\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}
\boxed{\textcolor{red}{\Large{\text{Correction du devoir commun \no 2 - TS - 4 heures - 19/01/2019}}}}
\end{center}

\hfill\\


\noindent\underline{\textbf{Exercice 1 :}} % Jean-Paul / suites jumelles

\medskip

\noindent On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :
$$\begin{cases}
u_0=0 \\
u_{n+1} = \frac{3u_n+1}{4}
\end{cases} \ \ \ \ \text{et} \ \ \ \ 
\begin{cases}
v_0=2 \\
v_{n+1} = \frac{3v_n+1}{4}
\end{cases}$$

\bigskip

\begin{enumerate}
	\item Dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ donné ci-dessous, on a tracé les droites $d$ et $\Delta$ d'équations respectives :
	$$d : y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4} \ \ \ \ \text{et} \ \ \ \ \Delta : y = x$$
	En utilisant $d$ et $\Delta$, construire sur l'axe des abscisses les points $A_1$, $A_2$, $A_3$ d'abscisses respectives $v_1$, $v_2$, $v_3$.
\begin{center}
\psset{unit=2,algebraic=true}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(2.5,2.5)
	\psaxes[Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt](0,0)(-1,-1)(2.5,2.5)
	\psplot{-1}{2.5}{x}
	\psplot{-1}{2.5}{(3*x+1)/4}
	\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-1)(2.5,2.5)
	\uput[d](2,0){$v_0$}
	\psline(2,0)(2,1.75)
		\psline(1.75,1.75)(2,1.75)
				\psline(1.75,1.75)(1.75,1.5625)
				\psline(1.5625,1.5625)(1.75,1.5625)
				\psline(1.5625,1.5625)(1.5625,1.421875)
				\psline(1.421875,1.421875)(1.5625,1.421875)
\psline[linewidth=1pt](1.75,-0.1)(1.75,0.1)
\psline[linewidth=1pt](1.5625,-0.1)(1.5625,0.1)
\psline[linewidth=1pt](1.421875,-0.1)(1.421875,0.1)

\uput[d](1.75,0){$v_1$}
\uput[d](1.5625,0){$v_2$}
\uput[u](1.421875,0){$v_3$}
\end{pspicture}


\end{center}


	
	\item %Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ d'une part et $v_1$, $v_2$, $v_3$ d'autre part.
	On trouve : $\boxed{\textcolor{red}{u_1=\dfrac{1}{4}}}$,$\boxed{\textcolor{red}{u_2=\dfrac{7}{16}}}$, $\boxed{\textcolor{red}{u_3=\dfrac{37}{64}}}$,  $\boxed{\textcolor{red}{v_1=\dfrac{7}{4}}}$, $\boxed{\textcolor{red}{v_2=\dfrac{25}{16}}}$, $\boxed{\textcolor{red}{v_3=\dfrac{91}{64}}}$.
	
	\item 
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule les $100$ premiers termes de la suite $u_n$ :
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|} 
				\hline
				%\textbf{Entrée :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\[-0.4cm]
				\textbf{Initialisation :}& \\
				& $u \leftarrow 0 $\\
				& $n \leftarrow 0 $\\[0.2cm]
				\textbf{Traitement :}& \\
				& Tant que $n\leqslant 99$ \\  
				&\hspace{0,5cm} $n \leftarrow n+1 $ \\ 
				&\hspace{0,5cm} $u \leftarrow (3*u+1)/4$ \ldots\\[0.2cm]
				&Fin Tant que\\[0.2cm]
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item %Comment faudrait-il le modifier pour qu'il affiche chacun des termes calculés ? 
		Pour qu'il affiche chacun des termes calculés, il faut mettre \og{}Afficher u\fg{}
		
		\item %Comment faudrait-il le modifier pour qu'il affiche seulement le dernier terme calculé ?
		Pour qu'il affiche seulement le dernier terme, il faut mettre \og{}Afficher u\fg{} après Fin Tant que.
	\end{enumerate}
	
	\item On considère la suite $(s_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $s_n = u_n + v_n$.
	\begin{enumerate}[$a.$]

		\item %Calculer $s_0$, $s_1$, $s_2$, $s_3$. À partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite $(s_n)$ ?
		On trouve $s_0=s_1=s_2=s_3=2$ ; on conjecture que la suite $\left(s_n\right)$ est constante.
		
		\item %À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que la suite $(s_n)$ est une suite constante.
		Démontrons-le par récurrence :
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $s_0=2$ ; c'est vrai

\item Hérédité : on suppose que $s_n=2$ pour un entier $n$ quelconque.\\
$s_{n+1}=\dfrac{3u_n+1}{4}+\dfrac{3v_n+1}{4}=\dfrac{3\left(u_n+v_n\right)+2}{4}=\dfrac{3\times 2+2}{4}=\dfrac{8}{4}=2$ donc $s_{n+1}=2$.\\
La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, $s_n=2$ pour tout $n$.
	\end{enumerate}
	
	\item On considère la suite $(d_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $d_n = v_n - u_n$.
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item %Montrer que la suite $(d_n)$ est une suite géométrique.
		Pour tout $n$, $d_{n+1}=\dfrac{3u_n+1}{4}-\dfrac{3u_n+1}{4}=\dfrac{3\left(v_n-u_n\right)}{4}=\dfrac{3}{4}d_n$.\\
		La suite $\left(d_n\right)$ est géométrique, de raison $q=\dfrac{3}{4}$ et d perrier terme $d_0=2$.
		
		\item %Exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
		Puisque $\left(d_n\right)$ est géométrique, on a $d_n=d_0q^n=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
		
		\item %En utilisant les résultats des questions 4.c) et 5.b), exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
		On a : $\begin{cases}v_n+u_n=2\\v_n-u_n=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\end{cases}$.\\
		En additionnant, on trouve $2v_n=2+2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$ d'où $v_n=1+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.\\
		En soustrayant : $2u_n=2-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$ donc $u_n=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
		
		\item %Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent. On précisera leurs limites.
		$-1<\dfrac{3}{4}<1$, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{3}{4}\right)^n=0$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\noindent\underline{\textbf{Exercice 2 :}} % Bordas 2008 exo 52 + modifs Pierre (partie C ajoutée)
\medskip

%\noindent\textit{La partie C peut être traitée indépendamment des parties $A$ et $B$.}\\



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%\noindent On équipe un four d'un système de sécurité qui se déclenche quand la température dépasse $500\text{\degre}$ C.\\
%On veut étudier la fiabilité du système.\\
%Une étude a montré qu'en moyenne, sur une journée, on obtenait les résultats suivants :
%\begin{enumerate}[$\diamond$]
%\item résultat $1$ : la probabilité que la température dépasse $500\text{\degre}$ C est égale à $\frac{1}{50}$ ;
%\item résultat $2$ : la probabilité que le système se déclenche par erreur est égale à $\frac{1}{100}$ ;
%\item résultat $3$ :la probabilité que le système se déclenche quand la température dépasse $500\text{\degre}$ C est égale à $\frac{9}{10}$.
%\end{enumerate}
%On note $S$ l'évènement : \og le système de sécurité se déclenche \fg et $T$ l'évènement \og La température dépasse $500\text{\degre}$ C \fg.
%
%\bigskip

\noindent\underline{\textbf{Partie A :}}

\medskip

\noindent Dans toute cette partie, les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.\\

\begin{enumerate}
	\item %Écrire chacun des trois résultats en utilisant les évènements $T$ et $S$.
	En traduisant les renseignements à l'aide de $T$ et $S$, on obtient :
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{p(T)=\dfrac{1}{50}}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{p\left(\overline{T} \cap S\right)=\dfrac{1}{100}}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{p_T(S)=\dfrac{9}{10}}}$
\end{enumerate}
	\item 
		\begin{enumerate}[$a.$]
			\item %Calculer $p_{\overline{T}}(S)$.
			$p_{\overline{T}}(S)=\dfrac{p\left(\overline{T} \cap S\right)}{p\left(\overline{T}\right)}=\dfrac{\frac1{100}}{1-\frac1{50}}=\dfrac{\frac1{100}}{\frac{49}{50}}=\dfrac{1}{100}\times \dfrac{50}{49}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{98}}}$
			
			\item %Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
			Représentons la situation à l'aide d'un arbre pondéré :
\bigskip

			\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$T$}\taput{ $\dfrac{1}{50}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $\dfrac{9}{10}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $\dfrac{1}{10}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{T}$}\tbput{ $\dfrac{49}{50}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $\dfrac1{98}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $\dfrac{97}{98}$}
}
}


\bigskip

\end{center}
			\item %Calculer la probabilité que le système ne se déclenche pas mais que la température dépasse pourtant $500\text{\degre}$ C.
La probabilité que le système ne se déclenche pas mais que la température dépasse pourtant $500\text{\degre}$ C est :\\
			$p\left(T \cap \overline{S}\right)=p_T\left(\overline{S}\right)\times p(T)=\dfrac{1}{10}\times \dfrac{1}{50}=\dfrac{1}{500}$.
			
			\item %Quelle est la probabilité que le système de sécurité se déclenche ?
La probabilité que le système de sécurité se déclenche est :\\
$p(S)=p_T(S)\times p(T)+p_{\overline{T}}(S)\times p\left(\overline{T}\right)$ (formule des probabilités totales)\\
$=\dfrac{9}{10}\times \dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{100}=\dfrac{9}{500}+\dfrac{1}{100}=\dfrac{14}{500}=\dfrac{7}{250}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p(S)=\dfrac{7}{250}}}$.
			
		\end{enumerate}
	\item %Le système de sécurité vient de se déclencher. Quelle est la probabilité que la température ait réellement dépassé $500\text{\degre}$C ?
	Le système de sécurité vient de se déclencher. La probabilité que la température ait réellement dépassé $500\text{\degre}$C est : \\
	$p_S(T)=\dfrac{p(T \cap S)}{p(S)}=\dfrac{\frac9{500}}{\frac7{250}}=\dfrac{9}{500}\times \dfrac{250}{7}=\dfrac{9}{14}$ donc : $\boxed{\textcolor{red}{p_S(T)==\dfrac{9}{14}}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\underline{\textbf{Partie B :}}

\medskip

\noindent Le coût des anomalies est le suivant :
\begin{enumerate}[$\diamond$]
	\item $500$ euros quand la température dépasse $500\text{\degre}$ C et que la sécurité se déclenche.
	\item $1500$ euros quand la température dépasse $500\text{\degre}$ C et que la sécurité ne se déclenche pas.
	\item $100$ euros lorsque la sécurité se déclenche par erreur.
\end{enumerate}
On considère qu'il ne se produit pas plus d'une anomalie par jour. \\
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le coût journalier des anomalies.

\begin{enumerate}
	\item %Donner la loi de probabilité de $X$.
la loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Événement&$\overline{S} \cap \overline{T}$&$\overline{S} \cap S$&$S \cap T$&$\overline{S} \cap T$\\
\hline
$x_i$&0&100&500&\numprint{1500}\\
\hline
$p\left(X=x_i\right)$&$\dfrac{97}{100}$&$\dfrac{1}{100}$&$\dfrac{9}{500}$&$\dfrac{1}{500}$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}	

	\item %Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?
Le coût journalier moyen des anomalies correspond à l'espérance de $X$.\\
$E(X)=\sum_{i=1}^{i=4}x_ip\left(X=x_i\right)\\
=\left(0\times \dfrac{97}{100}\right)+\left(100\times \dfrac{1}{100}\right)+\left(500\times \dfrac{9}{500}\right)+\left(\numprint{1500}\times \dfrac{1}{500}\right)=\boxed{\textcolor{red}{13}}$.\\
Le coût journalier moyen des anomalies est $\boxed{\textcolor{red}{13\text{ \euro}}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\underline{\textbf{Partie C :}}

\medskip

%\noindent Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies à $10^{-3}$ près.\\

\noindent Une étude a montré qu'un four d'une certaine marque, pris au hasard, présentait un problème
technique dans $7$ \% des cas.\\
\\
Une étude est réalisée auprès d'une usine fabriquant ces fours.\\
On prélève $200$ fours et on note $X$ la variable aléatoire qui compte
le nombre de fours présentant un problème technique.\\
Le nombre total de fours produits est supposé suffisamment grand pour pouvoir considérer l'étude des fours comme un
tirage indépendant avec remise.
\begin{enumerate}
	\item %Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$.
	On a répétition d'expériences identiques indépendantes à deux issues.\\
	$X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}\left(200~;~0,07\right)$.
	
	\item %Calculer la probabilité que $10$ fours présentent un problème technique.
La probabilité que $10$ fours présentent un problème technique est 	$p(X=10)\approx 0,065$.
	
	\item %Calculer la probabilité qu'au moins $15$ fours présentent un problème technique.
La probabilité qu'au moins $15$ fours présentent un problème technique est $1-p(X< 15)=1-p\left(X\leqslant 14\right)\boxed{\textcolor{red}{\approx 0.430}}$.

	\item %La réparation d'un four présentant ce problème technique coûte $90$ euros. Quel montant l'entreprise doit-elle s'attendre à dépenser en moyenne pour la réparation de ses fours ?
	L'espérance est $np=200\times 0,07=14$ ; il y a en moyenne 14 fours subissant cette panne.\\
	L'entreprise doit s'attendre à dépenser $14\times 90=\numprint{1260}\text{ \euro}$ pour la réparation de ses fours.
\end{enumerate}


\end{multicols}	



\noindent\underline{\textbf{Exercice 3 :}} % Nouvelle Calédonie novembre 2018

Soit ABCDEFGH le cube représenté ci-dessous.

\begin{list}{\textbullet}{On considère:}
\item I et J les milieux respectifs des segments [AD] et [BC];
\item P le centre de la face ABFE, c'est-à-dire l'intersection des diagonales (AF) et (BE);
\item Q le milieu du segment [FG].
\end{list}


\begin{center}
\scalebox{0.8}
{
\psset{unit=0.8cm,radius=2pt}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {11}
\def\ymin {-3}   \def\ymax {10}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\Cnode*(0,0){A} \Cnode*(5,-1){B} \Cnode*(4,2){D} \Cnode*(9,1){C}
\Cnode*(0,6){E} \Cnode*(5,5){F} \Cnode*(4,8){H} \Cnode*(9,7){G}
\psline(E)(A)(B)(F)(E)(H)(G)(F)
\psline(B)(C)(G)
\psline[linestyle=dashed](A)(D)(H) \psline[linestyle=dashed](D)(C)
\uput[dl](A){A} \uput[d](B){B} \uput[dr](C){C} \uput[ur](D){D}
\uput[ul](E){E} \uput[u](F){F} \uput[10](G){G} \uput[u](H){H}
\Cnode*(2,1){I} \Cnode*(7,0){J} \Cnode*(2.5,2.5){P} \Cnode*(7,6){Q}
\uput[d](I){I} \uput[d](J){J} \uput[u](P){P} \uput[ul](Q){Q}
\psline[linestyle=dashed](P)(Q) \psline(P)(-2,-1) \psline(Q)(11.5,9.5)
\psline[linestyle=dashed](J)(0,1.4) \psline(J)(12,-1) \psline(0,1.4)(-3,2)
\psset{linewidth=2pt}
\psline[linestyle=dashed]{->}(A)(I) \psline{->}(A)(0,3) \psline{->}(A)(2.5,-0.5)
\end{pspicture*}
}
\end{center}

On se place dans le repère orthonormé $\left ( \text{A}~;~\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\;,\;\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\;,\;\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}\right )$.

Dans tout l'exercice, on pourra utiliser les coordonnées des points de la figure sans les justifier.

Ces points ont pour coordonnées:
%\newcommand{\coo}[3]{\;\begin{pmatrix} #1\\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}
\newcommand{\coo}[3]{\left( #1~;~#2~;~#3\strut\right ) }

\hfill{}A$\coo{0}{0}{0}$; B$\coo{2}{0}{0}$; D$\coo{0}{2}{0}$; E$\coo{0}{0}{2}$;
C$\coo{2}{2}{0}$; F$\coo{2}{0}{2}$; H$\coo{0}{2}{2}$; G$\coo{2}{2}{2}$;
I$\coo{0}{1}{0}$; J$\coo{2}{1}{0}$; P$\coo{1}{0}{1}$ et Q$\coo{2}{1}{2}$\hfill{}

\smallskip

On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (IJ) est
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x& r\\
y & 1\\
z & 0\\
\end{array}
\right . , \quad r\in\mathbb{R}$

\begin{enumerate}
\item% Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite (PQ) est
%
%\[\left \lbrace
%\begin{array}{l !{=} l}
%x& 1+t\\
%y & t \\
%z & 1+t\\
%\end{array}
%\right . ,\quad t\in\R\]
La droite (PQ) est l'ensemble des points M$\coo{x}{y}{z}$ tels que les vecteurs $\overrightarrow{PM}$ et $\overrightarrow{PQ}$ soient colinéaires, c'est-à-dire tels que $\overrightarrow{PM} = t.\overrightarrow{PQ}$ avec $t\in\mathbb{R}$.

$\overrightarrow{PM}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x-1\\y\\z-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{PQ}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}2-1\\1-0\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{PM} = t.\overrightarrow{PQ}
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x-1& t\times 1\\
y & t\times 1 \\
z-1 & t\times 1\\
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x& 1+ t\\
y & t \\
z & 1+t\\
\end{array}
\right .$

La droite (PQ) a pour représentation paramétrique
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x& 1+t\\
y & t \\
z & 1+t\\
\end{array}
\right . ,\quad t\in\mathbb{R}$.

\end{enumerate}

Soient $t$ un nombre réel et M\,$(1+t~;~t~;~1+t)$ le point de la droite (PQ) de paramètre $t$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item 
\begin{enumerate}
\item On admet qu'il existe un unique point K appartenant à la droite (IJ) tel que (MK) soit orthogonale à (IJ).

%Démontrer que les coordonnées de ce point K sont $(1+t~;~1~;~0)$.

Les coordonnées de K sont de la forme $\coo{r}{1}{0}$.

Les droites (IJ) et (MK) sont orthogonales donc les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{MK}$ sont orthogonaux; leur produit scalaire est donc nul.

$\overrightarrow{IJ}$ a pour coordonnées $\coo{2-0}{1-1}{0-0} = \coo{2}{0}{0}$, et $\overrightarrow{MK}$ a pour coordonnées $\coo{x_{\text K} - x_{\text M} }{y_{\text K} - y_{\text M}}{z_{\text K} - z_{\text M}}=\coo{r-1-t}{1-t}{-1-t}$.

$\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{MK}=0
\iff
2(r-1-t)+0(1-t) + 0(-1-t) = 0 \iff r=1+t$

Le point K a donc pour coordonnées $\coo{1+t}{1}{0}$.

\item% En déduire que $\text{MK} = \ds\sqrt{2+2t^2}$.
D'après la question précédente, le vecteur $\overrightarrow{MK}$ a pour coordonnées 
$\coo{0}{1-t}{-1-t}$ donc
$\text{MK} = \sqrt{0^2 + (1-t)^2+ (-1-t)^2}
=\sqrt{1-2t+t^2+1+2t+t^2} =\sqrt{2+2t^2}$.

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Les trois points H, G et B ne sont pas alignés donc ils définissent le plan (HGB).

Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $y-z=0$.

$y_{\text H} -z_{\text H} = 2-2=0$ donc le point H appartient au plan $\mathcal{P}$.

$y_{\text G} -z_{\text G} = 2-2=0$ donc le point G appartient au plan $\mathcal{P}$.

$y_{\text B} -z_{\text B} = 0-0=0$ donc le point B appartient au plan $\mathcal{P}$.

Le plan $\mathcal{P}$ est donc le plan (HGB) ce qui veut dire que le plan (HGB) a pour équation cartésienne $y-z=0$.

\item On admet qu'il existe un unique point L appartenant au plan (HGB) tel que (ML) soit orthogonale à (HGB).

\smallskip

On suppose que  le point L a pour coordonnées $\left (1+t~;~\dfrac{1}{2}+t~;~\dfrac{1}{2}+t\right )$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $y_{\text L} - z_{\text L} = \dfrac{1}{2}+t - \left ( \dfrac{1}{2}+t\right ) = 0$ donc $\text L \in \text{(HGB)}$.
\item Le vecteur $\overrightarrow{ML}$ a pour coordonnées\\ 
$\coo{1+t -\left (1+t \right )}{\dfrac{1}{2}+t-t}{\dfrac{1}{2}+t- \left ( 1+t\right )}=\coo{0}{\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{2}}$.

\item Le vecteur $\overrightarrow{HG}$ a pour coordonnées $\coo{2-0}{2-2}{2-2} = \coo{2}{0}{0}$.

$\overrightarrow{ML}.\overrightarrow{HG} = 0\times 2 + \dfrac{1}{2}\times 0 + \left (-\dfrac{1}{2}\right )\times 0 = 0$ donc $\overrightarrow{ML}\perp \overrightarrow{HG}$.
 
\item Le vecteur $\overrightarrow{HB}$ a pour coordonnées $\coo{2-0}{0-2}{0-2} = \coo{2}{-2}{-2}$.

$\overrightarrow{ML}.\overrightarrow{HB} = 0\times 2 + \dfrac{1}{2}\times (-2) + \left (-\dfrac{1}{2}\right )\times 2 = 0-1+1 = 0$ donc $\overrightarrow{ML}\perp \overrightarrow{HB}$.

\end{list}

Le vecteur $\overrightarrow{ML}$ est orthogonal à deux vecteurs $\overrightarrow{HG}$ et $\overrightarrow{HB}$ non colinéaires, donc le  vecteur $\overrightarrow{ML}$ est orthogonal au plan (HGB).

Si L a pour coordonnées $\left (1+t~;~\dfrac{1}{2}+t~;~\dfrac{1}{2}+t\right )$, alors L appartient au plan (HGB) et la droite (ML) est orthogonale au plan (HGB).

\item %En déduire que la distance ML est indépendante de $t$.
Le vecteur $\overrightarrow{ML}$ a pour coordonnées $\coo{0}{\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{2}}$; ces coordonnées ne dépendent pas de $t$ donc la distance ML ne dépend pas de $t$. 

$\text{ML} = \sqrt{0^2 + \left (\dfrac{1}{2}\right )^2 + \left ( -\dfrac{1}{2}\right )^2}
= \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}= \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

\end{enumerate}

\item %Existe-t-il une valeur de $t$ pour laquelle la distance MK est égale à la distance ML?
La distance MK est égale à ML si et seulement si
$\sqrt{2+2t^2} = \sqrt{\dfrac{1}{2}}$
ce qui équivaut à
$2+2t^2 = \dfrac{1}{2}$ ou encore $2t^2 = -\dfrac{3}{2}$.

L'équation $2t^2 = -\dfrac{3}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$ n'a pas de solution donc il n'existe pas de valeur de $t$ pour laquelle les distances MK et ML sont égales.


\end{enumerate}
\noindent\underline{\textbf{Exercice 4 :}} % Nathalie
\medskip

\noindent L'objectif de cet exercice est l'étude de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{1\}$ par :
$$f(x)=\frac{2x+1}{x^3-1}$$
Soit $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ un repère orthogonal du plan. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.\\

\bigskip

\noindent\underline{\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}}

\medskip
\noindent On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[g(x)=-4x^3-3x^2-2\]
\begin{enumerate}
	\item %Etudier les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite de $-\infty$ : $g(x)=x^3\left(-4-\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^3}\right)$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(-4-\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^3}\right)=-4$ donc, par produit : $\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=+\infty$.

\item Limite en $+\infty$ : même factorisation ; $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^3=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(-4-\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^3}\right)=-4$ donc par produit : $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$.
\end{enumerate}	

	\item %Etudier les variations de $g$ puis dresser son tableau de variations complet.
	$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; $g'(x)=-12x^2-6x=-6x\left(2x+1\right)$ qui a pour racines $-2$ et 0.\\
	$g'(x)$ est un polynôme des second degré, qui est  négatif (du signe du coefficient de $x^2$, -12), à l'extérieur de l'intervalle formé par le racines.
	
	Tableau de variation : 
	
	\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{1}{2}&&0&&\pI\\
\hline
g'(x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\m{g(x)}&\h{\pI}&\d&-\dfrac{9}{4}&\c&\h{-2}&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

	\item %Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 	Sur $\left[-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$, $g(x)$ est négatif d'après le tableau de variation.

\item Sur $\left[-\infty~;~-\dfrac{1}{2}\right]$, $\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=+\infty$ (donc $g(x)$ prend des valeurs positives), $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)<0$ et $g$ est continue (polynôme).\\D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ a une solution sur cet intervalle ; comme $g$ est mondaine, cette solution est unique.. on la note $\alpha$.
\end{enumerate}

	\item %Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
	À la calculatrice, on trouve $\alpha\approx -1,137$.
	
	\item %En déduire le signe de la fonction $g$.
	On en déduit le signe de $g$ sous forme de tableau :
	\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\underline{\textbf{Partie B : étude de la fonction $f$}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %Justifier le domaine de définition de $f$.
	$x\mapsto x^3$ est croissante donc $x^3-1$ ne s'annule que pour $x=1$ d'où $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}$.
	
	\item %Etudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limte en $-\infty$ : on a une forme indéterminée : on factorise par les termes de plus haut degrés pour lever l'indétermination.\\
$f(x)=\dfrac{x\left(2+\frac1x\right)}{x^3\left(1-\frac1{x^3}\right)}=\dfrac{2+\frac1x}{x^2\left(1-\frac1{x^3}\right)}$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(2+\frac1x\right)=2$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1-\frac1{x^3}\right)=1$.\\
Par produit et quotient $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0$.

\item Liite en $+\infty$ ; on effectue la même factorisation et on trouve la même limite : $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$.

\item Limite en 1 :\\
$\lim_{x\rightarrow 1}\left(2x+1\right)=3$ ; $\lim_{x\rightarrow 1}\left(x^3-1\right)=0$.\\
Si $x<1$, $x^3-1<0$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x<1}}f(x)=-\infty$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}f(x)=+\infty$.
\end{enumerate}

	\item %En déduire les équations des asymptotes éventuelles (horizontales ou verticales) à la courbe $\mathcal{C}$.
	$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=0$ donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $-\infty$ et en $+\infty$.•
	$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=-\infty\text{ ou }+\infty$, donc la droite d'équation $x=1$ est symptôme à la courbe $\mathcal{C}$.
	
	\item %Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}\backslash\{1\}$,
%	$$f'(x)=\frac{g(x)}{(x^3-1)^2}$$ 
$g$ est dérivable comme quotient de fonction dérivables.\\
$g'(x)=\dfrac{2\left(x^3-1\right)-3x^2\left(2x+1\right)}{\left(x^3-1\right)^2}=\dfrac{2x^3-2-6x^3-3x^2}{\left(x^3-1\right)^2}=\dfrac{g(x)}{\left(x^3-1\right)^2}$.

	\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	Le dénominateur est positif : $f'(x)$ est donc du signe du numérateur $g(x)$ étudié précédemment.\\
	\textbf{Tableau de variation }:
		
	\begin{center}
\begin{variations}
%:
x&\mI&&\alpha&&&1&&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&&\bb&&-&\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{f(\alpha)}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

	\item %Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
	l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est $y=f'(0)x+f(0)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=-2x-1}}$.
	
	\item %Etudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de $T$.
	$f(x)-(-2x-1)=\dfrac{2x+1}{x^3-1}-(-2x-1)=\dfrac{2x+1-\left(x^3-1\right)(-2x-1)}{x^3-1}=\dfrac{2x+1+2x^4+x^3-2x-1}{x^3-1}=\dfrac{2x^4+x^3}{x^3-1}=\dfrac{x^3(2x+1)}{x^3-1}$.\\
	Le numérateur s'annule en 0 et en $-\dfrac{1}{2}$.\\
	Tableau de signes :
	\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{1}{2}&&0&&1&&\pI\\
\hline
x^3&&-&\l&-&\z&+&\bb&+&\\
\hline
2x+1&&-&\z&+&l&+&\bb&+&\\
\hline
x^3-1&&-&\l&-&\l&\bb&+&\\
\hline
\dfrac{x^3(2x+1)}{x^3-1}&&-&\z&+&\z&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
$\mathcal{C}$ est en dessous de sa tangente pour $x\in\left]-\infty~;~-\dfrac{1}{2}\right] \cup [0~;~1[$	et au-dessus pour $x\in\left[-\dfrac{1}{2}~;~0\right] \cup ]1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

Voilà la courbe, qui était pas demandée :

\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-4.)(9.,5.)
\multips(0,-4)(0,1.0){10}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.,0)(9.,0)}
\multips(-3,0)(1.0,0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-4.)(0,5.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue]{->}(0,0)(-3.,-4.)(9.,5.)
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-3.0}{9.0}{(2.0*x+1.0)/(x^(3.0)-1.0)}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red]{-3.}{9.}{(-1.-2.*x)/1.}
\psline[linewidth=2.pt](1.,-4.)(1.,5.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridlabels=0](-3.,-4.)(9.,5.)
\uput[ul](0,0){0}
\psline{<->}(-1.537,0.52)(-0.737,0.52)
\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}


