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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir \no 1}}\end{center}

%\emph{Si l'esprit d'un homme s'égare, faites-lui étudier les mathématiques car dans les démonstrations, pour peu qu'il s'écarte, il sera obligé de recommencer. (Francis Bacon, philosophe)}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit l'équation $2x^4-11x^2+15=0$

On pose $X=x^2$.

Alors : $2x^4-11x^2+15=0\Leftrightarrow \begin{cases}X=x^2\\2X^2-11X+15=0\end{cases}$.

On résout : $2X^2-11X+15=0$ ; $\Delta=(-11)^2-4\times 2\times 15=121-120=1>0$.

L'équation a deux solutions : $X_1=\dfrac{11-\sqrt{1}}{4}=\dfrac{5}{2}$ et $X_2=\dfrac{11+\sqrt{1}}{4}=3$.

On revient à l'équation initiale en résolvant $x^2=X_1$ et $x^2=X_2$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x^2=X_1\Leftrightarrow x^2=\dfrac{5}{2}$ qui a pour solutions $-\dfrac{\sqrt{5}}{2}=-\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

\item $x^2=3$ a pour solutions $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$

\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\sqrt{3}~;~-\dfrac{\sqrt{5}}{2}~;~\dfrac{\sqrt{5}}{2}~;~\sqrt{3}\right\}}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Résoudre soigneusement dans $\mathbb{R}$ l'inéquation \[1\leqslant \dfrac{9}{(x+3)^2}\]

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$

\item On suppose que $x\in\mathscr{D}$.

Alors : $1\leqslant \dfrac{4}{(x+3)^2}\Leftrightarrow 1-\dfrac{4}{(x+3)^2}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{(x+3)^2-4}{(x+3)^2}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{(x+3+2)(x+3-2)}{(x+3)^2}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{(x+5)(x+1)}{(x+3)^2}\leqslant 0$

\item Le numérateur s'annule en -1 et -5 ; c'est un polynôme du second degré ; il est positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines, donc négatif entre ces deux racines.

\item Sur $\mathscr{D}$, le dénominateur est positif (carré d'un réel) donc la fraction est du signe du numérateur.

On renseigne alors un tableau signes:

\begin{center}
$\begin{variations}
x&\pI&&-5&&-3&&-1&&\pI\\
\hline
(x+5)(x+1)&&+&\z&-&\bb&-&\z+&\\
\hline
\end{variations}$

\end{center}

L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-5~;~-3[\cup]-3~;~-1]}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

Soit $P_n$ la propriété : $\text{Pour tout }n\geqslant 4,~ n!\geqslant n^2.$

Effectuons une démonstration par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : pour $n=4$, $n!=4!=1\times 2\times 3\times 4=24$ et $n^2=4^2=16$ donc $4!\geqslant 4^2$ ; la propriété est vraie au rang $n=4$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose qu'il existe un sentier $n$ quelconque, ($n\geqslant 4$) tel que $n!\geqslant n^2$.

Alors : $(n+1)!=n!\times (n+1)\geqslant n^2\times (n+1)$ car $n!\geqslant n^2$ d'après l'hypothèse de récurrence.\\
 
Reste à montrer que $n^2(n+1)\geqslant (n+1)^2$, c'est-à-dire $n^2-n-1\geqslant 0$.

Le minimum de $x^2-x-1$ est atteint pour $x=\dfrac{1}{2}$ et la fonction $f:x\mapsto x^2-x-1$ est croissante pour $x\geqslant \dfrac{1}{2}$. Pour $x\geqslant 4$, $f(x)\geqslant f(4)=11>0$ donc, pour $n\geqslant 4$, $n^2-(n+1)\geqslant 0$ d'où $n^2\geqslant n+1$. On en déduit $n^2(n+1)\geqslant (n+1)^2$ d'où $(n+1)!\geqslant (n+1)^2$.

La propriété est bien \textbf{\textcolor{blue}{héréditaire}}.
\end{enumerate}

D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 4$.


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison $r$. On sait que $u_{102}=47$ et $u_{157}=25$.

%Déterminer la raison $r$, le premier terme $u_0$ et calculer $u_{3000}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On sait que, pour tout $p\leqslant n$, $u_n=u_p+(n-p)r$ donc $r=\dfrac{u_n-u_p}{n-p}$.

Alors : $r=\dfrac{u_{157}-u_{102}}{157-102}=\dfrac{25-47}{55}=-\dfrac{22}{55}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{2}{5}}}$ (en simplifiant par 11).

\item $u_{102}=u_0+102r$ donc $u_0=u_{102}-102r=47-102\times \left(-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{439}{5}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_0=\dfrac{439}{5}}}$.

\item Alors : $u_{3000}=\dfrac{439}{5}+\numprint{3000}\times \left(-\dfrac{2}{5}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{\numprint{5561}}{5}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit $\left(v_n\right)$ une suite géométrique de raison réelle $q$.

On sait que $v_3=12$ et $v_6=324$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $q$.
$v_6=v_3q^3$ donc $q^3=\dfrac{v_6}{v_3}=\dfrac{324}{12}=27$. On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{q=3}}$.

\item %En déduire $v_4$, $v_7$ et $v_0$.
$v_4=v_3q=12\times 3=36$ : $\boxed{\textcolor{red}{v_4=36}}$.

$v_7=v_6\times q=324\times 3=972$ ; $\boxed{\textcolor{red}{v_7=972}}$

$v_0=\dfrac{v_3}{q^3}=\dfrac{12}{27}=\dfrac{4}{9}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{v_0=\dfrac{4}{9}}}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\dfrac{1}{2}u_n + 1$.

\begin{enumerate}
\item  %Calculer les quatre premiers termes de la suite.
$u_0=\boxed{\textcolor{red}{10}}$ ; $u_1=\dfrac{1}{2}u_0+1=\boxed{\textcolor{red}{6}}$ ; $u_2=\boxed{\textcolor{red}{4}}$ ; $u_3=\boxed{\textcolor{red}{3}}$.

\item %Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de $\left(u_n\right)$.
Il semble que la suite soit \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\item %Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(X)=\dfrac{1}{2}x+1$.
$f:x\mapsto \dfrac{1}{2}x+1$ est une fonction affine de coefficient directeur $\dfrac{1}{2}>0$ donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item %Démontrer la conjecture par récurrence.
Démontrons \textbf{par récurrence} que la suite est décroissante.

Soit $P_n$ la propriété $u_{n+1}<u_n$ pour $n\in\mathbb{N}$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $u_1=6<u_0$ donc $P_0$ est vraie.

\item Hérédité : on suppose $P_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque, c'est-à-dire $u_{n+1}<u_n$.

Comme $f$ est croissante, $f$ respecte l'ordre, donc $f\left(u_{n+1}\right)<f\left(u_n\right)$, c'est-à-dire $u_{n+2}<u_{n+1}$ ; on en déduit que $P_{n+1}$ est vraie.

La propriété $P_n$ est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

La suite $\left(u_n\right)$ est bien \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
On considère la fonction $f\longmapsto x+\dfrac{1}{x-2}$. On appelle $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}
\item %Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
L'ensemble de définition de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}}}$.

\item %À l'aide de la calculatrice, conjecturer $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$, $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$, $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}f(x)$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}f(x)$.
À l'aide de la calculatrice, on conjecture que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}f(x)=-\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}f(x)=+\infty$
\end{enumerate}

\item %Calculer $f'(x)$ ; mettre l'expression sous forme fractionnaire, la factoriser et étudier son signe.
$f$ est dérivable somme somme et quotient de fonction dérivables.

$f=u+\dfrac{1}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x\\v(x)=x-2\end{cases}$.

$f'=u'+\left(\dfrac{1}{v}\right)'=u'+\left(-\dfrac{v'}{v^2}\right)$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=1\end{cases}$.

on en déduit : $f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-2)^2-1}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-2)^2-1^2}{(x-2)^2}=\dfrac{(x_2-1)(x-2+1)}{(x-2)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(x-3)(x-1)}{(x-2)^2}}}$.

\item %En déduire les variations de $f$ ; dresser le tableau de variation de $f$.
Le dénominateur est positif (carré d'un réel) donc $f'(x)$ est du signe du numérateur. Celui-ci est un polynôme du second degré, du signe du coefficient de $x^2$ donc positif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines 1 et 3 et négatif entre les racines.

On en déduit le tableau de variation.

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&&2&&&3&&\pI\\
\filet
f'(x)&&+&\z&-&&\bb&&-&\z&+&\\
\filet
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{0}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&4&\c&\h{\pI}\\
\filet
\end{variations}

\end{center}

\item \textbf{Question facultative }: \\
On appelle $g$ la fonction définie par $g(x)=x$ et $\mathscr{D}$ la courbe représentative de $g$.\\

\begin{enumerate}
\item %Que vaut $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left[f(x)-g(x)\right]$ et \\
%$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[f(x)-g(x)\right]$ ? Que peut-on en déduire ?
$\forall x\in\mathscr{D}$, $f(x)-g(x)=\dfrac{1}{x-2}$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-g(x)]=0$ et $\lim_{x\rightarrow =\infty}[f(x)-g(x)]=0$.

On en déduit que $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ se rapprochent infiniment près ; on dit que $\mathscr{D}$ est asymptote à $\mathscr{C}$.

\item %En étudiant le signe de $f(x)-g(x)$, quelle est la position relative de $\mathscr{C}$ et de $\mathscr{D}$ ?
$\forall x\neq 2,~f(x)-g(x)=\dfrac{1}{x-2}>0$ pour $x>2$ et $f(x)-g(x)=\dfrac{1}{x-2}<0$ pour $x<2$.

On en déduit que $\mathscr{C}$ est en dessous de $\mathscr{D}$ pour $x<2$ et au-dessus pour $x>2$.

\item %Tracer dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ la droite d'équation $x=2$, $\mathscr{D}$ puis $\mathscr{C}$.
Graphique : 
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-6.)(6.,6.)
\multips(0,-6)(0,1.0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-4.,0)(6.,0)}
\multips(-4,0)(1.0,0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-6.)(0,6.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.,-6.)(6.,6.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4.,-6.)(6.,6.)
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-4.0}{6.0}{x+1.0/(x-2.0)}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-4.0}{6.0}{x}
%\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2.,-6.)(2.,6.)
\rput[tl](2.82,5.58){$\mathscr{C}$}
\rput[tl](3.02,2.8){$\mathscr{D}$}
\rput[tl](2.24,-4.74){x=2}
\begin{scriptsize}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{center}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  