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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Fonction exponentielle}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents




\subsection{\textcolor{red}{Introduction : une certaine \og équation différentielle\fg{}  que l'on retrouve souvent :}}
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} une équation différentielle est une équation, dont l'inconnue est une fonction $f$ et qui relie la fonction $f$ et sa dérivée $f'$ et/ou ses dérivées d'ordre supérieur.
\noindent
Exemples : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'=2f$

\item $f''=k\sin(f)$ (où $k\in\mathbb{R}$)

\item $f''=kf$

\item $f''-3f'+2f=0$
\end{enumerate}
\subsubsection*{\textcolor{blue}{1) Pression atmosphérique}}
En 1648, Pascal met en évidence, par une expérience au Puy de Dôme, la notion de pression atmosphérique. Des travaux ultérieurs ont montré que la pression atmosphérique variait avec l'altitude ; plus précisément, la pression décroît avec l'altitude selon la loi : $p'(h)=-\frac{g}{k}p(h)$ où $p(h)$ est la pression à l'altitude $h$, $g$ est l'accélération de la pesanteur et $k$ est une constante. 
\noindent
On obtient ainsi une équation différentielle du type : $\boxed{p'=Kp}$

\subsubsection*{\textcolor{blue}{2) Radioactivité}}
En radioactivité, on met expérimentalement en évidence que le nombre d'atomes qui se désintègrent en un temps donné est en moyenne proportionnel au nombre de ces atomes.
\noindent
Soit $N(t)$ le nombre d'atomes à un instant $t$. On a : $\Delta N(t)=N(t+\Delta t)-N(t)=-\lambda N(t)\Delta t$, qu'on peut aussi écrire : $\frac{\Delta N(t)}{\Delta t}=-\lambda N(t)$.($\lambda$ est la constante radioactive)
\noindent
En faisant tendre $\Delta t$ vers 0, on obtient : $\frac{dN}{dt}=-\lambda N(t)$ qui s'écrit aussi $\boxed{N'=KN}$ (avec $K=-\lambda$).

\subsubsection*{\textcolor{blue} {3) Fonction transformant une somme en produit}}
Au XVIe siècle, Neper (écossais) cherche des fonctions qui transformeraient les produits en sommes, ce qui permettrait de simplifier les calculs astronomiques.
\noindent
Les réciproques de ces fonctions transforment ainsi les sommes en produits. 
\noindent

Existe-t-il de telles fonctions, raisonnables (c'est-à-dire dérivables sur $\mathbb{R}$), transformant des sommes en produits ?
\noindent

\textbf{On connaît déjà des exemples sur $\mathbf{\mathbb{Z}}$} : 
\noindent
Soit $a$ un réel non nul et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{Z}$ par : $f(n)=a^n$. Alors : Pour tous p et q dans $\mathbb{Z}$, $f(p+q)=a^{p+q}=a^p\times a^q=f(p)\times f(q)$.
\noindent

\noindent Une autre fonction qui convient est la fonction nulle, mais elle n'st pas très intéressante !
\noindent


\textbf{\textcolor{red}{Peut-on prolonger une telle fonction à $\mathbb{R}$ ?}}
\noindent

\bigskip

On va donc chercher des fonctions $f$ \og{}raisonnables\fg{}, c'est-à-dire définies et dérivables sur $\mathbb{R}$,  \textbf{non nulles}, telles que, pour tous $x$ et $y$ réels, $f(x+y)=f(x)\times f(y)$ (relation appelée relation fonctionnelle).

\bigskip


\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $f$ une fonction non nulle, dérivable sur $\mathbb{R}$. Si, pour tous réels $x$ et $y$, $f(x+y)=f(x)\times f(y)$,alors : 
\begin{enumerate}
\item $f(0)=1$

\item Pour tout réel $x$, $f'x)=kf(x)$ où $k=f'(0)$.

\end{enumerate}
\end{bclogo}



\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\noindent

(1) $f$ est non nulle, donc il existe un nombre $x_0$ tel que : $f(x_0)\neq 0$. D'après la relation fonctionnelle, on a alors : $f(x_0)=f(x_0+0)=f(x_0)\times f(0)$, d'où : $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=1}}$.
\noindent

(2) Soit $x$ un réel fixé. On définit les fonctions $\varphi$ et $\psi$ sur $\mathbb{R}$ par : 
\noindent
$\varphi (y)=f(x+y)$ et $\psi(y)=f(x)\times f(y)$. 
\noindent
D'après le théorème de dérivation des fonctions composées, $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et l'on a : $\varphi '(y)=f'(x+y)$. 
\noindent
De même, $\psi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et : $\psi '(y)=f(x)f'(y)$. Or, pour tout réel $y$, $\varphi(y)=\psi(y)$, donc $\varphi '(y)=\psi '(y)$, c'est-à-dire $f'(x+y)=f(x)f'(y)$.

\bigskip

\textbf{En particulier, pour $\mathbf{y=0}$} : $\textbf{\textcolor{red}{}f'(x)=f(x)f'(0)}$
\noindent

$f$ vérifie donc l'équation différentielle : $\boxed{\textcolor{red}{f'=Kf}}$
\noindent

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque} :} On constate qu'à chaque fois, on a une relation du type $\boxed{\textcolor{red}{f'=kf}}$.
\noindent
On est donc amené à se poser la question de l'existence d'une telle fonction.
\noindent

\noindent Dans la suite, on étudie la fonction $f$ vérifiant $f'=f$ (donc $k=1$) et $f(0)=1$.
\noindent
(le cas général $f'=kf$ et/ou $f(0)\neq 1$ s'y ramène).
\noindent

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} il est facile de vérifier qu'aucune des fonctions usuelles ne convient ; la fonction cherchée, si elle existe, est donc une \textbf{\textcolor{blue}{nouvelle fonction}}.

\subsection{\textcolor{red}{Fonction exponentielle}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (première partie admise)}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Il existe une  fonction $f$ dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$ telle que : $f'=f$ et $f(0)=1$.

\item Celle-ci est \textbf{unique}.
\end{enumerate}

Cette fonction est appelée fonction exponentielle. On la note $\exp$.
\noindent
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On \textbf{\textcolor{red}{admet}} l'existence.
\item Cette fonction ne s'annule pas et est strictement positive.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : 
\noindent
Considérons la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)\times f(-x)$.
\noindent

\noindent $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit et composée de fonctions dérivables.
\noindent
La dérivée de $x\mapsto f(-x)$ est $x\mapsto -f'(-x)$ car la dérivée de $x\mapsto f(ax+b)$ est $x\mapsto af(ax+b)$.
\noindent
On en déduit que : $f'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)\times \left(-f'(-x)\right)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)$.
\noindent
Or, par définition de $f$, $f'=f$ donc $g'(x)=f(x)f(-x)-(x)f(-x)=0$.
\noindent

\noindent $g$ est donc une fonction \textbf{\textcolor{blue}{constante}} sur $\mathbb{R}$.

\noindent Pour trouver cette valeur, il suffit de calculer l'image dun nombre particulier.

\noindent $g(0)=[f(0)]^{2}=1^{2}=1$ donc $g(0)=1$.
\noindent
Par conséquent : $g(x)=1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
\noindent

\noindent $f$ ne peut donc pas s'annuler ;
\noindent
en effet, s'il existait une valeur $x_{0}$ avec $f\left(x_{0}\right)=0$, on aurait :
\noindent
$g\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)f\left(-x_{0}\right)=0$ ; or $g\left(x_{0}\right)=1$, ce qui est contradictoire.
\noindent

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Positivité}}:
\noindent
Supposons qu'il existe un nombre $x_{0}$ avec $f\left(x_{0}\right)<0$.
\noindent
$f$ est dérivable, donc continue. $f\left(x_{0}\right)<0$ et $f(0)=1$.
\noindent
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existerait un nombre $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$, ce qui est impossible d'après ce qui précède.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration de l'unicité}} (\textbf{\textcolor{red}{à connaître})}
\noindent
Supposons qu'il existe une autre fonction $g$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifiant également $g'=g$ et $g(0)=1$.
\noindent
Soit la fonction $h=\frac{f}{g}$. $h$ est dérivable : $h'=\frac{f'g-fg'}{g^2}=0$ (car $f'=f$ et $g'=g$). $h$ est donc constante sur $\mathbb{R}$. $h(0)=1$. $\forall x \in \mathbb{R}$, $h(x)=1$ donc $f(x)=g(x)$ donc $f=g$.
\noindent
\end{enumerate}

Cette unique fonction $f$ vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$ est notée $\exp$.
\noindent

\begin{center}
\begin{minipage}{6.5cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Résumé des propriétés :}}
Pour tout réel $x$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $\exp x>0$

\item $\exp 0=1$

\item $\exp '(x)=\exp (x)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Étude de la fonction exponentielle :}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Sens de variation :}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction exponentielle est croissante sur $\mathbb{R}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration : }}La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\exp'=\exp$, donc pour tout réel $x$, $\exp'(x)>0$ puisque $\exp(x)>0$.
\noindent
La fonction $\exp$ est donc croissante.
\noindent

\bigskip

\begin{minipage}{9cm}
\subsubsection{\textcolor{blue}{Limites à l'infini}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0$
\end{bclogo}
\end{minipage}
\noindent
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :
\noindent
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\exp(x)-x$.
\noindent
$f$ est dérivable et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=\exp'(x)-1=\exp(x)-1$.
\noindent
$\exp$ est croissante et $\exp(0)=1$, donc, pour tout $x\geqslant 0$, $f'(x)\geqslant 0$.
\noindent
On en déduit que $f$ est croissante et comme $f(0)=\exp(0)-0=\exp(0)=1>0$ donc $f(x)>0$.
\noindent
Par conséquent : $f(x)>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x)>x}}$.
\noindent
Or $\lim_{x\rightarrow =\infty}x=+\infty$, donc, d'après le théorème des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty}}$.
\noindent

\noindent On a vu au début que, pour tout $x$, $\exp(x)\times \exp(-x)=1$ donc $\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}$.
\noindent
En posant $X=-x$, donc $x=-X$, on a : $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\exp(-X)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\exp(X)}=0$.


\textbf{\textcolor{blue}{Conséquences :}}

\begin{enumerate}

\item Pour tout $a>0$, $\exp(a)>0$

\item Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp a=\exp b\Leftrightarrow a=b$.

\item Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp a< \exp b\Leftrightarrow a<b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{Démonstration :}

\begin{enumerate}

\item $\exp$ est croissante et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0$ donc $\exp$ est une fonction positive.
\item 
\begin{enumerate}
\item $a=b\Rightarrow \exp(a)=\exp(b)$ comme pour n'importe quelle fonction.

\item $\exp(a)=\exp(b)\Rightarrow a=b $ car la fonction $\exp$ est croissante
\end{enumerate}


\item Même démonstration que dans le cas d'égalité
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Propriétés algébriques}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de l'opposé d'un réel :}}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$\forall x\in\mathbb{R}$, $\exp(-x)=\frac{1}{\exp x}$\
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\noindent
On a déjà vu que $\exp(x)\times \exp(-x)=1$  donc $\exp(-x)=\frac{1}{\exp x}$.
\noindent

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de la somme de deux réels:}}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$\forall x\in\mathbb{R}$, $\forall y\in\mathbb{R}$, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$.
\end{bclogo}
\end{minipage}
\noindent

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
\noindent
Soit $y$ un réel quelconque fixé. On considère alors la fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(x+y)$ (la variable est $x$).
\noindent
$f$ est dérivable, comme  composée de fonctions dérivables ; $\dfrac{1}{\exp(y)}$ est une constante.
\noindent
La dérivée de $x\mapsto \exp(x+y)$ est $x\mapsto 1\times \exp'(x+y)=\exp(x+y)$.
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(x+y)$ donc $f'=f$.
\noindent
$f(0)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(0=y)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(y)=1$.
\noindent
On en déduit que la fonction $f$ est la fonction exponentielle (unicité de la fonction vérifiant ces propriétés).
\noindent
Par conséquent : $f(x)=\exp(x)$ donc, pour tout $x$, $\dfrac{1}{\exp(y)}\exp(x+y)=\exp(x)$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)}}$
\noindent

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on a vu dans le I que la seule fonction vérifiant cette relation fonctionnelle et $f(0)=1$ devait vérifier $f'=f$, donc était la fonction exponentielle (par unicité de la fonction vérifiant les deux conditions $f'=f$ et $f(0)=1$).

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de la différence de deux réels:}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tous réels $x$ et $y$ : $\exp(x-y)=\frac{\exp x}{\exp y}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}} 
\noindent
$\exp(x-y)=\exp(x+(-y))=\exp(x)\times \exp(-y)=\exp(x)\times \frac{1}{\exp( x)}=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}$
\noindent

\textcolor{red}{Exemple :}
\noindent
Pour tout réel $x$, $\frac{\exp(2x+3)}{\exp(2x-1)}=\exp[(2x-3)-(2x-1)]=\exp 4$
\noindent

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle d'une somme de réels:}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tous réels $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, $\exp(x_1+x_2+...+x_n)=\exp(x_1)\times \exp(x_2)\times\dots\times \exp(x_n)$.
\noindent
\textbf{\textcolor{blue}{Écriture symbolique}} :
$\exp\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)=\prod_{i=1}^n\exp(x_i)$
\noindent
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\noindent
On démontre la propriété par récurrence sur $n$.
\noindent
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : Pour $n=1$, il n'y a qu'un terme $x_{1}$ ; on a évidemment $\exp\left(x_{1}\right)=\exp\left(x_{1}\right)$ !

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un entier $n$ quelconque.
\noindent
$\exp\left(x_{1}+x_{2}+\cdots x_{n}\right)=\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)$.
\noindent
Alors : $\exp\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+x_{n+1}\right)=\exp\left[\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)+x_{n+1}\right]=\exp\left(\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)\right)\times \exp\left(x_{n+1}\right)$ (d'après la propriété fonctionnelle de l'exponentielle)
\noindent
$=\left[\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)\right]\times \exp\left(x_{n+1}\right)=\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)\times \exp\left(x_{n+1}\right)$. (c.q.f.d.)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tout réel $x$, $\exp(nx)=(\exp (x))^n$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration : }}
\noindent
Lorsque $n>0$, on applique la propriété précédente en prenant tous les $x_i$ égaux à $x$.
\noindent
Pour $n=0$, l'égalité est vérifiée.
\noindent
Si $n<0$, $\exp(nx)=\exp((-n)(-x))=(\exp(-x))^{-n}=\left[\frac{1}{\exp x}\right]^{-n}=(\exp(x))^n$
\noindent

\subsubsection{\textcolor{blue}{Le nombre e ; la notation $\mathbf{e^x}$:}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$e=\exp(1)$.
\noindent
Valeur approchée : $e\approx \numprint{2.71828182845904523536028747135266249775724709369995}$.

\noindent Pour la plupart des exercices, il suffit d'utiliser $\mathrm{e}\approx 2,7$ sou $\mathrm{e}\approx 2;72$.

\noindent Remarque : $\mathrm{e}$ est, comme $\pi$, un nombre transcendant, c'est-à-dire solution d'aucune équation polynomiale, donc en particulier non rationnel)
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Notation}}
Pour tout entier $n$, on a : $\exp(n)=\exp(n\times 1)=(\exp1)^n=e^n$ en utilisant la notation précédente.
\noindent
Plus généralement, on convient de noter $\exp (x)$ par $e^x$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Résumé des différentes propriétés avec cette notation:}}
\begin{center}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Pour tous réels $x$, $y$ et tout entier relatif $n$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $e^0=1$

\item $e^x>0$

\item $e^{x+y}=e^x\times e^y$

\item $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$

\item $e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$

\item $(e^x)^n=e^{nx}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}
\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative avec les tangentes en 0 et 1}}


%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La tangente en 0 a pour coefficient directeur $\exp'(0)=\exp(0)=\mathrm{e}^{0}=1$.

\item La tangente en 1 a pour équation $y=exp'(1)(x-1)+\mathrm{e}^1=\mathrm{e}x$ ; cette tangente passe donc par l'origine.

\item Le fonction $\exp$ est croissante ; l'axe des abscisses est asymptote à $\mathscr{C}$ au voisinage de $-\infty$ puisque $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0$.

\item $\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\approx 2,7$ et $\mathrm{e}^2\approx 7,4$
\end{enumerate}

\newpage


\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Courbe représentative de $\boldmath{\exp}$}}
\bigskip

\psset{unit=1}
\begin{pspicture}(-6,-2)(3,10)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-5,0)(5,0)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,-1)(0,20)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,0)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dr](0,0){O}
\psaxes[Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt](0,0)(-4,0)(3,10)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](-5,-1)(3,10)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-5}{2.302585092994046}{2.71828 x exp}
\psdots(1,2.71828)
\uput[l](0,2.71828){e}
\psline[linestyle=dashed](0,2.71828)(1,2.71828)
\psline[linestyle=dashed](1,2.71828)(1,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-0.5,0.5)(0.5,1.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3,8,155)
\end{pspicture}
\end{center}

%
%\end{multicols}

\subsubsection{\textcolor{blue}{ Limites importantes (croissances comparées)}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$

\item $\lim_{x\rightarrow-\infty}x\mathrm{e}^x=0$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=+\infty$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$

\item $\lim_{x\rightarrow-\infty}x^n\mathrm{e}^x=0$ pour tout $x\in\mathbb{N}^*$

\end{enumerate}


\end{multicols}\vspace{0.2cm}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstrations :}}
\noindent
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour tout $x$, $\mathrm{e}^x>x$ donc, pour tout $x>0$,  $\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}>\frac x2$ d'où, puisque $x>0$ $(\mathrm{e}^\frac x2)^2>\left(\frac x2\right)^2$ qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$.

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^x=\lim_{X\rightarrow+\infty}\frac{-X}{\mathrm{e}^{-X}}=\lim_{X\rightarrow+\infty}-\frac{X}{\mathrm{e}^X}==\lim_{X\rightarrow +\infty}-\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{X}}{X}}=0$ car $\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}=+\infty$.

\item Pour tout $n\neq0$, on pose $X=\frac{x}{n}$ (et donc $x=nX$). On a alors : $\frac{\mathrm{e}^x}{x^n}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{nX}}{(nX)^n}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{\left(\mathrm{e}^{X}\right)^n}{n^nX^n}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left[\dfrac{1}{n^n}\left(\frac{\mathrm{e}^X}{X}\right)^n.\right]$.
\noindent
$\dfrac{1}{n^n}$ est une constante ; $\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)+\infty$ d'où $\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)^n=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=+\infty$.

\item Pour $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}$, on pose $X=-x$.
\noindent
Alors : $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}=\lim_{X\rightarrow +\infty}(-X)^n\mathrm{e}^{-X}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left[(-1)^n\dfrac{X^n}{\mathrm{e}^{X}}\right]=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left[(-1)^n\dfrac{1}{\frac {\mathrm{e}^{X}}{X^n}}\right]=0$ car $\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X^n}\right)=+\infty$
\end{enumerate}

%\subsubsection{\textcolor{blue}{ Approximation affine de $e^h$ pour $h$ proche de 0}}
%Si $h$ est proche de 0, on a : $e^h\approx 1+h$
\noindent
%\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $e^{0,02}\approx 1,02$
\noindent
%
%\noindent \textcolor{red}{\textbf{Remarque :}} Pour tout réel $h$, $e^h=1+h+h\epsilon (h)$, avec $\lim_{h\rightarrow 0}\epsilon (h)=0$.
\noindent
%\textbf{\textcolor{red}{Conséquence :}} $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1}{h}=1$
\noindent

\subsection{\textcolor{red}{Exponentielle d'une fonction}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction $e^u$ est dérivable et a pour dérivée : 
\noindent
$(e^u)'=u'e^u$.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\mathrm{e}^{2x+4}$ ; $f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=2x+3$.
\noindent
$u'(x)=2$ ; $f'=u'\mathrm{e}^{u}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=2\mathrm{e}^{2x+3}}}$.

\item $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}$ sur $]0~;~+\infty[$.
\noindent
$f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=x^2$.
\noindent
$f'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u'(x)=2x$  donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=2x\mathrm{e}^{x^2}}}$.


\item $f(x)=\mathrm{e}^{\frac1x}$ sur $]0~;~+\infty[$.
\noindent
$f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=\dfrac{1}{x}$.
\noindent
$f'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$  donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\mathrm{e}^{\frac1x}}}$.

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document} 


