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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du DST \no 1}}\end{center}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 : (Nouvelle Calédonie mars 2012)}}
%\medskip
%
%On dispose de deux urnes et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à  6.
%
%L'urne $U_{1}$ contient trois boules rouges et une boule noire.
% 
%L'urne $U_{2}$ contient trois boules rouges et deux boules noires.
% 
%Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{1}$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{2}$.
% 
%On considère les événements suivants :
% 
%$A$ : \og obtenir 1 en lançant le dé \fg 
%
%$B$ : \og obtenir une boule noire \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
~		
\begin{center}\psset{}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$\frac{1}{6}$}}
	  { 
		  \TR{$B$}\taput{$\frac{1}{4}$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\frac{3}{4}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{$\frac{5}{6}$}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{$\frac{2}{5}$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\frac{3}{5}$}
	  }
	}
\end{center}

\bigskip

		\item %Montrer que la probabilité d'obtenir une boule noire est $\dfrac{3}{8}$.
	D'après la loi des probabilités totales  :\\
$p(B)  = p(A) \times p_{A}(B) +  p\left(\overline{A}\right) \times p_{\overline{A}}(B) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{24} + \dfrac{8}{24} = \dfrac{9}{24} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{8}}}$.

		\item %Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé.
$p_{B}(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{\frac{1}{6}\times \frac{1}{4}}{\frac{3}{8}} = \dfrac{1}{24}\times \dfrac{8}{3} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{9}}}$.		 
	\end{enumerate}
	
\item %On convient qu'une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'oà¹ elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.
On a répétition d'épreuves identiques, indépendantes, à deux issues. La variable $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = \dfrac{3}{8}$. $X\hookrightarrow\mathscr{B\left(10~;~\dfrac{3}{8}\right)}$.

La probabilité  de gagner exactement trois parties est égale à  :

$p(\text{X} = 3) = \displaystyle\binom{10}{3}\left(\dfrac{3}{8}\right)^3 \times \left(1 - \dfrac{3}{8}\right)^{10 -3} = \displaystyle\binom{10}{3}\left(\dfrac{3}{8}\right)^3 \times \left( \dfrac{5}{8}\right)^{7}\approx \np{0,2357}\boxed{\textcolor{red}{ \approx 0,236}}$ au millième près. (peut se calculer directement à la calculatrice).\\
Remarque : on peut aussi utiliser le tableau fourni en remarquant que $p(X=3)=p(X<4)-p(X<3)$.

		\item %Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.
On a $p(\text{X} \geqslant 1) = 1 - p(\text{X} = 0) = 1 - \times\left(\dfrac{3}{8}\right)^0 \times \left( \dfrac{5}{8}\right)^{10} = \boxed{\textcolor{red}{1 - \left(\dfrac{5}{8} \right)^{10} \approx \np{0,9909} \approx 0,991}}$ au millième près.
		\item %On donne le tableau suivant:~ 

\hspace{-1cm}\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
$P(\text{X} < k)$ &\np{0,0091}&\np{0,0637}  &\np{0,2110} &\np{0,4467} &\np{0,6943} &\np{0,8725} &\np{0,9616} &\np{0,9922}& \np{0,9990}&\np{0,9999}\\ \hline
$P(\text{X} = k-1)$&\np{0,0091}&\np{0,0546}&\np{0,1473}&\np{0,2357}&\np{0,2476}&\np{0,1782}&\np{0,0891}&\np{0,0306}&\np{0,0068}&\np{0,0009}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{footnotesize}

On a : $p(X\geqslant N)=1-p(X<N)$ donc $p(X\geqslant N)\leqslant \dfrac{1}{10}\Leftrightarrow 1-p(X<N)\leqslant \dfrac{1}{10}\Leftrightarrow p(X<N)\geqslant \dfrac{9}{10}=0,9$.\\
Par lecture du tableau, on en en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{N=7}}$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 : Nouvelle-Calédonie novembre 2017}}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 3$,\: $u_1 = 6$ et, pour tout  entier naturel $n$ :
$u_{n+2} = \dfrac{5}{4}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n.$

%Le but de cet exercice est d'étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A :}}

\medskip


\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_2=\dfrac{5}{4}u_1-\dfrac{1}{4}u_0=\dfrac{5}{4}\times 6-\dfrac{1}{4}\times 3=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{27}{4}=6,75}}$

\item $u_3=\dfrac{5}{4}u_2-\dfrac{1}{4}u_1=\dfrac{5}{4}\times \dfrac{27}{4}-\dfrac{1}{4}\times 6=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{111}{16}}}$
\end{enumerate}

\item Le tableau donne :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$&0&1&2&3&4&5\\
\hline
$u_n$&3&5&6,75&\numprint{6,0375}&\numprint{6,9844}&\numprint{6,9961}\\
\hline
\end{tabularx}

\item On peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ \textcolor{red}{converge vers le nombre $7$}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : Étude de la suite}}

\medskip

On considère les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout $n$ par :
$v_n = u_{n + 1} - \dfrac{1}{4}u_n$ et $w_n = u_n - 7$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite constante.
$\forall n\in\mathbb{N},~v_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{4}\,u_{n+1} = \dfrac{5}{4}\,u_{n+1} -\dfrac{1}{4}\,u_n -\dfrac{1}{4}\,u_{n+1}
= u_{n+1} - \dfrac{1}{4}\,u_n=v_n$ donc la suite $(v_n)$ est constante.
		
		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + \dfrac{21}{4}$.
La suite $(v_n)$ est constante, donc pour tout $n$, $v_n=v_0 = u_1 -\dfrac{1}{4}\,u_0 = 6 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{21}{4}$.

Donc, pour tout $n$, $u_{n+1} - \dfrac{1}{4}\,u_n=\dfrac{21}{4}$ donc $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}\,u_n + \dfrac{21}{4}$.		
		
		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant le résultat de la question \textbf{1.~ b.}, montrer par récurrence que, pour toutentier naturel $n$,\: 
	Soit la propriété \og{}$u_n < u_{n+1} < 15$\fg{}.
	
	Effectuons une démonstration par récurrence :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

$u_0=3$ et $u_1=6$ donc $u_0 < u_{1} < 15$; la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose que pour $n$ quelconque, $u_n < u_{n+1} < 15$ (est l'hypothèse de récurrence).

$u_n < u_{n+1} < 15 \implies \dfrac{1}{4}\,u_n < \dfrac{1}{4}\,u_{n+1} < \dfrac{15}{4} \implies 
\dfrac{1}{4}\,u_n +\dfrac{21}{4} < \dfrac{1}{4}\,u_{n+1} + \dfrac{21}{4}< \dfrac{15}{4} + \dfrac{21}{4}
$ ce qui équivaut à $u_{n+1} < u_{n+2} < \dfrac{36}{4}=9<15$.

 On en déduit que $u_{n+1} < u_{n+2} < 15$ donc que la propriété est vraie au rang $n+1$.
 
 \item \textbf{Conclusion}
 
On a vérifié que la propriété était vraie pour $n=0$; on a démontré qu'elle était héréditaire pour $n\geqslant  0$. D'après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour tout $n\geqslant  0$.

\end{list}	
	
On a donc démontré par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} < u_{n+1} < 15$.	
	
		\item% En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On a démontré que pour tout $n$, $u_{n} < u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est croissante.
\item On a démontré que pour tout $n$, $u_{n} < 15$ donc la suite $(u_n)$ est majorée.
\end{list}		
		
La suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante et majorée}} donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente.		
		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Pour tout $n$, $w_n=u_n-7$ donc $u_n=w_n+7$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $w_{n+1} = u_{n+1} - 7 = \dfrac{1}{4}\,u_n + \dfrac{21}{4} - 7 = \dfrac{1}{4}\big(w_n+7\big) -\dfrac{7}{4} = \dfrac{1}{4}\,w_n+\dfrac{7}{4}-\dfrac{7}{4} = \dfrac{1}{4}\,w_n$
\item $w_0=u_0-7 = 3-7=-4$
\end{list}

Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de premier terme $w_0=-4$ et de raison $q=\dfrac{1}{4}$.
	
		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 7 - \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n-1}$.
On en déduit que, pour tout $n$, $w_n=w_0\times q^n = -4 \times \left ( \dfrac{1}{4}\right )^n = -4\times \dfrac{1}{4}\times \left (\dfrac{1}{4}\right )^{n-1} =\boxed{\textcolor{red}{ -\left (\dfrac{1}{4}\right )^{n-1}}}$.

Or $u_n=w_n+7$ donc, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_n=7-\left ( \dfrac{1}{4} \right ) ^{n-1}}}$.

		\item% Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$-1 < \dfrac{1}{4} < 1$ donc, d'après les propriétés des limites des suites géométriques, $\lim_{n \to +\infty} \left (\dfrac{1}{4} \right )^{n-1} = 0$.

On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to +\infty} u_n=7}}$.

\item Complétons l'algorithme :
\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|} 
		\hline
		%\textbf{Entrée :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\[-0.4cm]
		\textbf{Initialisation :}& \\
		& $u \leftarrow 3$\\
		& $n \leftarrow 0$\\[0.2cm]
		\textbf{Traitement :}& \\
		& Tant que $\textcolor{red}{\left\vert u_n-7 \right\vert\geqslant 10^{-4}}$\\  
			&\hspace{0,5cm} $n \leftarrow \textcolor{red}{n+1} $ \\ 
			&\hspace{0,5cm} $u \leftarrow \dfrac{1}{4}*u+\dfrac{21}{4}$ \ldots\\[0.2cm]
			&Fin Tant que\\[0.2cm]
		\textbf{Sortie :}& \\
		& Afficher $u$\\
		\hline 
		\end{tabularx}
		\end{center}

\item Pour $n=7$, on trouve $\left\vert 7-u_n \right\vert\approx \numprint{0,00024}$ et pour $n=8$, $\left\vert 7-u_n \right\vert\approx 0,000061<10^{-4}$.\\
L'algorithme affiche $\boxed{\textcolor{red}{n=8}}$

	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 : (d'après Polynésie juin 2018 }}%en reformulant lapin/grenouille et terrier/nénuphar


\noindent Une grenouille se déplace sur un étang sur lequel se situent trois nénuphars, notés $A$, $B$ et $C$.\\ %, sur chacun desquels il est confronté à un stimulus particulier.
A chaque fois qu'elle est sur un nénuphar, la grenouille :
\begin{enumerate}[$\diamond$]
	\item soit reste sur ce nénuphar ;
	\item soit change de nénuphar. 
\end{enumerate}
Cela constitue une étape.\\


\smallskip

Soit $n$ un entier naturel.

On note $a_n$ la probabilité de l'évènement : \og la grenouille est sur le nénuphar A à l'étape $n$ \fg.

On note $b_n$ la probabilité de l'évènement : \og la grenouille est sur le nénuphar B à l'étape $n $\fg.

On note $c_n$ la probabilité de l'évènement : \og la grenouille est sur le nénuphar C à l'étape $n $\fg.

À l'étape $n = 0$, la grenouille est sur le nénuphar A.

Une étude antérieure des réactions de la grenouille face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant :

\[\renewcommand\arraystretch{1.5}\left\{\begin{array}{l !{=} r}
a_{n+1}&\dfrac{1}{3}a_n + \dfrac{1}{4} b_n \phantom{+ \dfrac{2}{3}c_n}\\[5pt]
b_{n+1}&\dfrac{2}{3}a_n + \dfrac{1}{2} b_n + \dfrac{2}{3}c_n\\[5pt]
c_{n+1}&\dfrac{1}{4}b_n + \dfrac{1}{3} c_n
\end{array}\right.\]

%\medskip
%
%L'objectif de cet exercice est d'estimer dans quelle galerie la grenouille a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.


\newpage


\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

À l'aide d'un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 	&B &C &D\\ \hline
1 	&$n$&$a_n$ &$b_n$ &$c_n$\\ \hline
2 	&0	& 1    &0	  &0\\ \hline
3	&1	&0,333 &0,667 &0\\ \hline
4 	&2 	&0,278 &0,556 &0,167\\ \hline
5 	&3 	&0,231 &0,574 &0,194\\ \hline
6 	&4 	&0,221 &0,571 &0,208\\ \hline
7 	&5 	&0,216 &0,572 &0,212\\ \hline
8 	&6 	&0,215 &0,571 &0,214\\ \hline
9 	&7 	&0,215 &0,571 &0,214\\ \hline
10 	&8 	&0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
11 	&9 	&0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
12 	&10 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir la colonne C ?
La colonne C donne les différentes valeurs de $b_n$. 
Comme pour tout $n$, $b_{n+1}=\dfrac{2}{3}a_n + \dfrac{1}{2} b_n + \dfrac{2}{3}c_n$, la formule à entrer dans la cellule C3 et à recopier vers le bas est:
\[\boxed{\textcolor{red}{=\dfrac{2}{3}*\mathrm{B2} +  \dfrac{1}{2}*\mathrm{C2} + \dfrac{2}{3}*\mathrm{D2}}}\]

\item % Quelle conjecture peut-on émettre ?
\begin{list}{\textbullet}{D'après ce tableau, on peut dire que}
\item la probabilité que la grenouille se retrouve à long terme sur le nénuphar A est $0,214$ ;
\item la probabilité que la grenouille se retrouve à long terme sur le nénuphar B est $0,571$ ;
\item la probabilité que la grenouille se retrouve à long terme sur le nénuphar C est $0,214$.
\end{list}
On en déduit que la grenouille a la plus grande probabilité de se trouver sur le nénuphar B à long terme.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n - c_n$.
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.
$\text{Pour tout } n,~u_{n+1} = a_{n+1}-c_{n+1} = \left ( \dfrac{1}{3} a_n + \dfrac{1}{4} b_n \right ) - \left ( \dfrac{1}{4} b_n + \dfrac{1}{3} c_n \right )	 = \dfrac{1}{3} a_n + \dfrac{1}{4} b_n -  \dfrac{1}{4} b_n - \dfrac{1}{3} c_n \\[5pt]
\phantom{\text{Pour tout } n,~u_{n+1} }
= 	 	\dfrac{1}{3} \left ( a_n  -  c_n \strut\right ) = \dfrac{1}{3} u_n$. 

$u_0 = a_0-c_0=1-0=1$

Donc la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=\dfrac{1}{3}}}$ et de premier terme $u_0=1$.		
		
		\item% Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n= 1\times \left ( \dfrac{1}{3}\right )^n =\boxed{\textcolor{red}{ \left (\dfrac{1}{3}\right )^n}}$.		
	\end{enumerate}

\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n - \dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$; donc $b_n=v_n+\dfrac{4}{7}$.

	\begin{enumerate}
		\item %Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$,\: $a_n + b_n + c_n = 1$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $v_{n+1} = - \dfrac{1}{6}v_n$.
Les nombres $a_n$, $b_n$ et $c_n$ représentent à l'étape $n$, les probabilités que la grenouille se trouve respectivement sur le nénuphar A, sur le nénuphar B ou sur le nénuphar C. Il n'y a pas d'autre possibilité pour la grenouille donc la somme de ces trois probabilités doit être égale à la probabilité de l'événement certain, c'est-à-dire 1: alors, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{a_n+b_n+c_n=1}}$.	


$\forall n,~b_{n+1} = \dfrac{2}{3} a_n + \dfrac{1}{2} b_n + \dfrac{2}{3} c_n
= \dfrac{2}{3} \left ( a_n  +  c_n\strut\right ) + \dfrac{1}{2} b_n
= \dfrac{2}{3} \left ( 1-b_n\strut\right ) + \dfrac{1}{2} b_n
= \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} b_n + \dfrac{1}{2} b_n\\[5pt]
\phantom{b_{n+1}}
= \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{6} b_n$

$v_{n+1} = b_{n+1} - \dfrac{4}{7}
= \left ( \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{6} b_n\right ) - \dfrac{4}{7}
= \left (\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{7} \right ) - \dfrac{1}{6} \left ( v_n+\dfrac{4}{7} \strut \right )
= \dfrac{2}{21} - \dfrac{1}{6} v_n - \dfrac{2}{21}
= \boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{6} v_n}}$
		
		\item% En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
D'après la question précédente, on peut dire que la suite $(v_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=-\dfrac{1}{6}}}$ et de premier terme $v_0=b_0-\dfrac{4}{7} = 0 - \dfrac{4}{7} = -\dfrac{4}{7}$.

On en déduit que pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = \boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{4}{7} \times \left ( -\dfrac{1}{6} \right )^n}}$.
		
		
	\end{enumerate}

\item % En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :
%
%\[
%a_{n} = \dfrac{3}{14} +\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n, \quad b_{n} = \dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n \quad \text{et} \quad c_{n} = \dfrac{3}{14} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n.\]
On a vu que, pour tout $n$, $b_n=v_n+\dfrac{4}{7}$ et que $v_n=-\dfrac{4}{7}\left (-\dfrac{1}{6}\right )^n$. On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{b_n=\dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n}}$.


On a vu précédemment que $a_n+c_n=1-b_n$.

On en déduit que 
$a_n+c_n = 1-\left (\dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n \right )
= 1-\dfrac{4}{7} + \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n 
= \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n$.

On a vu aussi que, pour tout $n$, $u_n=a_n-c_n$ et que $u_n=\left (\dfrac{1}{3}\right )^n$; on en déduit que $a_n-c_n=\left (\dfrac{1}{3}\right )^n$.

On résout le système:

$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_n+c_n & \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n\\[7pt]
a_n-c_n & \left (\dfrac{1}{3}\right )^n
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
2a_n & \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n + \left (\dfrac{1}{3}\right )^n\\[7pt]
c_n & a_n - \left (\dfrac{1}{3}\right )^n
\end{array}
\right.\\
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_n & \dfrac{3}{14} + \dfrac{2}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n + \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{1}{3}\right )^n\\[7pt]
c_n & \left (\dfrac{3}{14} + \dfrac{2}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n + \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{1}{3}\right )^n\right ) - \left (\dfrac{1}{3}\right )^n
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_n & \dfrac{3}{14} + \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{1}{3}\right )^n + \dfrac{2}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n \\[7pt]
c_n & \dfrac{3}{14} - \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{1}{3}\right )^n + \dfrac{2}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n 
\end{array}
\right.$

\item  La position de la grenouille après un très grand nombre d'étapes est donnée par les limites de $a_n$, $b_n$ et $c_n$ quand $n$ tend vers l'infini.

$-1< \dfrac{1}{3} < 1$ donc $ \lim_{n \to +\infty} \left (\dfrac{1}{3}\right )^n = 0$;
$-1< -\dfrac{1}{6} < 1$ donc $ \lim_{n \to +\infty} \left (-\dfrac{1}{6}\right )^n = 0$.

On en déduit que $\lim_{n\to +\infty} a_n = \dfrac{3}{14}$, $\lim_{n\to +\infty} b_n = \dfrac{4}{7}$ et $\lim_{n\to +\infty} c_n = \dfrac{3}{14}$. 

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{La probabilité qu'après un très grand nombre d'étapes, la grenouille}
\item se trouve sur le nénuphar A tend vers $\dfrac{3}{14}$;
\item se trouve sur le nénuphar B tend vers  $\dfrac{4}{7}$;
\item se trouve sur le nénuphar C  tend vers  $\dfrac{3}{14}$.
\end{list}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

La grenouille a la plus grande probabilité de se trouver sur le nénuphar B  long terme.



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4}}

\medskip

\noindent Les questions suivantes sont indépendantes.
\begin{enumerate}
	\item Existe-t-il des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_nv_n=+\infty$ ? Justifier soigneusement.\\
\textbf{\textcolor{red}{OUI}} : exemple : $u_n=n^2$ et $v_n=\dfrac{1}{n=1}$.\\
$u_nv_n=\dfrac{n^2}{n+1}=\dfrac{n^2}{n\left(1+\frac1n\right)}=\dfrac{n}{1+\frac1n}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_nv_n=+\infty}}$
	
	\item Existe-t-il des suites $\left(s_n\right)$ et $\left(t_n\right)$ telles que $\lim_{n\rightarrow +\infty}s_n=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}t_n=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}s_nt_n=3$ ? Justifier soigneusement.\\
\textbf{\textcolor{red}{OUI}} : exemple : $s_n=3n^2$ ; $t_n=\dfrac{1}{3n^2+1}$. On a bien $\lim_{n\rightarrow +\infty}s_n=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}t_n=0$\\
$s_nt_n=\dfrac{3n^2}{n^2+1}=\dfrac{3n^2}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=\dfrac{3}{1+\frac1{n^2}}$ qui tend vers 3 quand $n$ tend vers $+\infty$.

	\item Soit $(w_n)$ une suite convergente. La suite $\left(\frac{1}{w_n}\right)$ converge-t-elle ? Justifier soigneusement.\\
	\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : Si $\left(w_n\right)$  converge vers $\ell\neq 0$, $\left(\dfrac{1}{w_n}\right)$ converge bien vers $\dfrac{1}{\ell}$ mais si $\left(w_n\right)$  converge vers 0, la suite $\left(\dfrac{1}{w_n}\right)$ diverge !\\
Exemple : $w_n=\dfrac{1}{n+1}$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}w_n=0$mais $\dfrac{1}{w_n}=n+1$ qui tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

	\item Pour chacune des deux affirmations suivantes, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier cette réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item  Soit une suite $\left(v_n\right)$.
		
		\textbf{\textcolor{blue}{Affirmation A :}} Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à 1,
		
		\[- 1 - \dfrac{1}{n} \leqslant  v_n \leqslant  1 + \dfrac{1}{n}\]
		
		alors la suite $\left(v_n\right)$ converge.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple : $v_n=(-1)^n$ qui vaut alternativement -1 ou 1.\\
Pour tout $n\geqslant 1$, on a alors bien $-1-\dfrac{1}{n}\leqslant -1\leqslant u_n\leqslant 1\leqslant 1+\dfrac{1}{n}$ mis la suite $\left(v_n\right)$ diverge !

		\item  Soit $\left(w_n\right)$ une suite convergente.
		
		\textbf{\textcolor{blue}{Affirmation B :}} Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $\left(w_n\right)$ sont strictement positifs, alors la limite de la suite $\left(w_n\right)$ est aussi strictement positive.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple : $u_n=\dfrac{1}{n+1}$ ; pour tout $n,~u_n=\dfrac{1}{n+1}>0$ mais la suite converge vers 0. La limite n'est donc pas forcément \textbf{\textcolor{red}{strictement}} positive.
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\bigskip



% Set the ending of a LaTeX document
\label{fin}
\end{document}



