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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de l'exercice de bac Antilles-Guyane juin 2015}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A}}

\medskip

%On appelle $\C$ l'ensemble des nombres complexes.
%
%Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv{} on a placé un point $M$ d'affixe $z$
%appartenant à $\C$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe
%$\left[\text{O}~;~ \overrightarrow{u}\right)$.
%
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.7)(3,2.7)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-2.7)(3,2.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2.6}
\psdots(2.6;63)(2.6;0)(0;0)(1.879,1.158)(0.939,0.579)
\uput[u](1.879,1.158){$I$}\uput[ul](0.939,0.579){$M'$}
\uput[ur](2.6;63){$M$} \uput[dr](2.6;0){$R$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\psline(2.6;63)(2.6;0)
\psline(2.6;31.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Exprimer l'affixe du point $R$ en fonction de $z$.
Puisque O$M$ = O$R$, on a $\left|z_M \right| = \left|z_R \right| = |z|$.

Comme $R$ a un argument égal à $0$ à $2\pi$ près on a $z_R = |z|$.
\item %Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par

\[z' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .\]

%Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$.
L'affixe de $\dfrac{z + |z|}{2}$ est égale à la demi-somme des affixes de celles de $M$ et de $R$. Le point ayant cette affixe  est donc le milieu $I$ du segment $[MR]$.

Finalement le point $M'$ est le milieu de [O$I$].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B}}

\medskip

%On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\C$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence :
%
%\[z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.\]
%
%Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ?
Si $z_0$ est un nombre réel négatif, on a $\left|z_0  \right| = - z_0$. D'où 

$z_1 = \dfrac{z_0 + \left|z_0 \right|}{4} = \dfrac{z_0 - z_0 }{4} = 0$ et tous les termes suivants de la suite sont nuls. La suite converge vers $0$.
\item %Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ?
Si $z_0$ est un nombre réel positif, on a $\left|z_0  \right| =  z_0$. D'où

$z_1 = \dfrac{z_0 + \left|z_0 \right|}{4} = \dfrac{z_0 + z_0}{4} = \dfrac{z_0}{2}$, puis \\
$z_2 = \dfrac{z_1 + \left|z_1 \right|}{4} = \dfrac{\frac{z_0 }{2} + \frac{z_0 }{2}}{4} = \dfrac{z_0}{4}$.

Montrons par récurrence que \[z_n = \dfrac{z_0}{2^n}.\]

\textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : on vu que la relation est vraie pour $n = 0$.

\textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : supposons qu'il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que $z_p = \dfrac{z_0}{2^p}$ ; alors 

$z_{p+1} = \dfrac{z_p + \left|z_p \right|}{4} =
 \frac{\frac{z_0}{2^p} + \frac{z_0}{2^p} }{4} 
= \frac{\frac{z_0}{2^{p - 1}}}{2^2} =
 \frac{z_0}{2^{p+1}}$ : la relation est vraie au rang $p + 1$.

On a donc démontré que pour tout naturel $u_n = \dfrac{z_0}{2^n}$.

La suite $\left(z_n\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme $z_0$ et de raison $\frac{1}{2}$. Comme $- 1 < \frac{1}{2} < 1$, on sait que cette suite converge vers $0$.
\item %On suppose désormais que $z_0 $n'est pas un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite 
%$\left(\left|z_n\right|\right)$ ?
D'après la première construction, le module de $z_M'$ est inférieur à celui de $z_M$. On peut donc conjecturer que la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ va elle aussi converger vers $0$.
		\item %Démontrer cette conjecture, puis conclure.
		
On sait (inégalité triangulaire que pour tous complexes $z_1$ et $z_2$, que 

$\left|z_1 + z_2 \right|\leqslant \left|z_1 \right| + \left|z_2 \right|$.

En appliquant cette inégalité à $\frac{z_n}{4}$ et à $\frac{|z_n|}{4}$, on obtient :

$\left|z_{n+1} \right| \leqslant \left|\frac{z_n}{4} \right| +  \left| \frac{|z_n|}{4}\right|$ ou encore 

$\left|z_{n+1} \right| \leqslant \dfrac{2\left|z_n \right|}{4} $ ou 

\[\boxed{\textcolor{red}{\left|z_{n+1} \right| \leqslant \dfrac{\left|z_n \right|}{2}}}.\]

On montre de la même façon que précédemment par récurrence que $\left|z_n \right| \leqslant \dfrac{\left|z_0 \right|}{2^n}$.

La suite $\left(\dfrac{\left|z_0 \right|}{2^n} \right)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ qui converge vers $0$.   Donc d'après le théorème des gendarmes  la suite 	$\left(\left|z_n\right|\right)$  converge elle aussi vers $0$.	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  