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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du DM \no 2}}\end{center}

%\emph{Si l'esprit d'un homme s'égare, faites-lui étudier les mathématiques car dans les démonstrations, pour peu qu'il s'écarte, il sera obligé de recommencer. (Francis Bacon)}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Démontrer qu'une suite croissante et convergente vers un réel $\ell$ est majorée par $\ell$.
Raisonnons par l'absurde. Supposons que $\left(u_n\right)$ ne soit pas majorée par $\ell$. Il existe alors un rang $p$ tel que $u_p>\ell$. Comme la suite $\left(u_n\right)$ est croissante, tous les termes de rang $n\geqslant p$ sont supérieurs à $\ell$.\\
$\forall n\geqslant p$, $\ell <u_p\leqslant u_n$ donc $u_n-\ell>u_p-\ell$ qui est un nombre fixe, donc $u_n-\ell$ ne peut pas tendre vers 0 !\\
Plus précisément, notons $\epsilon=\dfrac{u_p-\ell}{2}$. Soit $I$ l'intervalle $I=]\ell-\epsilon~;~\ell+\epsilon[$.\\
$\forall n\geqslant p$, $u_n\notin I$ donc la suite $\left(u_n\right)$ ne converge par vers $\ell$.\\
($\ell-\epsilon<\ell<\ell+\epsilon<u_p\leqslant u_n$ pour tout $n\geqslant p$). \marginpar{\textbf{\textcolor{red}{2 pts}}}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_n=\dfrac{\cos n}{n+1}$.


\begin{enumerate}

\item %Pourquoi les nombres $\cos n$ sont-ils bornés ?
On sait que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\cos x\in[-1~;~1]$ donc $-1\leqslant \cos n\leqslant 1$ ; les nombres $\cos n$ sont bornés par -1 et 1.

\item% En déduire que cette suite est convergente et a pour limite 0.
On en déduit que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[-\dfrac{1}{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{1}{n=1}.\]
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{1}{n+1}\right)=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{n+1}\right)=0$.\\
D'après le théorème des gndarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$

\end{enumerate}\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{2 pts}}}

\subsection{}
$\left(u_n\right)$ est une suite convergente. \\
%La suite $\left(\dfrac{1}{u_n}\right)$ est-elle alors convergente ?
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : La suite $\left(\dfrac{1}{u_n}\right)$ n'est pas toujours convergente. C'est le cas quand $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n$ est alors $\pm\infty$ ou n'a pas de limite (donc la suite diverge).\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{1 pt}}}


\subsection{}
On considère une suite arithmético-géométrique $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=au_n+b$ où $a$ et $b$ sont des réels non nuls et $a\neq 1$.

\begin{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction $x\mapsto ax+b$. Déterminer son point fixe, c'est-à-dire la solution $\beta$ de l'équation $f(x)=x$.
$f(x)=x\Leftrightarrow ax+b=x\Leftrightarrow (1-a)x=b\Leftrightarrow x=\dfrac{b}{1-a}$ (qui existe puisque $a\neq 1$).\\
On a donc $\beta=\dfrac{b}{1-a}$.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}

\item Puisque $\beta$ est le point fixe de $f$, on a : $\beta=a\beta+b$.

On définit alors une suite auxiliaire $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-\beta\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}.$

%Montrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$. On précisera son premier terme en fonction de $u_0$.
On a : $\begin{cases}u_{n+1}=au_n+b\\\beta=a\beta+b\end{cases}$.\\
Par soustraction, on obtient : \\
$a\left(u_n-\beta\right)=a\left(u_n-\beta\right)$ donc $v_{n+1}=av_n$.\\
$\left(v_n\right)$ est donc géométrique, de raison $q=a$ et de premier terme $v_0=u_0-\beta$ \marginpar{\textbf{\textcolor{red}{1 pt}}}

\item %En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=v_0q^n$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{v_n=\left(u_0-\beta\right)a^n}}$.\\
Or $v_n=u_n-\beta$, donc $u_n=\beta+v_n$ d'où \[\boxed{\textcolor{red}{u_n=\beta+\left(u_0-\beta\right)a^n}}.\]\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}

\item \textbf{\textcolor{red}{Application}} : soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n-7\end{cases}$.

%Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On a $u_{n+1}=au_n+b$ avec $a=\dfrac{1}{3}$et $b=-7$.\\
$a\neq 1$ donc on peut appliquer les résultats précédents. $\beta=\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{-7}{1-\frac13}=\dfrac{-7}{\frac23}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{21}{2}}}$\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=-\dfrac{21}{2}+\left(4-\left(\dfrac{21}{2}\right)\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{21}{2}+\dfrac{29}{2}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n}}$\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}

\item %Cette suite est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
$-1<a=\dfrac{1}{3}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}a^n=0$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\beta=-\dfrac{21}{2}$. $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\dfrac{21}{2}}}$.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}
\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{Suites mêlées}}%\no 56 page 31 sesamath
  On considère les suites mêlées $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=-10$, $v_0=20$ et :
$\left\{\begin{array}{l}
  u_{n+1}=\nombre{0,7}u_n+\nombre{0,8}v_n\\
  v_{n+1}=\nombre{0,8}u_n+\nombre{0,7}v_n\\
  \end{array}\right.\textrm{ pour tout }n\in\mathbb{N}.$
  \begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
            \item %Calculer $u_1$, $v_1$, $u_2$ et $v_2$.
            $u_1=0,7u_0+0,8v_0=-7+16=9$\\
            $v_1=0,8u_0+0,7v_0=-8+14=6$\\
            $u_2=0,7u_1+0,8v_1=6,3+4,8=11,1$\\
            $v_2=0,8u_1+0,7v_1=7,2+4,2=11,4$.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}
            
            \item %Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont-elles arithmétiques ? géométriques ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item             $u_1-u_0=19$ et $u_2-u_1=2,1\neq u_1-u_0$ donc $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique.

\item $v_1-v_0=-14$ et $v_2-v_1=5,4\neq v_1-v_0$ donc $\left(v_n\right)$ n'est pas arithmétique.

\item $\dfrac{u_1}{u_0}=-\dfrac{9}{10}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}>0$ donc $\dfrac{u_1}{u_0}\neq\dfrac{u_2}{u_1}$ : $\left(u_n\right)$ n'est donc pas géométrique.

\item $\dfrac{v_1}{v_0}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$ et $\dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{11,4}{6}\neq\dfrac{v_1}{v_0}$ donc $\dfrac{v_1}{v_0}\neq\dfrac{v_2}{v_1}$ ; $\left(v_n\right)$ n'est donc pas géométrique.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{1 pt}}}
\end{enumerate}
          \end{enumerate}

    \item \begin{enumerate}
            \item %Montrer que la suite $(a_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $a_n=u_n+v_n$ est géométrique.
            $\forall n\in\mathbb{N},~a_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}\\
            =0,15u_n+0,15v_n=0,15\left(u_n+v_n\right)\\
            =\boxed{\textcolor{red}{0,15a_n}}$ donc la suite $\left(a_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=0,15$ et de premier terme $a_0=u_0+v_0=10$.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{1 pt}}}
            
            \item %En déduire le terme général de $(a_n)$ puis $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n$.
            On en déduit que $a_n=a_0q^n=10\times 1,5^n$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=+\infty$ car $1,5>1$.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}
          \end{enumerate}
          
    \item\begin{enumerate}
            \item %Montrer que la suite $(b_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $b_n=u_n-v_n$ est géométrique.
            $\forall n\in\mathbb{N},~b_{n+1}=u_{n+1}-v_{n+1}\\
            =-0,1u_n+0,1v_n=-0,1\left(u_n-v_n\right)=0,1b_n$ donc la suite $\left(b_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q'=-0,1$ et de premier terme \\
            $b_0=u_0-v_0=-30$.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{1 pt}}}
            
            \item %En déduire le terme général de $(b_n)$ puis $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} b_n$.
            On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{b_n=-30\times (-0,1)^n}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}b_n=0}}$ car $-1<q'=0,1<1$.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}
            
            \item Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont-elles convergentes ?
            On a $u_n=\dfrac{a_n+b_n}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$.\\
            De même, $v_n=\dfrac{a_n-b_n}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty}}$.
          \end{enumerate}
          
    \item %Déduire des questions précédentes les termes généraux de $(u_n)$ et $(v_n)$.
    $u_n=\dfrac{1}{2}\left(a_n+b_n\right)=\dfrac{1}{2}\left(10\times 1,5^n-30\times (-0,1)^n\right)=\boxed{\textcolor{red}{5\times 1,5^n-15\times (-0,1)^n}}$.\\
    $v_n=\dfrac{1}{2}\left(a_n-b_n\right)=\dfrac{1}{2}\left(10\times 1,5^n+30\times (-0,1)^n\right)=\boxed{\textcolor{red}{5\times 1,5^n+15\times (-0,1)^n}}$.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}
    
    \item %Déterminer $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n u_k$.
    $ \sum_{k=0}^n u_k=\dfrac{1}{2} \sum_{k=0}^n \left[10\times 1,5^k-30\times (-0,1)^k\right]\\
    =5\sum_{k=0}^n1,5^k-15(-0,1)^k\\
    =5\times \dfrac{1,5^{n+1}-1}{1,5-1}-15\times \dfrac{1-(-0,1)^{n+1}}{1-(-0,1)}\\
    =10\left(1,5^{n+1}-1\right)+\dfrac{15}{1,1}\left(1-(-0,1)^{n+1}\right)$.\\
    $\lim_{n\rightarrow +\infty}1,5^{n+1}=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}(-0,1)^{n+1}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n u_k=+\infty}}$\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{1 pt}}}
  \end{enumerate}




\subsection{}%D'après Bac (Polynésie - 2013) \no 57 page 31 sesamath
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
$u_{1}=\dfrac{3\times \dfrac{1}{2}}{1+2\times \dfrac{1}{2}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}}$.\\
$u_{2}=\dfrac{3\times \dfrac{3}{4}}{1+2\times \dfrac{3}{4}}=\dfrac{\dfrac{9}{4}}{\dfrac{5}{2}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{10}}}$.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}

\item %Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} $.
Démontrons, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} $.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $u_{0}=\dfrac{1}{2}>0$ donc la propriété est vraie au rang 0.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : supposons la propriété vraie à un rang $n$ quelconque.\\
Alors $u_{n+1}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}>0$ puisque \\
$u_{n}>0$ ; la propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{1 pt}}}
\end{enumerate}\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{1 pt}}}



\item Démontrons par récurrence, pour tout entier naturel $n$, \\
$u_{n} < 1$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $u_0=\dfrac{1}{2}<1$ donc la propriété est vraie pour $n=0$

\item Hérédité : on suppose que, pour un entier $n$ quelconque, la propriété es vraie donc que $u_n<1$.\\
Alors : $u_{n+1}-1=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}-1=\dfrac{3u_n-1-2u_n}{1+2u_n}=\dfrac{u_n-1}{1+2u_n}<0$ car $u_n<1$ donc $u_n-1<0$ et $1+2u_n>0$ puisque $u_n>0$ ; la propriété est donc héréditaire.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{1 pt}}}
\end{enumerate}


\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. 
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}-u_{n}\\
=\dfrac{2u_{n}-2u_{n}^{2}}{1+2u_{n}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2u_{n}\left(1-u_{n}\right)}{1+2u_{n}}>0}}$ car $u_{n}>0$ et $1-u_{n}>0$ puisque $u_{n}<1$.\\
Le suite $\left(u_{n}\right)$ est donc \textbf{\textcolor{blue}{croissante}}.\\\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}

\item  %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante majorée par 1, donc elle \textbf{\textcolor{red}{converge}} vers une limite $\ell$ avec $\ell\leqslant 1$.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}


\item Soit$\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \dfrac{ u_{n}}{1-u_{n}}$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 3. 
Pour tout $n$, $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}}\\
=\dfrac{\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}}{1-\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}}=\dfrac{\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}}{\dfrac{1+2u_{n}-3u_{n}}{1+2u_{n}}}\\
=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}\times \dfrac{1+2u_{n}}{1-u_{n}}=3\times \dfrac{u_{n}}{1-u_n}=\boxed{\textcolor{red}{3v_{n}}}$.\\
Pour tout $n$, $v_{n+1}3v_{n}$ donc la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique, de raison 3 et de premier terme $v_{0}=\dfrac{u_{0}}{1-u_{0}}=1$\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{1 pt}}}

\item %Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_{n}$ en fonction de $n$. 
Puisque $\left(vn\right)$ est géométrique de raison 3, on en déduit $v_{n}=v_{0}\times 3^{n}=3^{n}$.


\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}+1}$.
$v_{n}=\dfrac{u_{n}}{1-u_{n}}\Leftrightarrow v_{n}-u_{n}v_{n}=u_{n}\\
\Leftrightarrow v_{n}=u_{n}v_{n}+u_{n}\Leftrightarrow v_{n}=u_{n}\left(1+uv_{n}\right)\\
\Leftrightarrow u_{n}=\dfrac{v_{n}}{1+v_{n}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3^{n}}{1+3^{n}}}}$\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$v_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}\left(1+\dfrac{1}{3^{n}}\right)}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3^{n}}}$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}3^{n}=+\infty$ (car 3>1) donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=1}}$.\\
La suite $\left(u_{n}\right)$ \textbf{\textcolor{red}{converge vers 1}}.\marginpar{\textbf{\textcolor{red}{0,5 pt}}}

\end{enumerate}

\end{enumerate}


%\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  