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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Antilles-Guyane juin 2015}}\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On appelle $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ on a placé un point $M$ d'affixe $z$
appartenant à $\mathbb{C}$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe
$\left[\text{O}~;~ \overrightarrow{u}\right)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.7)(3,2.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-2.7)(3,2.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2.6}
\psdots(2.6;63)(2.6;0)(0;0)
\uput[ur](2.6;63){$M$} \uput[dr](2.6;0){$R$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Exprimer l'affixe du point $R$ en fonction de $z$.
\item Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par

\[z' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .\]

Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\mathbb{C}$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence :

\[z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.\]

Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ?
\item Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ?
\item On suppose désormais que $z_0 $ n'est pas un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ ?
		\item Démontrer cette conjecture, puis conclure.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Antilles-Guyane juin 2015}}\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On appelle $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ on a placé un point $M$ d'affixe $z$
appartenant à $\mathbb{C}$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe
$\left[\text{O}~;~ \overrightarrow{u}\right)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.7)(3,2.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-2.7)(3,2.7)
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\uput[ur](2.6;63){$M$} \uput[dr](2.6;0){$R$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Exprimer l'affixe du point $R$ en fonction de $z$.
\item Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par

\[z' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .\]

Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\mathbb{C}$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence :

\[z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.\]

Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ?
\item Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ?
\item On suppose désormais que $z_0 $ n'est pas un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ ?
		\item Démontrer cette conjecture, puis conclure.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  