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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices du bac - intégration}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie novembre 2018}}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $]0~;~+\infty[$ par
$f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ et $g(x) = \dfrac{1}{x^2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$.

On admet que $f$ et $g$ sont dérivables sur $]0~;~+\infty[$. On note $f'$ et $g'$ leurs fonctions dérivées respectives.
Les représentations graphiques de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal, nommées respectivement $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-dessous:

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=7cm,comma}
\def\xmin {-0.9}   \def\xmax {10.4}
\def\ymin {-0.18}   \def\ymax {1.15}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=0.5,yunit=0.2,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-2,-1)(21,6)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, Dx=1,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec\imath$,d][$\vec\jmath$,l]
\def\f{2.7183 x neg exp}
\def\g{2.7183 -1 x div exp x x mul div}
\pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=3000]{0.01}{1}{\f}
\psplot[plotpoints=3000]{1}{0.01}{\g}
\closepath
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=3000]{1}{\xmax}{\g}
\psplot[plotpoints=3000]{\xmax}{1}{\f}
\closepath
}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{0.01}{\xmax}{\f}
\uput[ur](0.2,0.82){$\red \mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{0.01}{\xmax}{\g}
\uput[ur](2.4,0.1){$\blue \mathcal{C}_g$}
\psdots(1,0.368)(0.5,0.54)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](1,0)(1,0.368)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{<->}(-0.4,0.54)(1.4,0.54)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0.5,0.54)(0.5,0) \uput*[d](0.5,0){\footnotesize $0,5$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textcolor{red}{\textbf{Partie A -- Conjectures graphiques}}

\medskip

%Dans chacune des questions de cette partie, aucune explication n'est demandée.

\begin{enumerate}
\item D'après le graphique, on peut dire qu'une solution de l'équation $f(x)=g(x)$ sur $]0~;~+\infty[$ est $\boxed{\textcolor{red}{x=1}}$.

\item D'après le graphique, on peut dire qu'une solution de l'équation $g'(x)=0$ sur $]0~;~+\infty[$ est $\boxed{\textcolor{red}{x=0,5}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B -- Étude de la fonction \boldmath{$g$}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On cherche la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

$\left .
\begin{array}{l}
\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0\\[9pt]
\left .
\begin{array}{@{}l}
\lim_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{x} = 0\\[9pt]
\lim_{X\to 0} \mathrm{e}^{X} = 1\\
\end{array}
\right \rbrace
\text{ donc }
\lim_{x\to +\infty} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}=1
\end{array}
\right \rbrace$
donc
$\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}=0$

\smallskip

On peut donc dire que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\to +\infty} g(x)=0}}$.

\item On admet que la fonction $g$ est strictement positive sur $]0~;~+\infty[$.

Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x)=\ln\left ( g(x) \strut\right )$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$ strictement positif, 

$h(x)=  \ln\left ( g(x) \strut\right ) 
= \ln\left (  \dfrac{1}{x^2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}\right )
= \ln\left (\dfrac{1}{x^2}\right ) +  \ln\left ( \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}} \right )
= -\ln\left (x^2\strut \right ) -\dfrac{1}{x}
= -2 \ln x  - \dfrac{1}{x}=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{-1-2x\ln x}{x}}}$.

\item On calcule la limite de $h(x)$ quand $x$ tend vers 0.

On sait que $\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} x \ln x = 0$.
On en déduit que \\
$\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \left (-1-2x \ln x\strut\right ) = -1$ et donc que
$\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \dfrac{-1-2x\ln x}{x} = -\infty$, c'est-à-dire
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} h(x)= -\infty}}$. 

\item% En déduire la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers 0.
Pour tout $x>0$, $h(x)=\ln\left (g(x)\strut\right )$ donc $g(x) = \mathrm{e}^{h(x)}$.

$\left .
\begin{array}{@{}l}
\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} h(x) = -\infty\\[7pt]
\lim_{X\to -\infty} \mathrm{e}^{X} = 0\\
\end{array}
\right \rbrace$
donc
$\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \mathrm{e}^{h(x)}=0$
ce qui veut dire que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} g(x)=0}}$.


\end{enumerate}

\item% Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, \[g'(x)= \dfrac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}\left (1-2x \strut\right )}{x^4}.\]
Pour tout $x>0$, la dérivée de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est $x \mapsto -\dfrac{1}{	x^2}$.\\[5pt]
Pour tout $x>0$, la dérivée de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$ est $x \mapsto -\dfrac{-2}{x^3}$.\\[5pt]
Pour tout $x>0$, la dérivée de la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ est $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$.

\smallskip

Donc pour tout $x>0$, 
$g'(x) = \left ( -\dfrac{2}{x^3}\right ) \times \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}} + \dfrac{1}{x^2}\times \left ( \dfrac{1}{x^2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}\right )= \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}\left (1-2x \strut\right )}{x^4}}}$.

\item Sur $]0~;~+\infty[$, $x^4>0$ et $\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $1-2x$:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0~;~0,5]$;
\item la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0,5~;~+\infty[$.
\end{list}

\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie C -- Aire des deux domaines compris entre les courbes \boldmath{$\mathcal{C}_f$} et \boldmath{$\mathcal{C}_g$}}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que le point A de coordonnées $\left (1~;~\mathrm{e}^{-1}\strut\right )$ est un point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Soit A le point de coordonnées $\left (1~;~\mathrm{e}^{-1}\strut\right )$.

$f(x_{\text{A}})=f(1) = \mathrm{e}^{-1} = y_{\text{A}}$ donc le point A appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.

$g(x_{\text{A}})=g(1) = \dfrac{1}{1^2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{1}} = \mathrm{e}^{-1} = y_{\text{A}}$ donc le point A appartient à la courbe $\mathcal{C}_g$.

Donc le point A est un point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

\smallskip

On admet que ce point est l'unique point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, et que $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle $]0~;~1[$ et en dessous sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$.

\item Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. %Démontrer que

%\[\int_{a}^{b} \left ( f(x)-g(x)\strut\right ) \d x = \mathrm{e}^{-a} + \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}} - \mathrm{e}^{-b} - \mathrm{e}^{-\frac{1}{b}}.\]

La fonction $f$ définie par $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ a pour primitive la fonction $x \mapsto -\mathrm{e}^{-x}$.

La fonction $g$ est définie par $g(x)= \dfrac{1}{x^2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ de la forme $u'(x)\mathrm{e}^{u(x)}$ d'après ce qui a été vu précédemment; elle a donc pour primitive la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{u(x)}$ c'est-à-dire $x\mapsto \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$.

La fonction $\left (f-g\strut\right )$ a donc pour primitive la fonction $x\mapsto -\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$.

On en déduit que

$\int_{a}^{b} \left ( f(x)-g(x)\strut\right ) \text{ d}x 
= \left [ -\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}\strut \right ]_{a}^{b} 
=  - \mathrm{e}^{-b} - \mathrm{e}^{-\frac{1}{b}} - \left ( -\mathrm{e}^{-a} - \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}} \right )= \boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{-a} + \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}} - \mathrm{e}^{-b} - \mathrm{e}^{-\frac{1}{b}}}}$.

\item %Démontrer que \[\lim_{a\to 0} \int_{a}^{1} \left ( f(x)-g(x)\strut\right ) \d x =1-2\mathrm{e}^{-1}.\]
D'après la question précédente,

$\int_{a}^{1} \left ( f(x)-g(x)\strut\right ) \text{ d}x  = \mathrm{e}^{-a} + \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}} - \mathrm{e}^{-1} -\mathrm{e}^{\frac{-1}{1}}\boxed{\textcolor{red}{= \mathrm{e}^{-a} + \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}} - 2\mathrm{e}^{-1}}}$.

$\lim_{a\to 0} \mathrm{e}^{-a} = \mathrm{e}^{0}=1$

$\left .
\begin{array}{@{}l}
\lim_{\substack{a\to 0\\a>0}} -\dfrac{1}{a} = -\infty\\[7pt]
\lim_{X\to -\infty} \mathrm{e}^{X} = 0\\
\end{array}
\right \rbrace$ donc
$\lim_{\substack{a\to 0\\a>0}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}} = 0$

On peut donc déduire que 
$\lim_{\substack{a\to 0\\a>0}}  \mathrm{e}^{-a} + \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}} = 1$
et donc que
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{a\to 0} \int_{a}^{1} \left ( f(x)-g(x)\strut\right ) \d x =1-2\mathrm{e}^{-1}}}$.

\item On admet que
$\lim_{a\to 0} \int_{a}^{1} \left ( f(x)-g(x)\strut\right ) \d x =\lim_{b\to +\infty} \int_{1}^{b} \left ( g(x)-f(x)\strut\right ) \d x .$

%Interpréter graphiquement cette égalité.

Sur l'intervalle $]0~;~1[$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$ donc\\
$\lim_{a\to 0} \int_{a}^{1} \left ( f(x)-g(x)\strut\right ) \d x$ représente l'aire de la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$. \\
C'est l'aire de la région hachurée sur le graphique.

Sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$ donc\\
$\lim_{b\to +\infty} \int_{1}^{b} \left ( g(x)-f(x)\strut\right ) \d x $ représente l'aire de la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_f$, et les droites $x=1$ et $x=b$ quand $b$ tend vers $+\infty$. \\
C'est l'aire de la région grisée sur le graphique.

On peut donc dire que ces deux aires sont égales. 
 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2018}}
On considère, pour tout entier $n > 0$, les fonctions $f_n$ définies sur l'intervalle [1~;~5J par:

\[f_n(x) = \dfrac{\ln x}{x^n}.\]
.
Pour tout entier $n > 0$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal.

Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes $\mathcal{C}_n$ pour $n$ appartenant à 
$\{1~;~2~;~3~;~4\}$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(5.2,0.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(5.2,0.7)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{5}{x ln x div}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{5}{x ln x dup mul div}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1}{5}{x ln x 3 exp  div}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{1}{5}{x ln x 4 exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout entier $n > 0$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] :\[f'_n(x) = \dfrac{1- n\ln (x)}{x^{n+1}}.\]
$f_n=\dfrac{u}{v_n}$ avec $\begin{cases}u(x)=\ln x\\v_n(x)=x^n\end{cases}$.

$f'=\left(\dfrac{u}{v_n}\right)'=\dfrac{u'v_n-uv_n'}{v_n^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v_n'(x)=nx^{n-1}\end{cases}$.

Alors : $f_n'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^n-nx^{n_1}\ln x}{x^{2n}}=\dfrac{x^{n-1}\left(1-n\ln x\right)}{x^{2n}}=\dfrac{1-n\ln x}{x^{2n-(n-1)}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1-n\ln x}{x^{n+1}}}}$.

\item  Pour tout entier $n > 0$, on admet que la fonction $f_n$ admet un maximum sur l'intervalle [1~;~5].

On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{C}_n$ ayant pour ordonnée ce maximum.

%Montrer que tous les points $A_n$ appartiennent à une même courbe $\Gamma$ d'équation
L'abscisse $x_n$ de $A_n$ est la valeur pour laquelle $f_n'(x)$ s'annule, donc 

$1-n\ln x_n=0 \iff x_n=\mathrm{e}^{\frac1n}\in[1~;~5]$.

%\[y = \dfrac{1}{\text{e}} \ln (x).\]
L'ordonnée de $A_n$ est alors $y_n=f_n\left(x_n\right)=\dfrac{\ln\left(\mathrm{e}^{\frac 1n}\right)}{\left(\mathrm{e}^{\frac 1n}\right)^n}=\dfrac{\frac1n}{\mathrm{e}^{1}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\times \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\times \ln\left(\mathrm{e}^{\frac 1n}\right)=\dfrac{1}{\text{e}}\ln\left(x_n\right)$.

Les points $A_n$ appartiennent donc à la courbe $\Gamma$ d'équation $y =\dfrac{1}{\mathrm{e}}\ln x$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier $n > 1$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] :
%
%\[0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\]
$\forall x\in[1~;~5]$, $0\leqslant \ln x\leqslant \ln (5)$ car la fonction $\ln$ est croissante ; en divisant par $x^n$ positif, on trouve \[\boxed{\textcolor{red}{0\leqslant \dfrac{\ln x}{x^n}\leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.}}\]
		
		\item  %Montrer que pour tout entier $n > 1$ :
		
%\[\displaystyle\int_1^5 \dfrac{1}{x^n} \:\text{d}x = \dfrac{1}{n - 1}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n - 1}} \right).\]

$\int_1^5\dfrac{1}{x^n}\text{ d}x=\left[-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}\right]_1^5=\dfrac{1}{n-1}\left[-\dfrac{1}{5^{n-1}}-(-1)\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)}}$.

		\item  %Pour tout entier $n > 0$, on s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface sous la courbe $f_n$,
%c'est-à-dire l'aire du domaine du plan délimité par les droites d'équations $x = 1$, $x = 5$, $y = 0$
%et la courbe $\mathcal{C}_n$.

%Déterminer la valeur limite de cette aire quand $n$ tend vers $+ \infty$.
L'aire cherchée est $\mathcal{A}_n= \displaystyle\int_1^5f_n(x)\text{ d}x= \int_1^5\dfrac{\ln x}{x^n}\text{ d}x$.

On sait que $0\leqslant \dfrac{ \ln x}{x^n}\leqslant \dfrac{\ln 5}{x^n}$ donc par conservation de l'ordre, \\
$\int_1^50\text{ d}x\leqslant \displaystyle\int_1^5\dfrac{\ln x}{x^n}\text{ d}x\leqslant \displaystyle\int_1^5\dfrac{\ln 5}{x^n}=\ln 5\int_1^5\dfrac{1}{x^n}\text{ d}x = \dfrac{\ln 5}{n - 1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)$.

$5>1$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}5^{n-1}=+\infty$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)=0$.

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln 5}{n-1}=0$.

Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\mathcal{A}_n=0}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole, juin 2017}}
\textbf{\textcolor{blue}{Partie A }}

\bigskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par : $h(x) = x\mathrm{e}^{-x}$. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
Pour tout $x$, $h(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}}$ ; d'après les croissances comparées, \\
$\lim_{x\rightarrow =\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=0}}$.

\item %Étudier les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
$h$ est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables.

$h=u\mathrm{e}^{w}$ avec $\begin{cases}u(x)=x\\w(x)-x\end{cases}$.

$h'=\left(u\mathrm{e}^{w}\right)'=u'\mathrm{e}^{w}+u\left(\mathrm{e}^{w}\right)'=u'\mathrm{e}^{w}+u\times w'\mathrm{e}^{w}$ avec $\begin{cases}u'(x)=&\\w'(x)=-1\end{cases}$.

On en déduit : $h'(x)=\mathrm{e}^{-x}+x\times (-1)\mathrm{e}^{-x}$ donc, après factorisation par $\mathrm{e}^{-x}$ : $\boxed{\textcolor{red}{h'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}}}$.

Pour tout $x\geqslant 0$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ ; $h'(x)=0\Leftrightarrow 1-x=0\Leftrightarrow x=1$ et \\$
h'(x)>0\Leftrightarrow 1-x>0\Leftrightarrow x<1$.

$h(0)=0$ et $h(1)=\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de variation : }}

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1&&\pI\\
\filet
h'(x)&&\c&\h{\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)\approx 0,37}&\d&0\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
\item L'objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h$. 

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a : 
%\[h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)\]
% où $h'$ désigne la fonction dérivée de $h$.
Pour tout $x\geqslant 0$, $\mathrm{e}^{-x}-h'(x)=\mathrm{e}^{-x}-(1-x)\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-x}+x\mathrm{e}^{-x}=x\mathrm{e}^{-x}=h(x)$ donc 
\[\boxed{\textcolor{red}{h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)}}\]

\item %Déterminer une primitive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la fonction \\
%$x\longmapsto \mathrm{e}^{-x}$.
Soit la fonction $v:x\longmapsto \mathrm{e}^{-x}$ ; $v(x)=-(-1)\mathrm{e}^{-x}=-w'(x)\mathrm{e}^{w(w)}$ (avec les notations précédentes) donc une primitive de $v$ est \[\boxed{\textcolor{red}{V:x\longmapsto -\mathrm{e}^{w(x)}=-\mathrm{e}^{-x}}}\]

\item %Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
Soit $H$ une primitive de $h$.

$h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)$ donc $H(x)=-\mathrm{e}^{-x}-h(x)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{H(x)=-\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}=-(x+1)\mathrm{e}^{-x}}}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B }}

\bigskip

On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par: 
\[f(x) =x\mathrm{e}^{-x} + \ln(x + 1)\text{\hspace{2cm}et\hspace{2cm}} g(x) =\ln(x + 1).\]
 
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.


\bigskip


\begin{enumerate}
\item Pour un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on appelle M le point de coordonnées (x~;~f(x)) et N le point de coordonnées (x~;~g(x)) : M et N sont donc les points d'abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale. 
M et N ont la même abscisse et $f(x)\geqslant g(x)$ (car $x+1\geqslant 1$ donc \\
$\ln(x+1)\geqslant 0$).

D'où $MN=f(x)-g(x)=x\mathrm{e}^{-x}=h(x)$ : $\boxed{\textcolor{red}{\text{MN}=h(x)=x\mathrm{e}^{-x}}}$.

\item %Placer sur le graphique fourni en annexe page \pageref{fin} les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN. 
D'après l'étude des variations de $h$, MN est maximum pour $x=1$.

\begin{center}

\psset{xunit=3cm,yunit=4cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.5)(5,2.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(5.2,2.4)
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200,linecolor=blue]{0}{5.2}{x*EXP(-x)+ln(x+1.0)}
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200,linecolor=red]{0}{5.2}{ln(x+1.0)}
\psline(3.7,-0.1)(3.7,0.1)
\uput[d](3.7,0){$\lambda$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1](1,1.06)(1,0.69)
\uput[ul](1,1.06){M}
\uput[dr](1,0.69){N}
\psline(1,1.06)(1,0.69)
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{3.7}{x*EXP(-x)+ln(x+1)}
\psplot[linewidth=1.5pt]{3.7}{0}{ln(x+1)}}
\uput[u](4,1.68){$\mathcal{C}_f$}
\uput[d](4.2,1.65){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}

\item Soit $\lambda$ un réel appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d'équations $x =0$ et $x =\lambda$. 

\begin{enumerate}
\item %Hachurer le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique.
Hachurons le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique. (voir ci-dessus)


\item %On note $A_{\lambda}$. l'aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d'aire. Démontrer que : 
%\[A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}.\]
$A_{\lambda}=\int_0^\lambda(f(x)-h(x))\text{ d}x=\int_0^1h(x)=H(\lambda)-H(0)=-(\lambda+1)\mathrm{e}^{-\lambda}-(-1)\\
=1-(\lambda+1)\mathrm{e}^{-\lambda}=1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}$ : 
\[\boxed{\textcolor{red}{A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}}}.\]

\item %Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat. 
$A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda}{\mathrm{e}^{\lambda}}+\dfrac{1}{\lambda}$.

$\lim_{\lambda\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)=0$ et $\lim_{\lambda\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\lambda}{\mathrm{e}^{\lambda}}\right)=0$ (croissances comparées).

Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\lambda\rightarrow +\infty}A_{\lambda}=1}}$.

L'aire entre les deux courbes (pour $0\leqslant x$) vaut 1.

\end{enumerate}	

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{tabular}{|ll|} \hline
\textbf{Variables :}&\\
&$\lambda$ est un réel positif\\
&$S$ est un réel strictement compris entre 0 et 1.\\
\textbf{Initialisation :}&\\
&Saisir $S$\\
&$\lambda$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement :}&\\
&Tant Que $1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}<S$ faire\\
&$\lambda$ prend la valeur $\lambda+1$\\
&Fin Tant Que\\
\textbf{Sortie :}&\\
&Afficher $\lambda$\\
\hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item %Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur $S=0,8$ ?
À la calculatrice, on obtient : 

$\begin{array}{|*2{c|}}\hline
\lambda&1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}\\
\hline
0&0\\
\hline
1&	0,264241118\\
\hline
2&0,59399415\\
\hline
3&0,800851727\\
\hline
\end{array}$

\textbf{\textcolor{red}{L'algorithme affichera donc 3}}.

\item %Quel est le rôle de cet algorithme ?
L'algorithme calcule la plus petite valeur entière de $\lambda$ pour laquelle \\
$A_{\lambda} >S$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2017}}
\subsubsection*{Partie A}
\def\interA{\cd 1~;~+\infty\cd}
\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x)$.
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
D'après le cours, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ donc 
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ donc la courbe  admet la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) comme asymptote horizontale en $+\infty$.

\item% Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\interA$.
La fonction $f$ est dérivable sur $[1~;~+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur $[1~;~+\infty[$:

$f'(x)=-\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x -  \ln(x) \times 1}{x^2} = \dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.

\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\interA$.
On étudie le signe de $f'(x)$ sur $[1~;~+\infty[$:

$f'(x)>0 \iff \dfrac{1-\ln(x)}{x^2}>0 \iff 1-\ln(x) >0 \iff 1>\ln(x) \iff \mathrm{e} >x \iff x<\mathrm{e}$

\begin{tabular}{@{} ll}
Donc la fonction $f$ est:& strictement croissante sur $[ 1~;~\mathrm{e}[$;\\
 & strictement décroissante sur $[ \mathrm{e}~;~+\infty[$.
\end{tabular}

\end{enumerate}
 
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}
\def\interB{\cd 1~;~2\cg}
\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par
$u_n = \int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\d x$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$.
$u_0=\int_{1}^{2}  \dfrac{1}{x} \ln(x) \d x \int_{1}^{2}  f(x) \d x $

$\dfrac{1}{x} \ln(x)$ est de la forme $u'u$ qui a pour primitive $\dfrac{1}{2}u^2$; donc la fonction $f$ a pour primitive sur $[1~;~2]$ la fonction $F$ définie par $F(x)=\dfrac{1}{2}\left [ \ln(x)\rule{0pt}{10pt}\right ]^2$.

Donc $u_0=\int_{1}^{2}  \dfrac{1}{x} \ln(x) \d x 
= \left [ F(x) \rule{0pt}{10pt}\right ]_{1}^{2}
= F(2)-F(1)
= \dfrac{1}{2} \left [ \ln(2)\rule{0pt}{10pt}\right ]^2 - \dfrac{1}{2}\left [ \ln(1)\rule{0pt}{10pt}\right ]^2
= \dfrac{1}{2}\left [ \ln(2)\rule{0pt}{10pt}\right ]^2$

%Interpréter graphiquement ce résultat.

La fonction $f$ est positive sur $[1~;~2]$ donc $\int_{1}^{2}  \dfrac{1}{x} \ln(x) \d x $ est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les  droites d'équations $x=1$ et $x=2$.

\item % Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2],  on a \[0 \leqslant  \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
\begin{tabular}[t]{@{}l l l}
Pour tout $x$ de $[1~;~2]$: 	& $1 \leqslant  x \leqslant  2$ &\\
 														& $\iff \ln(1) \leqslant  \ln(x) \leqslant  \ln(2)$ &  la fonction ln est croissante sur $[1~;~2]$\\
 														& $\iff 0 \leqslant \ln(x) \leqslant \ln(2)$ & \\
 														& $\iff 0\leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(2)$ &  $\dfrac{1}{x^{n+1}} >0$ sur $[1~;~2]$
\end{tabular}


\item%  En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 -  \dfrac{1}{2^n}\right).\]
On a $0\leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(2)$ donc, d'après la positivité de l'intégration:\\ 
$\int_{1}^{2} 0 \d x \leqslant \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \d x \leqslant \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(2) \d x$ ou encore
$0 \leqslant u_n \leqslant \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(2) \d x$.

On calcule $\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(2) \d x = \ln(2) \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \d x$.

Pour $n>0$, la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x^{n+1}}$  a pour primitive la fonction  $x \longmapsto -\dfrac{1}{n x^n}$.

Donc $\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \d x = \left [ -\dfrac{1}{n x^n}\right ]_{1}^{2}
= \left ( -\dfrac{1}{n \times 2^n}\right ) - \left ( -\dfrac{1}{n\times 1^n} \right) 
= \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n\times 2^n}
= \dfrac{1}{n} \left ( 1-\dfrac{1}{2^n}\right )$

\smallskip

Donc, pour tout entier naturel $n>0$, on a: $0\leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln(2)}{n} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right )$.

\item % Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
On cherche la limite en $+\infty$ de $\dfrac{\ln(2)}{n} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right )$.

\smallskip

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\lim_{n\to + \infty} n = +\infty \text{ donc } \lim_{n\to + \infty} \dfrac{\ln(2)}{n} = 0\\[9pt]
\lim_{n\to + \infty} 2^n = +\infty \text{ donc } \lim_{n\to + \infty} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right )=1
\end{array}
\right\rbrace
\text{ donc }
\lim_{n\to + \infty} \dfrac{\ln(2)}{n} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right ) = 0$.

\smallskip

On a: $0\leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln(2)}{n\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right )$ pour tout $n$, et $\lim_{n\to + \infty} \dfrac{\ln(2)}{n} \left (1-\dfrac{1}{2^n} \right ) = 0$; on peut donc dire, d'après le théorème des gendarmes, que la suite $(u_n)$ est convergente et \fbox{\textcolor{red}{a pour limite 0}}.


\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  