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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du TD sur la loi normale}}\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

\item $0,16\leqslant Y\leqslant 0,18\Leftrightarrow 0,16-0,17\leqslant Y-0,17\leqslant 0,18-0,17\Leftrightarrow \dfrac{0,16-0,17}{\sigma}\leqslant Z\leqslant \dfrac{0,18-0,17}{\sigma}\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{0,01}{\sigma}\leqslant Z\leqslant \dfrac{0,01}{\sigma}}}$.\\

On cherche le nombre $u_{\alpha}$ tel que $P\left(-u_{\alpha}\leqslant Z\leqslant u_{\alpha}\right)=0,99$.\\

Par symétrie de la courbe représentative de la fonction de Gauss par rapport à l'axe des ordonnées, on a $P(Y\leqslant -u_{\alpha})=\dfrac{1-0,99}{2}=0,005$.\\
À la calculatrice, on trouve $-u_{\alpha}\approx -2,576$ donc $u_{\alpha}\approx 2,576$.\\
On en déduit $\dfrac{0,01}{\sigma}=u_{\alpha}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\sigma=\dfrac{0,01}{u_{\alpha}}\approx \numprint{0,0039}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $\phi(t)=0,985$ donc $t\approx 2,17$.

\item $98\leqslant X\leqslant 100\Leftrightarrow \dfrac{98-100}{\sigma}\leqslant Z\leqslant \dfrac{98-100}{\sigma}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{2}{\sigma}\leqslant Z\leqslant \dfrac{2}{\sigma}}}$.\\
$Z$ suit la loi normale centrée réduite.\\

On cherche $\alpha$ tel que $P(-\alpha\leqslant Z\leqslant \alpha)=0,97\Leftrightarrow P(Z\leqslant \alpha)=0,97+\left(\dfrac{1-0,97}{2}\right)=0;085$.\\
D'après 1., on a $\alpha\approx 2,17$.\\
D'où $\sigma\approx\dfrac{2}{2,17}$.\\
Alors, $\boxed{\textcolor{red}{\sigma\approx 0,922}}$.
\end{enumerate}


\subsection{}
\begin{enumerate}
		\item $p_{1} = P\left(\mu_{1} - 3\sigma_{1}\leqslant X \leqslant \mu_{1} + 3\sigma_{1}\right) = P\left(35,4 \leqslant X \leqslant 36,6\right) \approx \boxed{\textcolor{red}{0,997}}$. 
		
		\item $p_{2} = P\left(5,88 \leqslant Y \leqslant 6,12\right) = P\left(Y \leqslant 6,12\right) - P\left(Y \leqslant 5,88\right) \approx \boxed{\textcolor{red}{0,984}}$.
		
		\item
			\begin{enumerate}
			\item %Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre.
		 
%Déterminer la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à $10^{-2}$).
Les deux évènements $D$ et $L$ étant \textbf{indépendants} on a :

$P\left(D \cap L\right) = P\left(D\right) \times P\left(L\right) \approx \boxed{\textcolor{red}{0,981}}$.

La probabilité qu'une pièce ne soit pas acceptée est donc $1-0,981 \approx \boxed{\textcolor{red}{0,02}}$ arrondi à $10^{-2}$. 

			\item %Justifier que la probabilité qu'elle soit conforme pour le diamètre sachant qu'elle n'est pas conforme pour la longueur, est égale à $p_{2}$.
		$D$ et $L$ sont indépendants donc ${D}$ et $\overline L$ le sont aussi d'après le cours. 
		
		On a donc: $P_{\overline{L}}\left(D\right) = P\left(D\right) = \boxed{\textcolor{red}{p_{2}}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  