})$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Les ingénieurs de l'entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On
suppose qu'avec ce nouveau procédé la probabilité qu'une puce livrée donnée ait une durée
de vie courte est égale à $0,003$.
	
On prélève au hasard \np{15000}~puces prêtes à être livrées- On admettra que ce prélèvement de
\np{15000}~puces revient à effectuer un tirage avec remise de \np{15000}~puces parmi l'ensemble de toutes les puces électroniques produites par l'entreprise et prêtes à être livrées.
	
On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet
échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = \np{15000}$ et 
		
$p = 0,003$.
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.
		\item Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité $P(40 \leqslant Y \leqslant 50)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}


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%Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles.
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%À la sortie de fabrication, 5\,\% d'entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients.
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%On dit qu'une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à \np{1000}~heures. On observe que 2\,\% des puces livrées ont une durée de vie courte.
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%On note $L$ l'évènement \og La puce est livrée \fg.
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%On note C l'évènement \og La puce a une durée de vie courte c'est-à-dire inférieure ou égale à \np{1000}~heures \fg.
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%Étant donné deux évènements $A$ et $B$, on note $P_A(B)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.
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%\textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.}
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%\begin{enumerate}
%\item On tire au hasard une puce fabriquée par l'entreprise.
%	\begin{enumerate}
%		\item Donner la valeur $P_L(C)$.
%		\item Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à \np{1000}~heures?
%		\item Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ?
%	\end{enumerate}
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%\emph{Dans la suite de l'exercice on s'intéresse seulement aux puces livrées aux clients.}
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%\item On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d'une telle puce.
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%On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que $\lambda = \dfrac{ - \ln (0,98)}{\np{1000}}$.
%		\item Calculer la probabilité qu'une puce ait une durée de vie supérieure à 
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%		\np{10000}~heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
%		\item Calculer $P(\np{20000} \leqslant X \leqslant \np{30000})$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat.
%	\end{enumerate}
%\item Les ingénieurs de l'entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On
%suppose qu'avec ce nouveau procédé la probabilité qu'une puce livrée donnée ait une durée
%de vie courte est égale à $0,003$.
%	
%On prélève au hasard \np{15000}~puces prêtes à être livrées- On admettra que ce prélèvement de
%\np{15000}~puces revient à effectuer un tirage avec remise de \np{15000}~puces parmi l'ensemble de toutes les puces électroniques produites par l'entreprise et prêtes à être livrées.
%	
%On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet
%échantillon.
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = \np{15000}$ et 
%		
%$p = 0,003$.
%		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.
%		\item Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité $P(40 \leqslant Y \leqslant 50)$.
%	\end{enumerate}
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