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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du sujet Nouvelle Calédonie mars 2015}}\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $2\%$ des puces livrées ont une durée de vie courte, c'est-à-dire  
		
$P_L(C) = 0,02$.
		\item On déduit  que $P_L\left(\overline{C}\right) = 1 - 0,02 = 0,98$ et 

$P\left(L \cap \overline{C}\right) = P(L) \times P_L\left(\overline{C}\right) = 0,95 \times 0,98 = 0,931$.
		\item Comme seules les puces livrées peuvent avoir une durée de vie courte on a :
		
$P\left[\overline{L}\cup \left(L \cap C\right)  \right] =  P\left(\overline{L}\right) + P(L \cap C) = 0,05 +  0,019 = 0,069$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On sait que $P(X \leqslant \np{1000}) = 0,02$.

$X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$,  donc :

$P(X \leqslant  \np{1000}) = 1 - \text{e}^{-\np{1000}\lambda} = 0,02 \iff \text{e}^{-\np{1000}\lambda} = 1 - 0,02 \iff$

$ \text{e}^{-\np{1000}\lambda} = 0,98 \Rightarrow -\np{1000}\lambda = \ln 0,98 \iff \lambda = \dfrac{- \ln 0,98}{\np{1000}}$.
		\item $P(X \geqslant \np{10000}) = \text{e}^{-\np{10000}\lambda} =  \text{e}^{-10\ln 0,98} \approx 0,817$.
		
Donc environ $81,7\,\%$ des puces ont une durée de vie supérieure ou égale à \np{10000} heures.
		\item $P(\np{20000} \leqslant X \leqslant  \np{30000}) = \text{e}^{-\np{20000}\lambda} - \text{e}^{-\np{30000}\lambda} \approx 0,122$.
		
Soit : environ $12,2\,\%$ des puces ont une durée de vie comprise entre $20~000$ et $30~000$ heures.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On effectue \np{15000} tirages indépendants les uns des autres. La probabilité qu'une puce livrée ait une vie courte est $p = 0,003$.
		
$Y$ suit donc une loi binomiale  de paramètres $n = \np{15000}$ et $p = 0,003$..
		\item E$(Y) = n \times p = \np{15000} \times 0,003 = 45$.

Il y a environ 45 puces à durée de vie courte sur les \np{15000} extraites de la production.
		\item On a $P(40 \leqslant Y \leqslant 50) = P(Y \leqslant 50) - P(Y < 40) = P(Y \leqslant 50) - P(Y \leqslant 39)$.
		
La calculatrice donne $P(Y \leqslant 50) \approx \np{0,7966}$ et $P(Y \leqslant 39) \approx \np{0,2080}$, donc :

$P(40 \leqslant Y \leqslant 50) \approx \np{0,7966} - \np{0,2080} \approx  0,589$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  