\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du contrôle sur la fonction $\mathbf{\ln}$ et les nombres complexes}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Exprimer en fonction de $\ln 2$ et de $\ln 3$ les nombres suivants :

\begin{enumerate}[$A=~$]
\item $\ln 54+2\ln 36=\ln\left(3\times 27\right)+2\ln(4\times 9)=\ln\left(2\times 3^3\right)+\ln\left(2^2\times 3^2\right)=\ln 2+3\ln 3+2\left(2\ln 2+2\ln 3\right)=\boxed{\textcolor{red}{5\ln 2+7\ln 3}}$

\bigskip

\item $\ln\left(\sqrt{6}\right)=\dfrac{1}{2}\ln(6)=\dfrac{1}{2}\ln(2\times 3)=\dfrac{1}{2}(\ln 2+\ln 3)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\ln 2+\dfrac{1}{2}\ln 3}}$
%
%\bigskip
%
%\item $\ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{32}}\right)$
%
%\bigskip
%\item $\ln\left(\dfrac{4^6}{3^7}\right)$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Donner la forme exponentielle de :\\


\noindent $A=12\mathrm{i}=\boxed{\textcolor{red}{12\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi2}}}$

\bigskip

\noindent $B=6\sqrt{3}-6\mathrm{i}$.\\
$|B|=|6\sqrt{3}-6\mathrm{i}|=6|\sqrt{3}-\mathrm{i}|=6\sqrt{\left(\sqrt{3}^2+(-1)^2\right)}=6\sqrt{4}=12$.\\
$B=12\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)=\boxed{\textcolor{red}{12\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi6}}}$

\bigskip

\noindent $C=\mathrm{i}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.\\
$|C|=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^1+1^2}=\sqrt{\dfrac{1}{3}+1}=\sqrt{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.\\
$C=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}}}$


\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Soit l'équation : $\ln(x+1)+\ln(x+2)=\ln(x+3)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Ensemble de définition : on doit avoir $\begin{cases}x+1>0\\x+2>0±±x+3>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>-1\\x>-2\\x>-3\end{cases}\Leftrightarrow x>-1$.\\
L'ensemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=]-1~;~+\infty[}}$.

\item On suppose que $x$ appartient à $\mathscr{D}$.\\
Alors : $\ln(x+1)+\ln(x+2)=\ln(x+3)\Leftrightarrow \ln[(x+1)(x+2)]=\ln(x+3)\Leftrightarrow (x+1)(x+2)=x+3$ (car $\ln a=\ln b\Leftrightarrow a=b$)\\
$\Leftrightarrow x^2+3x+2=x+3\Leftrightarrow x^2+2x-1=0$\\
$\Delta=8$ ; l'équation a deux solutions réelles :\\
$x_1=\dfrac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}\notin\mathscr{D}$ (car $x_1<-1$) et $x_2=-1+\sqrt{2}\in\mathscr{D}$.

        \item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-1+\sqrt{2}\right\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\dfrac{1+\ln x}{2-\ln x}>0$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Ensemble de définition}} :\\
On doit avoir $\begin{cases}x>0\\\ln x\neq 2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>0\\x\neq \mathrm{e}^{2}\end{cases}$.\\
L'nsemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\left]0~;~\mathrm{e}^{2}\right[ \cup \left]\mathrm{e}^{2}~;~+\infty\right[}}$.

\item On cherche le signe du numérateur et du dénominateur :\\
$1+\ln x=0\Leftrightarrow \ln x=-1\Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.\\
$1+\ln x>0\Leftrightarrow \ln x>-1\Leftrightarrow x>\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.\\

\bigskip

$2-\ln x>0\Leftrightarrow 2>\ln x\Leftrightarrow \ln x<2\Leftrightarrow x<\mathrm{e}^{2}$

\item On renseigne alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&\dfrac{1}{\mathrm{e}}&&\mathrm{e}^{2}&&\pI\\
\hline
1+\ln x&\bb&&-&\z&+&\bb&+&\\
\hline
2-\ln x&\bb&&+&\l&+&\bb&-&\\
\hline
\dfrac{1+\ln x}{2-\ln x}&\bb&&-&\l&+&\bb&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item On en déduit que l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]\dfrac{1}{\mathrm{e}}~;~\mathrm{e}^{2}\right[}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=x-\ln x.\]
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les limites en 0 et en $+\infty$ de $f$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en 0 : $\lim_{x\rightarrow 0}x=0$ et $\lim_{x\rightarrow 0}\ln(x)=-\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=+\infty}}$.

\item Limite en $+\infty$ : on a une forme indéterminée.\\
Pour $x>0$, $f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)$ ; d'après les croissances comparées, $\lim_{x\rightarrow =\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)=0$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.
\end{enumerate}

\item %Étudier les variations de $f$.
$f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables.\\
$\forall x>0,~f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$ qui est du signe de $x-1$ car $x>0$, donc positif pour $x>1$ et négatif pour $x<1$.\\
On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\l&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&\h{\pI}&\d&1&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=\ln x\text{ et }g(x)=\left(\ln x\right)^2.\]
On note $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Étudier le signe de $\ln x (1-\ln x)$ sur $]0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln x=0$ pour $x=1$ et $\ln x>0$ pour $x>1$

\item $1-\ln x=0$ pour $\ln x=1$ c'est-à-dire $x=\mathrm{e}$ et $1-\ln x>0\Leftrightarrow \ln x<1\Leftrightarrow x<\mathrm{e}$.

\item Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&1&&\mathrm{e}&&\pI\\
\hline
\ln x&\bb&&-&\l&+&\l&+&\\
\hline
1-\ln x&\bb&&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
\ln x(1-\ln x)&\bb&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item %En déduire la position relative de $\mathscr{C}$ et de $\mathscr{C}'$ selon les valeurs de $x$.
$\ln x-(\ln x)^2=\ln x(1-\ln x)\geqslant 0\Leftrightarrow x\in\left[1~;~\mathrm{e}\right]$\\
$\mathscr{C}$ est donc au-dessus de $\mathscr{C}'$ pour $1<x<\mathrm{e}$ et les deux courbes se croisent en $x=1$ et $x=\mathrm{e}$.

\end{enumerate}

\item Pour $x\in]0~;~+\infty[$, M est le point de $\mathscr{C}$ d'abscisse $x$ et N le point de $\mathscr{C}'$ d'abscisse $x$.\\
%Montrer que, sur l'intervalle $[1~;~\mathrm{e}]$, la distance MN passe par un maximum.
Sur $[1~;~\mathrm{e}]$, $\mathscr{C}$ est au-dessus de $\mathscr{C'}$, donc $MN=y_M-y_N=\ln x-\left(\ln x\right)^2$.\\
On pose $f(x)=\ln x-\left(\ln x\right)^2$ et on étudie ses variations.\\
$f$ est dérivable somme somme et produit de fonctions dérivables.\\
$f=u-u^2$ avec $u(x)=\ln x$ donc $f'=u'-\left(u^2\right)'=u'-2u'u$ avec $u'(x)=\dfrac{1}{x}$.\\
donc $f'(x)=\dfrac{1}{x}-2\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1-2\ln x}{x}$ qui est du signe de $1-2\ln x$ car $x>0$.\\
Or $1-2\ln x=0\Leftrightarrow \ln x\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{\frac12}=\sqrt{\mathrm{e}}$ et $1-2\ln x>0\Leftrightarrow x<\sqrt{e}$.\\
Variations de $f$ sur $[1~;~\mathrm{e}]$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&1&&\sqrt{e}&&\mathrm{e}\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{\dfrac{1}{4}}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Existe-t-il des abscisses sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ telle que la distance MN soit égale à 1 ?
Hors de $[1~;~\mathrm{e}]$, $\mathscr{C}$ est en dessous de $\mathscr{C}'$ donc $MN=y_N-y_M=\left(\ln x\right)^2-\ln x$.\\
On considère alors l'équation $\left(\ln x\right)^2-\ln x=1\Leftrightarrow \left(\ln x\right)^2-\ln x-1=0$.\\
On pose $X=\ln x$ ; l'équation équivaut à $\begin{cases}X=\ln x\\X^2-X-1=0\end{cases}$.\\
On résout $X^2-X-1=0$ ; $\Delta=5>0$ ; il y a deux solutions : $X_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $X_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.\\
On revient alors à équation initiale : $X=\ln x\Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{X}$.\\
L'équation a deux solutions $x_1=\mathrm{e}^{X_1}=\mathrm{e}^{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}<1$ et $x_2=\mathrm{e}^{X_2}=\mathrm{e}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}>\mathrm{e}$.\\
Il y a deux valeurs pour lesquelles $MN=1$.\\
Remarque : on pouvait aussi montrer l'existence de ces deux nombres sans les calculer et en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires..


\end{enumerate}




%\subsection{}%Pondichéry avril 2016
%L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas
%un pentagone régulier.
%
%\medskip
%
%\parbox{0.5\linewidth}{Dans le plan complexe muni d'un repère
%orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel
%que $\overrightarrow{OA_0} = \overrightarrow{u}$.
%
%On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-contre :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] les cinq côtés sont de même longueur;
%\item[$\bullet~~$] les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$
%appartiennent au cercle trigonométrique ;
%\item[$\bullet~~$] pour tout entier $k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a 
%
%$\left(\overrightarrow{OA_k}~;~\overrightarrow{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}}\hfill
%\parbox{0.49\linewidth}{\psset{unit=2.5cm}
%\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1)
%\pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288)
%\pscircle(0,0){1}
%\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$} \uput[ul](1;144){$A_2$} \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$} 
%\end{pspicture}
%}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$.\index{complexes}
%
%Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$.
%
%Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$.
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$. Justifier brièvement.
%		\item Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 +  2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.
%		\item Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser
%sans justification :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
%\multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline
%1&cos (4*pi/5)\\
%&\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
%2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ \hline
%&\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg
%\end{center}
%
%En   déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$.
% 	\end{enumerate}
%\item  Dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.
%\end{enumerate}
%
%\begin{center}
%\psset{unit=3.2cm}
%\begin{pspicture}(-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
%\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
%\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\psgrid[subgriddiv=5,gridwidth=0.8pt,gridlabels=0](-1,-1)(1,1)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}%Liban mai 2016
On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par :\index{complexes}

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_0		& =& 0\\
z_{n+ 1}& =& \dfrac{1}{2} \text{i} \times z_n + 5
\end{array}\right.\]

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d'affixe $z_{\text{A}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n - z_{\text{A}}$.\index{suite de complexes}
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ \[u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \text{i} \times u_n.\]
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=z_{n+1}-z_A=\dfrac{1}{2}\mathrm{i}z_n+5-4-2\mathrm{i}=\dfrac{1}{2}\mathrm{i}z_n+1-2\mathrm{i}=\dfrac{1}{2}\mathrm{i}z_n-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\left(4+2\mathrm{i}\right)=\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\left(z_n-(4+2\mathrm{i})\right)=\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\left(z_n-z_A\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\mathrm{i}u_n}}$.
		
		\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
%		
%\[u_n = \left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^n (- 4 - 2\text{i}).\]
On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$ donc $u_n=u_0\times \left(\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)^n$ ; or $u_0=z_0-z_A=-z_A=(-4-2\mathrm{i})$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)^n\left(-4-2\mathrm{i}\right)}}$.
	\end{enumerate}`
	
\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.
D'après la définition de $u_n$, on a $z_n=u_n+z_A$.\\
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AM_n}$ est donc $z_n-z_A=u_n$.\\
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AM_{n+4}}$ est donc $z_{n+4}-z_A=u_{n+4}$.\\
Or $u_{n+4}=\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)^4u_n=\dfrac{1}{16}u_n$ donc $\overrightarrow{AM_{n+4}}=\dfrac{1}{16}\overrightarrow{AM_n}$.\\
Les poins A, $M_n$ et $AM_{n+4}$ sont bien alignés, pour tout $n$.
	\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  