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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-DST}}}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{\textcolor{red}{ 11/05/2019 - Durée : 4 heures}}}
\title{\fbox{Devoir commun n°3 - TS - 4 heures - 11/05/2019}}
\date{}

\begin{document}
%\tableofcontents

\maketitle

\subsection{(\textcolor{blue}{6 points})}%Métropole juin 2015
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19)
\psaxes[linewidth=1.pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}
\rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}}
\pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C
\psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB'
\psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07)
\psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){A} \uput[l](0,7.07){B} 
\uput[ul](7.07,14.14){B$'$} \uput[dr](20,10.935){C} \uput[dr](27.07,18.005){C$'$} 
\uput[d](20,0){D} \uput[dr](27.07,7.07){D$'$} \uput[d](1,0){I} 
\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture} }\hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.

Le dessin ci-contre en fournit une perspective
cavalière. Les quadrilatères OAD$'$D, DD$'$C$'$C, et OAB$'$B sont des rectangles.

Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD$'$ = 10, sa
longueur OD est de 20~mètres.}
\bigskip

\textbf{Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.}

\medskip

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par

\[f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7.\]\index{fonction logarithme népérien}

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère (O, I, J).
\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie 1}} 

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle
[0~;~20], on a $f'(x) = \ln (x + 1) -2$.
\item En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 20]
et dresser son tableau de variation.
\item Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\begin{center}
\psset{unit=0.222cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(23,13.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(23,13.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}
\uput[u](15,7){$\mathcal{C}$}\uput[d](20,0){D}\uput[l](0,7.07){B}\uput[dr](20,10.935){C}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I} 
\uput[l](0,1){J}  
\end{pspicture}

\end{center}
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B.

\item On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~20]  par

\[g(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x\]

a pour dérivée la fonction   $g'$ définie sur l'intervalle
[0~;~20] par $g'(x) = (x + 1)\ln (x + 1)$.

Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20].

 \end{enumerate}

 
 


\newpage



\textbf{\textcolor{red}{Partie 2}}

\medskip

\emph{Les trois questions de cette partie sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

\setlength\parindent{9mm}
\begin{description}
\item[ ] P$_1$ : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
\item[ ] P$_2$ : L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\item On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m$^2$ par litre.

Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{
\textbf{3.} On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure
du module.

Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère
dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points $B_k(k~;~f(k))$ pour $k$ variant de 0 à 20.

Ainsi, $B_0 =$ B.



}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.18cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}
\rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}}
\pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C
\psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB'
\psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07)
\psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){\footnotesize A} \uput[l](0,7.07){\footnotesize B} 
\uput[ul](7.07,14.14){\footnotesize B$'$} \uput[dr](20,10.935){\footnotesize C} \uput[dr](27.07,18.005){\footnotesize C$'$} 
\uput[d](20,0){\footnotesize D} \uput[dr](27.07,7.07){\footnotesize D$'$} \uput[d](1,0){\footnotesize I}
\psline[linestyle=dotted](1,5.39)(8.07,12.46)\uput[dl](1,5.39){\footnotesize $B_1$}\uput[ur](8.07,12.46){\footnotesize $B'_1$}
\psline[linestyle=dotted](2,4.3)(9.07,11.37) \uput[dl](2,4.3){\footnotesize $B_2$}\uput[ur](9.07,11.37){\footnotesize $B'_2$}
\psline[linestyle=dotted](7,2.64)(14.07,9.71)\uput[dl](7,2.64){\footnotesize $B_k$}\uput[ul](14.07,9.71){\footnotesize $B'_k$} 
\psline[linestyle=dotted](8,2.78)(15.07,9.85)\uput[dr](9,3.03){\footnotesize $B_{k+1}$}\uput[u](16.07,10.1){\footnotesize $B'_{k+1}$}  
\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture} }

\medskip

On décide d'approcher l'arc de la courbe $\mathcal{C}$
allant de $B_k$ à $B_{k+1}$ par le segment $\left[B_kB_{k+1}\right]$.

Ainsi l'aire de la surface à peindre sera  approchée par la somme des aires des
rectangles du type $B_k B_{k+1} B'_{k+1}B_k$ (voir figure).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $k$ variant de 0 à 19, 
		
		$B_kB_{k+1} = \sqrt{1 + [f(k + 1) - f(k)]^2}$.
		\item Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.\index{algorithme}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|X|}\hline		
Variables 	&$S$ : réel\\
			&$K$ : entier\\
Fonction 	&$f$ : définie par $f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7$\\ \hline
Traitement	&$S$ prend pour valeur $0$\\
			&Pour $K$ variant de \ldots à \ldots\\
			&\hspace{1cm}$S$ prend pour valeur \ldots \ldots\\
			&Fin Pour\\ \hline
Sortie 		&Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{(\textcolor{blue}{4 points})}%Indice 2002 page 161
Une suite numérique $\left(u_n\right)$ est définie par son premier terme $u_1=2$ et par la relation. de récurrence, valable pour $n\geqslant 1$ : \[\ln(u_{n+1})=\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(u_n\right)+\ln\left(\dfrac{n}{(n+1)^2}\right)\right).\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier, en utilisant les propriétés de la fonction $\ln$, que cette suite est bien définie et que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 2.

\item On pose, pour $n\geqslant 1$, $v_n=nu_n$ puis $w_n=\ln\left(v_n\right)$.\\
Déterminer la relation entre $w_{n+1}$ et $w_n$ et en déduire que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

\item Déterminer la limite de la suite $\left(w_n\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_n\right)$.

\item Calculer la somme : \[S_n=w_1+w_2+\cdots+w_n.\]
\end{enumerate}  

\subsection{(\textcolor{blue}{5 points})}%Métrople septembre 2018
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra pour unité graphique le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0$.
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
		\item Faire une figure et placer les points A et B.
		\item Déterminer une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OB}}\right)$.\index{trigonométrie}
	\end{enumerate}
\item On note F le point d'affixe $z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
		\item En déduire une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OF}}\right)$ puis de l'angle $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OF}}\right)$.
		\item Calculer le module de $z_{\text{F}}$ et en déduire l'écriture de $z_{\text{F}}$ sous forme trigonométrique.
		\item En déduire la valeur exacte de : $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right).$

	\end{enumerate}
\item Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l'une : $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

et pour l'autre : $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.$

Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\subsection{(\textcolor{blue}{4 points})}%Centres étrangers juin 2017
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. 

On considère deux droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques : 

\[d_1 : \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2 + t \\
y &=& 3 - t\\
z&=&t
\end{array}\right., t \in  \mathbb{R}\quad \text{e†} \quad  
\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& - 5 + 2 t '\\ 
y&=& -1 + t ' \\
 z&=&5 
\end{array}\right., t '\in  \mathbb{R}.\]

On admet que les droites $d_1$ et $d_2$ sont non coplanaires.

Le but de cet exercice est de déterminer, si elle existe, une troisième droite $\Delta$ qui soit à la fois sécante avec les deux droites $d_1$ et $d_2$ et orthogonale à ces deux droites. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que le point A(2~;~3~;~0) appartient à la droite $d_1$. 
\item Donner un vecteur directeur $\overrightarrow{u_1}$ de la droite $d_1$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u_2}$ de la droite $d_2$.

Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? 
\item Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{v}(1~;~-2~;~-3)$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{u_1}$  et $\overrightarrow{u_2}$. `

\item Soit $P$ le plan passant par le point A, et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{v}$. 

On étudie dans cette question l'intersection de la droite $d_2$ et du plan $P$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est : $5x + 4 y - z - 22 = 0$. 

		\item Montrer que la droite $d_2$ coupe le plan $P$ au point B (3~;~3~;~5) . 
	\end{enumerate}	
\item  On considère maintenant la droite $\Delta$ dirigée par le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\- 2\\- 3\end{pmatrix}$, et passant par le point B (3~;~3~;~5). 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$. 		
		\item Les droites $d_1$ et $\Delta$ sont-elles sécantes? Justifier la réponse. 		
		\item Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ répond au problème posé. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{(\textcolor{blue}{3 points})}%Nouvelle-Calédonie septembre 2018
Une épreuve de culture générale consiste en un questionnaire à choix multiple (QCM) de vingt questions. Pour chacune d'entre elles, le sujet propose quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. À chaque question, le candidat ou la candidate doit nécessairement choisir une seule réponse. Cette personne gagne un point par réponse correcte et ne perd aucun point si sa réponse est fausse.

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On considère trois candidats:}
\item Anselme répond complètement au hasard à chacune des vingt questions.

Autrement dit, pour chacune des questions, la probabilité qu'il réponde correctement est égale à $\dfrac{1}{4}$;\index{probabilité}
\item Barbara est un peu mieux préparée. On considère que pour chacune des vingt questions, la probabilité qu'elle réponde correctement est de $\dfrac{1}{2}$;
\item Camille fait encore mieux : pour chacune des questions, la probabilité qu'elle réponde correctement est de $\dfrac{2}{3}$.
\end{list}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$, $Y$ et $Z$ les variables aléatoires égales aux notes respectivement obtenues par Anselme, Barbara et Camille.

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$? Justifier.\index{loi binomiale}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner l'arrondi au millième de la probabilité $P(X \geqslant 10)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Dans la suite, on admettra que $P(Y\geqslant 10) \approx 0,588$ et $P(Z\geqslant 10)\approx 0,962$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On choisit au hasard la copie d'un de ces trois candidats.

On note $A$, $B$, $C$ et $M$ les évènements :\index{probabilité}

\setlength\parindent{15mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$: \og la copie choisie est celle d'Anselme \fg{};
\item[$\bullet~~$] $B$: \og la copie choisie est celle de Barbara \fg{};
\item[$\bullet~~$] $C$: \og la copie choisie est celle de Camille \fg{};
\item[$\bullet~~$] $M$: \og la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à 10 \fg{}. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On constate, après l'avoir corrigée, que la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à 10 sur 20.

\smallskip

Quelle est la probabilité qu'il s'agisse de la copie de Barbara ?

On donnera l'arrondi au millième de cette probabilité.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  