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\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices de type bac sur les nombres complexes}}\end{center}



\subsection{}

À tout nombre complexe $z$ différent de $-2\mathrm{i}$, on associe le nombre complexe $Z=\dfrac{z-2+\mathrm{i}}{z+2\mathrm{i}}$.\\
On pose $z=x+\mathrm{i}y$, $x$ et $y$ réels.

\begin{enumerate}
\item %Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction de $x$ et de $y$.\\
%On vérifiera que $\Re(Z)=\dfrac{x^2+y^2-2x+3y+2}{x^2+(y+2)^2}$.
On trouve : $\text{Re}(Z)=\frac{(x^{2}-2 x+y^{2}+3 y+2)}{(x^{2}+\left(y+2\right)^2}$ et $\text{Im}(Z)=\frac{(-x+2 y+4)}{(x^{2}+y^{2}+4 y+4)}$.

\item En déduire 
\begin{itemize}
\item %l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ du plan complexe, d'affixe $z$, tels que $Z$ est réel.
$Z\in\mathbb{R}\Leftrightarrow -x+2y+4=0$ qui est une équation de droite. $\mathscr{E}$ est donc la droite d'équation $-x+2y+4=0$

\item %l'ensemble $\mathscr{F}$ des points $M$ du plan complexe, d'affixe $z$, tels que $Z$ est imaginaire pur.
$Z\in \mathrm{i}\mathbb{R}\Leftrightarrow x^2-2x+y^2+3y+2=0\Leftrightarrow (x-1)^2-1+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+2=0\Leftrightarrow (x-1)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}$.\\
$\mathscr{F}$ est le cercle de centre $\Omega\left(1~;~-\dfrac{3}{2}\right)$ et de rayon $r=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
\end{itemize}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2015}}
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$
%du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par:
%
%\[z' = z^2 + 4z + 3.\]
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé.

%Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
$M(z)$ est invariant si $M' = M \iff z' = z \iff  z^2 + 4z + 3 = z \iff z^2 + 3z + 3 = 0$.

$\Delta = 3^2 - 4 \times 3 = 9 - 12 = - 3 = \left(\text{i}\sqrt{3}\right)^2$.

Cette équation a deux solutions :

$z_1 = \dfrac{ - 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \dfrac{ - 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$.

On a $\left|z_1\right|^2 = \left(- \frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3  \Rightarrow \left|z_1\right| = \sqrt{3}$.

Le même calcul donne $\left|z_2\right| = \sqrt{3}$.

On a donc $z_1 = \dfrac{ - 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2}  + \text{i}\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{3}\left(\cos \frac{5\pi}{6}  + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.

On trouve de la même façon que $z_2 = \sqrt{3}\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.
\item  %Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe 
%$\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$.
On a $z_{\text{A}} = z_2$, donc $\left|z_{\text{A}} \right| = \text{OA} = \left|z_2 \right| = \sqrt{3}$.

De même $z_{\text{B}} = z_1$, donc $\left|z_{\text{B}} \right| = \text{OB} = \left|z_1 \right| = \sqrt{3}$.

Enfin $\text{AB} = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right| = \left|\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2} - \left(\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2} \right) \right| = \left|\text{i}\sqrt{3} \right| = \sqrt{3}$. 
%Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

On a donc $\text{OA} = \text{OB} = \text{AB} = \sqrt{3}$ : le triangle  OAB est un triangle équilatéral.
\item  %Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels.
Soit $M(x~;~y)$ et $M'(x'~;~y')$ son point associé.

$M'$ est sur l'axe des réels si $y' = 0$.

Or on sait que l'affixe du point $M$ est :

$z^2 + 4z + 3 =  (x + \text{i}y)^2 + 4(x + \text{i}y) + 3 = x^2 - y^2 + 2\text{i}xy + 4x + 4\text{i}y + 3 = x^2 - y^2 + 3 + \text{i}(2xy + 4y)$.

On a donc $y' = 0 \iff 2xy + 4y = 0 \iff 2y(x + 2) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y&=&0\\
x + 2&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y&=&0\\
x &=&- 2
\end{array}\right.$

Conclusion : l'ensemble $\mathcal{E}$ est constitué des points d'ordonnée nulle donc de l'axe des abscisses et des points de la droite verticale dont une équation est $x = - 2$ (droites en bleu). 
\item  ~%Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.8)(2,1.8)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3,-1.8)(2,1.8)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\pscircle(0,0){1.73205}
\psline[linestyle=dashed](0.866;90)(1.73205;150)
\psline[linestyle=dashed](0.866;-90)(1.73205;-150)
\uput[ur](0,0){O} \uput[ul](1.73205;150){A}\uput[dl](1.73205;-150){B}
\pspolygon(1.73205;150)(1.73205;-150)(0;0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-3,0)(2,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-2,-1.73205)(-2,1.73205)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2015}}
%\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\
%Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.\\
%Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}
%
%\medskip

\bigskip

\parbox{8cm}{\textbf{1.} \textbf{\textcolor{red}{Affirmation 1 :}} %Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $S$
%l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie les deux conditions :


%Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.}

Notons C et D les points d'affixes respectives 1 et $\mathrm{i}$.
Alors :%\[|z - 1| = |z - \text{i}|\quad  \text{et} \quad  |z - 3 - 2\text{i}| \leqslant 2.\]
$|z - 1| = |z - \text{i}|\iff \left|z_M-z_C\right|=\left|z_M-z_D\right|\\
\iff MC=MD$. 

 L'ensemble des points M d'affixe z vérifiant $|z - 1| = |z - \text{i}|$ est donc la médiatrice de [CD], c'est-à-dire la droite d'équation $y=x$.

 Notons $\Omega$ le point de coordonnées $(3~;~2)$ qui a donc pour fixe $3+2\mathrm{i}$.

 $|z - 3 - 2\text{i}| \leqslant 2.\iff \left|z_M-z_{\Omega}\right|\leqslant 2\iff M\Omega\leqslant 2$.
%Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre le 
%point de coordonnées (3~;~2) et de rayon 2, et la droite d'équation $y = x$.
S est donc bien le segment [AB]}\hfill
\parbox{8cm}{
\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(6,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(6,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.8,-0.9)(6,5.5)
\psline(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\pscircle(3,2){2}
\uput[ul](0,0){O}
\uput[r](1.177,1.177){\scriptsize A}\uput[d](3.823,3.823){\scriptsize B}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](3,2)(1.177,1.177)(3.823,3.823)(1,0)(0,1)
\uput[ul](0,1){\scriptsize D}
\uput[dr](1,0){\scriptsize C}
\uput[ur](3,2){\scriptsize $\Omega$}
\end{pspicture*}}

\medskip

L'ensemble $S$ est le segment [AB]. \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}

\newpage

\textbf{2.}  \textbf{\textcolor{red}{Affirmation 2 :}}% le nombre complexe $\left(\sqrt{3} +\text{i}\right)^{\np{1515}}$ est un réel.
Soit $a=\sqrt{3}+\mathrm{i}$.

 $\vert a\vert=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$.

 Alors $a=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi{6}}$.

 On en déduit que $\left(\sqrt{3} +\text{i}\right)^{\np{1515}}=\left(2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi{6}}\right)^{\np{1515}}=2^{\np{1515}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\np{1515}\pi}{6}}=2^{\np{1515}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\np{505}\pi}{2}}$.

Or $\dfrac{505\pi}{2}=\dfrac{4\times 126+1}{2}\pi = 126\times 2\pi+\dfrac{\pi}{2}$.

On en déduit que $a^{\np{1515}} = 2^{\np{1515}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(126\times 2\pi+\frac{\pi}2\right)} = 2^{\np{1515}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}2} = 2^{\np{1515}}\text{i}  \notin\mathbb{R}$. \textbf{\textcolor{red}{FAUX}}

\medskip

%\emph{Pour les questions 3 et 4, on considère les points} E (2 ; 1 ; - 3), F (1 ; -1 ; 2) \emph{et} G (-1 ; 3 ; 1) \emph{dont les coordonnées sont définies dans un repère orthonormé de l'espace.}
%
\bigskip

\textbf{3.}  \textbf{\textcolor{red}{Affirmation 3 :}} %une représentation paramétrique de la droite (EF) est donnée par:
%\[\left\{\begin{array}{l c r}
%x&=&2t\\
%y&=&-3 + 4t\\
%z&=&7-10t
%\end{array}\right., t\: \in \R.\]
$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2t\\
y&=&-3 + 4t\\
z&=&7-10t
\end{array}\right., t\: \in \mathbb{R}.$ est la représentation paramétrique d'une droite.

Pour $t=1$, on obtient les coordonnées de E et pour $t=\dfrac{1}{2}$, on obtient les coordonnées de F.

 E et F appartiennent à cette droite, donc cette droite est bien la droite (EF). \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}

\bigskip

\textbf{4.}  \textbf{\textcolor{red}{Affirmation 4 :}} %une mesure en degré de l'angle géométrique $\widehat{\text{FEG}}$, arrondie au degré, est 50\degres.
On a E$(2~;~1~;~- 3)$, F$(1~;~-1~;~2)$ et G$(-1~;~3~;~1)$.

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{EF}}$ et $\overrightarrow{\text{EG}}$ ont pour coordonnées : 

 $\overrightarrow{\text{EF}}\begin{pmatrix}1\\-2\\5\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{EG}}\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}$.

Alors : $\overrightarrow{\text{EF}}.\overrightarrow{\text{EG}}=-1\times (-3)+(-2)\times 2+5\times 2=3-4+20=19$.

 $\text{EF}=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+5^2}=\sqrt{30}$ ; $\text{EG}=\sqrt{(-3)^2+2^2+4^2}=\sqrt{29}$.

On a alors : 

 $\overrightarrow{\text{EF}}.\overrightarrow{\text{EG}}=\text{EF}\times \text{EG}\times \cos\left(\widehat{\text{FEG}}\right)$ donc $\cos\left(\widehat{\text{FEG}}\right)=\dfrac{\overrightarrow{\text{EF}}.\overrightarrow{\text{EG}}}{\text{EF}\times \text{EG}}=\dfrac{19}{\sqrt{30}\times \sqrt{29}}=\dfrac{19}{\sqrt{870}}$.

 À la calculatrice, on trouve $\widehat{\text{FEG}}\approx 49,89$ \degre$\approx 50$ \degre. \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}




\label{fin}
\end{document}  