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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle sur la fonction $\ln$ et les nombres complexes}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Exprimer en fonction de $\ln 2$ et de $\ln 3$ les nombres suivants :

\begin{enumerate}[$A=~$]
\item $\ln 54+2\ln 36$

\bigskip

\item $\ln\left(\sqrt{6}\right)$
%
%\bigskip
%
%\item $\ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{32}}\right)$
%
%\bigskip
%\item $\ln\left(\dfrac{4^6}{3^7}\right)$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Donner la forme exponentielle de :\\

\begin{enumerate}[$A=~$]
\item $12\mathrm{i}$

\bigskip

\item $6\sqrt{3}-6\mathrm{i}$

\bigskip

\item $\mathrm{i}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : \[\ln(x+1)+\ln(x+2)=\ln(x+3).\]

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\dfrac{1+\ln x}{2-\ln x}>0$

%\subsection{}
%Soit $n\in\mathbb{N}^*$.\\
%Calculer la dérivée des deux fonctions suivantes :
%
%\bigskip
%
%$f(x)=x^n\ln(1+x)$
%
%\bigskip
%
%$g(x)=\ln\left(\mathrm{e}^{x}+nx\right)-x$

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=x-\ln x.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites en 0 et en $+\infty$ de $f$.

\item Étudier les variations de $f$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=\ln x\text{ et }g(x)=\left(\ln x\right)^2.\]
On note $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $\ln x (1-\ln x)$ sur $]0~;~+\infty[$.

\item En déduire la position relative de $\mathscr{C}$ et de $\mathscr{C}'$ selon les valeurs de $x$.

\end{enumerate}

\item Pour $x\in]0~;~+\infty[$, M est le point de $\mathscr{C}$ d'abscisse $x$ et N le point de $\mathscr{C}'$ d'abscisse $x$.\\
Montrer que, sur l'intervalle $[1~;~\mathrm{e}]$, la distance MN passe par un maximum.

\item Existe-t-il des abscisses sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ telle que la distance MN soit égale à 1 ?

\end{enumerate}




%\subsection{}%Pondichéry avril 2016
%L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas
%un pentagone régulier.
%
%\medskip
%
%\parbox{0.5\linewidth}{Dans le plan complexe muni d'un repère
%orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel
%que $\overrightarrow{OA_0} = \overrightarrow{u}$.
%
%On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-contre :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] les cinq côtés sont de même longueur;
%\item[$\bullet~~$] les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$
%appartiennent au cercle trigonométrique ;
%\item[$\bullet~~$] pour tout entier $k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a 
%
%$\left(\overrightarrow{OA_k}~;~\overrightarrow{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}}\hfill
%\parbox{0.49\linewidth}{\psset{unit=2.5cm}
%\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1)
%\pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288)
%\pscircle(0,0){1}
%\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$} \uput[ul](1;144){$A_2$} \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$} 
%\end{pspicture}
%}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$.\index{complexes}
%
%Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$.
%
%Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$.
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$. Justifier brièvement.
%		\item Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 +  2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.
%		\item Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser
%sans justification :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
%\multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline
%1&cos (4*pi/5)\\
%&\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
%2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ \hline
%&\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg
%\end{center}
%
%En   déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$.
% 	\end{enumerate}
%\item  Dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.
%\end{enumerate}
%
%\begin{center}
%\psset{unit=3.2cm}
%\begin{pspicture}(-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
%\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
%\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\psgrid[subgriddiv=5,gridwidth=0.8pt,gridlabels=0](-1,-1)(1,1)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}%Liban mai 2016
On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par :\index{complexes}

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_0		& =& 0\\
z_{n+ 1}& =& \dfrac{1}{2} \text{i} \times z_n + 5
\end{array}\right.\]

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d'affixe $z_{\text{A}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n - z_{\text{A}}$.\index{suite de complexes}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ \[u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \text{i} \times u_n.\]
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
		
\[u_n = \left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^n (- 4 - 2\text{i}).\]
		
	\end{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.
	\end{enumerate}

\end{multicols}

%\subsection{}%Antilles Guyane juin 1999 Livre Indice
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
%$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.\\ 
%On considère le point A d'affixe 1 et, pour tout $\theta$ appartenant à 
%$[0~;~ 2\pi [$, le point $M$ d'affixe $z = \textrm{e}^{\text{i}\theta}$. On désigne par 
%$P$ le point d'affixe $1 + z$ et par $Q$ le point d'affixe $z^2$. 
%
%\begin{enumerate} \item \`A partir du point $M$, donner une construction 
%géométrique du point $P$ et une construction géométrique du point $Q$. 
%Les points O,~ A,~$ M,~ P$ et $Q$ seront placés sur une même figure. 
%
%\item Déterminer l'ensemble des points $P$ pour $\theta$ 
%appartenant à $[0~ ;~ 2\pi[$. 
%
%Tracer cet ensemble sur la figure précédente. 
%
%\item Soit $S$ le point d'affixe $1 + z + z^2$~ o\`u $z$ désigne 
%toujours l'affixe du point $M$. Construire $S$, en justifiant la construction. 
%
%\item Dans le cas où $S$ est différent de O, tracer la 
%droite (O$S)$. Quelle conjecture apparaît, relativement au point $M$ ? 
%
%Démontrer que le nombre $\dfrac{1 + z + z^2}{z}$ est réel, quel que soit 
%$\theta$ appartenant à $[0~;~ 2\pi [$. 
%
%Conclure sur la conjecture précédente. 
%
%\end{enumerate} 

\label{fin}
\end{document}  