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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires}}\end{center}


\subsection{}
On note $E$ la fonction partie entière.\\
La fonction $g:x\mapsto xE(x)$ est-elle continue en 0 ?\\
$E(x)=-1$ sur $[-1~;~0[$ et 0 sur $[0~;~1[$ donc $f(x)=-x$sur $[-1~;~0[$ et 0 sur $[0~;~1[$.\\
$f(0)=0$\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}f(x)=\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}(-x)=0=f(0)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x)=\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}(0)=0=f(0)$

\item On en déduit que $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0=f(0)$ donc $f$ est continue en 0
\end{enumerate}

Courbe (non demandée) :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-3.)(3.,7)
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\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0}{1}{0}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{1}{2}{x}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{2}{3}{2*x}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-1}{0}{-x}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-2}{-1}{-2*x}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-1.88,5.98){\qqwuqq{$f$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=x^3-4x+5.\]
Démontrer que l'équation $f(x)=8$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-2~;~3]$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est continue comme fonction polynôme (ou somme de fonctions continues)

\item $f(-2)=5<8$

\item $f(3)=20>8$
\end{enumerate}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=8$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-2~;~3]$

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=-x^3-2x+5.\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $f$.
$f'(x)=-3x^2-2<0$ car $-3x^2\leqslant 0$ donc $-3x^2-2\leqslant -2<0$.\\
On en déduit que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

\item %Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$.
Pour $x\neq 0$, $f(x)=x^3\left(-1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}\right)$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(-1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}\right)=-1$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=-\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}x^3=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$.\\
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}

\end{center}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$
\end{enumerate}
D'après le TVI, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution.\\
Comme $f$ est décroissante, cette solution est unique : on la note $\alpha$.
\begin{center}

\end{center}
\item %À l'aide de la calculatrice, trouver une encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha\approx 1,33$

\item %En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
Signe de $f(x)$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=x^3-3x+1.\] 
On se propose de résoudre l'équation $f(x)=0$~[1].

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : recherche du nombre de solutions}}


\begin{enumerate}
\item %Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
Pour $x\neq 0$, $f(x)=x^3\left(1-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=1$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=-\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}x^3=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

\item %Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.
$f'(x)=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)=3(x+1)(x-1)$.\\
$f'(x)=0$ pour $x=-1$ ou $x=1$.\\
$f'(x)$ est un trinôme du second degré ; $f'(x)>0$ pour $x$ à l'extérieur de l'intervalle formé par le racines et négatif entre les racines (car le coefficient de $x^2$ est positif).\\
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{3}&\d&-1&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions dans $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur $]-\infty~;~-1$, $f$ est continue, $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ et $f(-1)=3>0$, donc l'équation $f(x)=0$ admet une solutions dans cet intervalle (unique car la fonction est monotone).

\item De même, l'équation aune solution unique dans l'intervalle [-1~;~1]

\item De même, l'équation aune solution unique dans l'intervalle $[1~;~+\infty[$

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{ \textcolor{blue}{Partie B : recherche des solutions exactes}}

On cherche les solutions de l'équation [1] sous la forme $x=2\cos\theta$, avec $\theta$ réel.

Rappel : pour tout angle $\theta$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$

\item $\sin(2\theta)=2\cos\theta\sin\theta$

\item $\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$
\end{enumerate}
\begin{enumerate}


\item %Démontrer que, pour tout réel $\theta$, \[\cos(3\theta)+3\cos(\theta)=4\cos^3(\theta).\]
$cos(3\theta)=\cos(2\theta+\theta)=\cos(2\theta)\cos(\theta)-\sin(2\theta)\sin(\theta)=\left(2\cos^2\theta-1\right)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta\\
=2\cos^3\theta-\cos\theta-2\left(1-\cos^2\theta\right)\cos\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$.\\
On en déduit que $\cos(3\theta)+3\cos\theta=4\cos^3\theta$

\item %Démontrer que $x$ est solution de [1] si, et seulement si, $\cos(\theta)=\dfrac{1}{2}$ [2].
On pose $x=2\cos\theta$.\\
$x$ est solution. de m'équation [1] si, et seulement si $x^3-3x+1=0$.\\
$x^3-3x+1=0\Leftrightarrow (2\cos\theta)^3-3\times 2\cos\theta+1=0\Leftrightarrow 8\cos^3\theta-6\cos\theta+1=0\Leftrightarrow 2\left(4\cos^3\theta-3\cos\theta\right)+1=0\Leftrightarrow 4\cos^3\theta-3\cos\theta=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\cos(3\theta)=-\dfrac{1}{2}}}$

\item %Trouver les réels solutions de [2].
Soit [2] l'équation $\cos(3\theta)=-\dfrac{1}{2}$.\\
$[2]$ s'écrit $\cos(3\theta)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$.\\
On sait que $\cos a=\cos b\Leftrightarrow a=b+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}$ ou $a=-b+2k'\pi~,k'\in\mathbb{Z}$.\\
On en déduit $3\theta=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ donc $\theta=\dfrac{2\pi}{9}+2k\dfrac{\pi}{3}$ ou 
$3\theta=-\dfrac{2\pi}{3}+2'\pi$ donc $\theta=-\dfrac{2\pi}{9}+2k'\dfrac{\pi}{3}$.

\item %En déduire les valeurs exactes de solutions de l'équation [1].
Comme la fonction $\cos$ est paire, le solutions de l'équation [1]sont : \\
$2\cos\left(\dfrac{2\pi}{9}\right)$, $2\cos\left(\dfrac{8\pi}{9}\right)$ et $2\cos\left(\dfrac{14\pi}{9}\right)$.

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document} 