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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercice de bac de géométrie dans l'espace}}\end{center}




\subsection*{\textcolor{blue}{Antilles juin 2017}}
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On note $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. 

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. 

On considère les points A$(- 1~;~2~;~0)$, B(1~;~2~;~4) et C$(-1~;~1~;~1)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
		\item Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot  \overrightarrow{\text{AC}}$.\index{produit scalaire} 
		\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$, arrondie au degré. 
	\end{enumerate}
\item Soit $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\- 1\\- 1\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC). \index{vecteur normal}
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). \index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}
\item Soient $\mathcal{P}_1$ le plan d'équation $3x + y - 2z + 3 = 0$ et 
$\mathcal{P}_2$ le plan passant par O et parallèle au plan d'équation $x - 2z + 6 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le plan $\mathcal{P}_2$ a pour équation $x = 2z$. 
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants. 
		\item Soit la droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations paramétriques est 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{-}2t\\ 
y &=& - 4t - 3,\\   
z &=& \phantom{- 4}t
\end{array}\right.\: t \in \mathbb{R}.\]

Démontrer que $\mathcal{D}$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe le plan (ABC) en un point I dont on déterminera les coordonnées. \end{enumerate}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%\huge \textbf{\textcolor{red}{Correction}} :
%\normalsize
%
%\bigskip

%On note $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.\\
%L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.\\
%On considère les points $A(-1~;~2~;~0)$, $B(1~;~2~;~4)$ et $C(-1~;~1~;~1)$.
%
%\begin{enumerate}
%\item
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
%\item Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
%\item En dédurie la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, arrondie au degré.
%\end{enumerate}
%\item Soit $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}
%2\\-1\\-1
%\end{pmatrix}$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
%\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
%\end{enumerate}
%\item Soient $\mathcal{P}_1$ le plan d'équation $3x+y-2z+3=0$ et $\mathcal{P}_2$ le plan passant par $O$ et parallèle au plan d'équation $x-2z+6=0$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que le plan $\mathcal{P}_2$ a pour équation $x=2z$.
%\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
%\item Soit la droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations paramétriques est
%\[
%\left\{
%\begin{array}{rcl}
%x&=&2t\\
%y&=&-4t-3,~~~t\in \mathbb{R}\\
%z&=&t
%\end{array}
%\right.
%\]
%Démontrer que $\mathcal{D}$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
%\end{enumerate}
%\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $(ABC)$ en un point $I$ dont on déterminera les coordonnées.
%\end{enumerate}
%\begin{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}
%2\\0\\4
%\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}
%0\\-1\\1
%\end{pmatrix}$. Les  coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles, donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés. Ils définissent bien un plan $(ABC)$.
%		\item On a 
%\(
%\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times 0+0\times(-1)+4\times 1=4,
%\)
%		\item D'autre part:
%\[
%\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})=\sqrt{2^2+0^2+4^2}\times\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}\times\cos(\widehat{BAC})=\sqrt{40}\cos(\widehat{BAC}).
%\]
%On en déduit que $\cos(\widehat{BAC})=\frac{4}{\sqrt{40}}$. À l'aide de la calculatrice: $\widehat{BAC}\approx \np{50,8}\text{\degre}$.
%	\end{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont non nuls et non colinéaires. Ils forment donc une base du plan $(ABC)$. De plus
%\begin{itemize}
%\item $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=2\times 2+(-1)\times 0+(-1)\times 4=4-4=0$, donc $\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}$
%\item $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times 0+(-1)\times(-1)+(-1)\times 1=1-1=0$, donc $\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AC}$
%\end{itemize}
%Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(ABC)$.
%		\item Une équation cartésienne de $(ABC)$ est alors de la forme $2x-y-z+d=0$. Le point $A(-1;2;0)$ appartient à ce plan donc $-2-2=d=0$ d'où $d=4$. Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc $2x-y-z+4=0$.
%	\end{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Un vecteur directeur du plan d'équation $x-2z+6=0$ est $\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}
%1\\0\\-2
%\end{pmatrix}$. Ce vecteur est également un vecteur normal au  plan $\mathcal{P}_2$ puisque ces deux plans sont parallèles. Une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$ est donc: $x-2z+d=0$. Et comme $O(0;0;0)\in\mathcal{P}_2$ cela conduit à $d=0$. Une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$ est donc $x-2z=0\Leftrightarrow  x=2z$.
%\item Le plan $\mathcal{P}_1$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}
%3\\1\\-2
%\end{pmatrix}$. Ce vecteur n'est pas colinéaire à $\overrightarrow{n_2}$, par conséquent les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont ni parallèles ni confondus: ils sont sécants.
%		\item 
%		\begin{itemize}
%		\item Pour tout réel $t$, on a $3(2t) +(- 4t - 3) - 2t + 3 = 6t- 4t-3- 2t + 3 = 0$ donc la droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}_1$.
%		\item Pour tout réel $t$, on a $(2t) - 2(t)= 0$, donc la droite $\mathcal{D}$ et incluse dans le plan $\mathcal{P}_2$.
%		\end{itemize}
%Ces deux plans étant sécants selon une droite, cette droite n'est autre que la droite $\mathcal{D}$.
%	\end{enumerate}
%\item Soit $M$ un point de $\mathcal{D}$, alors il existe un réel $t$ tel que $M(2t;-4t-3;t)$. D'où :
%
%\[M\in(ABC)\Leftrightarrow  2(2t)-(-4t-3)-t+4=0\Leftrightarrow  7t+7=0\Leftrightarrow  t=-1\]
%
%La droite $\mathcal{D}$ et le plan $(ABC)$ n'ont donc  qu'un seul point commun, obtenu pour $t=-1$, c'est le point $I(-2~;~1~;~-1)$.
%\end{enumerate}

%\subsection{Liban juin 2017}
%
%\subsection{Centres étrangers juin 2017}


\label{fin}
\end{document}  