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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
%\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-DST}}}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
%\rfoot{\small{\textcolor{red}{ 11/05/2019 - Durée : 4 heures}}}
\title{\fbox{Correction du devoir commun n°3 }}
\date{}

\begin{document}
%\tableofcontents

\maketitle

\subsection{(\textcolor{blue}{6 points})}%Métropole juin 2015
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19)
\psaxes[linewidth=1.pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}
\rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}}
\pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C
\psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB'
\psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07)
\psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){A} \uput[l](0,7.07){B} 
\uput[ul](7.07,14.14){B$'$} \uput[dr](20,10.935){C} \uput[dr](27.07,18.005){C$'$} 
\uput[d](20,0){D} \uput[dr](27.07,7.07){D$'$} \uput[d](1,0){I} 
\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture} }\hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.

Le dessin ci-contre en fournit une perspective
cavalière. Les quadrilatères OAD$'$D, DD$'$C$'$C, et OAB$'$B sont des rectangles.

Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD$'$ = 10, sa
longueur OD est de 20~mètres.}
\bigskip

\textbf{Le but dit problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.}

\medskip

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par

\[f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère (O, I, J).
\medskip

\textbf{Partie 1} 

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle
%[0~;~20], on a $f'(x) = \ln (x + 1) -2$.
$f=u\ln(u)+v$ avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=-2x+7$.

\noindent $f$ est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables.

\noindent $f'=u'\ln(u)+u\times \dfrac{u'}{u}+v'$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=-3$ d'où $f'(x)=1\times \ln(x+1)+(x+1)\dfrac{1}{x+1}-3=\ln(x+1)+1-3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\ln(x+1)-2}}$.

\item %En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 20]
%et dresser son tableau de variation.
$f'(x)=0\iff \ln(x+1)=2\iff x+1=\mathrm{e}^{2}\iff x=\mathrm{e}^{2}-1$.

\noindent $f'(x)>0\iff \ln (x+1)>2\iff x+1>\mathrm{e}^{2}$ (croissance de la fonction $\exp$) d'où $x>\mathrm{e}^{2}$-1.

\noindent On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\mathrm{e}^{2}-1&&20\\
\filet
f'(x)&&-&\z&+&\\
\filet
\m{f(x)}&\h{7}&\d&f\left(\mathrm{e}^{2}-1\right)\approx 2,6&\c&\h{f(20)\approx 10,93}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}

\item  %Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
$f'(0)=\ln(1)-2=\boxed{\textcolor{red}{-2}}$.
\end{enumerate}


\medskip

La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B.

\textbf{4.} On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~20]  par
$g(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x$
a pour dérivée la fonction   $g'$ définie sur l'intervalle
[0~;~20] par \\
$g'(x) = (x + 1)\ln (x + 1)$.

$g$ est donc une primitive de $x\mapsto (x+1)\ln(x+1)$.

%Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20].
Une primitive de $x\mapsto 3x+7$ est $x\mapsto \dfrac{3x^2}{2}+7x$.

\noindent Une primitive de $f$ est donc définie par :
\noindent $F(x)=g(x)-\dfrac{3x^2}{2}+7x= \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x-\dfrac{3x^2}{2}+7x=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) -\dfrac{7x^2}{4}+\dfrac{13}{2}x}}$.


\newpage

\textbf{Partie 2}

\medskip

\emph{Les trois questions de cette partie sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

\setlength\parindent{9mm}
\begin{description}
\item[ ] P$_1$ : %La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
La différence entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est $f(20)-f\left(\mathrm{e}^{2}-1\right)\approx 10,93-2,6\approx 8,3>8$ donc $P_1$ est \textbf{\textcolor{red}{vraie}};

\item[ ] P$_2$ : %L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C.
L'inclinaison en B est 2. L'inclinaison en C est $f'(20)=\ln(21)-2\\
\approx 1,04$, donc $P_2$ est \textbf{\textcolor{red}{vraie}}.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\item %On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m$^2$ par litre.

%Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
$f$ est continue, donc l'aire de la face avant, en unités d'aire, vaut 

\noindent $\mathcal{A}_1=\int_0^{20}f(x)\text{ d}x=F(20)-F(0)$.

\noindent $F(20)=\dfrac{21^2\ln 21}{2}-700+130=\dfrac{441\ln 21}{2}-570$.

\noindent $F(0)=0$.

\noindent On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\mathcal{A}_1=\dfrac{441\ln 21}{2}-570\approx 101,3}}$.

\noindent L'aire latérale gauche vaut $\mathcal{A}_2=\mathcal{A}(OAB'B)=\boxed{\textcolor{red}{10f(0)=70}}$.

\noindent L'aire latérale droite vaut $\mathcal{A}_3=\mathcal{A}(DD'C'C)=\boxed{\textcolor{red}{10f(20)=\approx 109,3}}$.

L'aire à peindre en rouge est donc $\mathcal{A}=2\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2+\mathcal{A}_3\approx \boxed{\textcolor{red}{381,9~\text{m}^2}}$ .

\noindent Le nombre de litres de peinture à prévoir est $\dfrac{381,9}{5}\approx \boxed{\textcolor{red}{77~\text{l}}}$ 
\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{
\textbf{3.} On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure
du module.

Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère
dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points $B_k(k~;~f(k))$ pour $k$ variant de 0 à 20.

Ainsi, $B_0 =$ B.



}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.18cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}
\rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}}
\pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C
\psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB'
\psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07)
\psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){\footnotesize A} \uput[l](0,7.07){\footnotesize B} 
\uput[ul](7.07,14.14){\footnotesize B$'$} \uput[dr](20,10.935){\footnotesize C} \uput[dr](27.07,18.005){\footnotesize C$'$} 
\uput[d](20,0){\footnotesize D} \uput[dr](27.07,7.07){\footnotesize D$'$} \uput[d](1,0){\footnotesize I}
\psline[linestyle=dotted](1,5.39)(8.07,12.46)\uput[dl](1,5.39){\footnotesize $B_1$}\uput[ur](8.07,12.46){\footnotesize $B'_1$}
\psline[linestyle=dotted](2,4.3)(9.07,11.37) \uput[dl](2,4.3){\footnotesize $B_2$}\uput[ur](9.07,11.37){\footnotesize $B'_2$}
\psline[linestyle=dotted](7,2.64)(14.07,9.71)\uput[dl](7,2.64){\footnotesize $B_k$}\uput[ul](14.07,9.71){\footnotesize $B'_k$} 
\psline[linestyle=dotted](8,2.78)(15.07,9.85)\uput[dr](9,3.03){\footnotesize $B_{k+1}$}\uput[u](16.07,10.1){\footnotesize $B'_{k+1}$}  
\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture} }

\medskip

%On décide d'approcher l'arc de la courbe $\mathcal{C}$
%allant de $B_k$ à $B_{k+1}$ par le segment $\left[B_kB_{k+1}\right]$.
%
%Ainsi l'aire de la surface à peindre sera  approchée par la somme des aires des
%rectangles du type $B_k B_{k+1} B'_{k+1}B_k$ (voir figure).
	\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout entier $k$ variant de 0 à 19, 
		
%		$B_kB_{k+1} = \sqrt{1 + [f(k + 1) - f(k)]^2}$.
$B_kB_{k+1}=\sqrt{1^2+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{1+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}}}$.

\item% Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.
%		
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline		
%Variables 	&$S$ : réel\\
%			&$K$ : entier\\
%Fonction 	&$f$ : définie par $f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7$\\ \hline
%Traitement	&$S$ prend pour valeur $0$\\
%			&Pour $K$ variant de \ldots à \ldots\\
%			&\hspace{1cm}$S$ prend pour valeur \ldots \ldots\\
%			&Fin Pour\\ \hline
%Sortie 		&Afficher \ldots\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
La partie de l'algorithme à compléter est :

\noindent $S$ prend la valeur 0.

\noindent Pour $K$ allant de 0 à 19

$S$ prend la valeur $S+10\sqrt{1+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}$.\\
\noindent Afficher $S$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{(\textcolor{blue}{4 points})}%Indice 2002 page 161
Une suite numérique $\left(u_n\right)$ est définie par son premier terme $u_1=2$ et par la relation. de récurrence, valable pour $n\geqslant 1$ : \[\ln(u_{n+1})=\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(u_n\right)+\ln\left(\dfrac{n}{(n+1)^2}\right)\right).\]

\begin{enumerate}
\item %Vérifier, en utilisant les propriétés de la fonction $\ln$, que cette suite est bien définie et que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 2.
$\forall n\geqslant 1,~\ln(u_{n+1})=\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(u_n\right)+\ln\left(\dfrac{n}{(n+1)^2}\right)\right)\Leftrightarrow \ln\left(u_{n+1}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{nu_n}{(n+1)^2}\right)=\ln\left(\sqrt{\left(\dfrac{nu_n}{(n+1)^2}\right)}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{nu_n}{(n+1)^2}}}}$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Par récurrenc}e}, on montre facilement que $u_n>0$ pour tout $n\geqslant 1$, donc $\ln\left(u_{n+1}\right)$ est défini, donc la suite $\left(u_n\right)$ est bien définie.

\item Montrons par récurrence que $u_n\geqslant 2$ pour tout $n\geqslant 1$.\\

\begin{itemize}
\item $u_1=2\leqslant 2$ donc la propriété est \textbf{\textcolor{blue}{initialisée}}.

\item Supposons $u_n\leqslant 2$ pour une valeur de $n$ quelconque.\\
Alors : $nu_n\leqslant 2n$ donc $\dfrac{nu_n}{(n+1)^2}\leqslant \dfrac{2n}{\left(n+1\right)^2}=\dfrac{(n+1)^2-\left(n^2+1\right)}{(n+1)^2}=1-\dfrac{n^2+1}{(n+1)^2}\leqslant 1$ donc $u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{nu_n}{(n+1)^2}}\leqslant \sqrt{1}=1\leqslant 2$.\\
Autre façon : $\dfrac{2n}{(n+1)^2}\leqslant 2\Leftrightarrow 2n\geqslant 2(n+1)^2\Leftrightarrow 2n\leqslant 2n^2+4n+2\Leftrightarrow 2n^2+2n+2\geqslant 0$ qui est évident car $n\in\mathbb{N}$.

La propriété est \textbf{\textcolor{blue}{héréditaire}}.
\end{itemize}

D'après l'axiome de récurrence, pour tout $n\geqslant 1$, $\boxed{\textcolor{red}{u_n\leqslant 2}}$.
\end{enumerate}

\item On pose, pour $n\geqslant 1$, $v_n=nu_n$ puis $w_n=\ln\left(v_n\right)$.\\
%Déterminer la relation entre $w_{n+1}$ et $w_n$ et en déduire que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Pour tout $n\geqslant 1$, $w_{n+1}=\ln\left(v_{n+1}\right)=\ln\left((n+1)u_{n+1}\right)
=\ln(n+1)+\ln\left(u_{n+1}\right)=\ln(n+1)+\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)+\dfrac{1}{2}\ln(n)-\dfrac{1}{2}\ln\left((n+1)^2\right)\\
=\ln(n+1)+\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)+\dfrac{1}{2}\ln(n)-\ln\left((n+1)\right)=\dfrac{1}{2}\left[\ln\left(u_n\right)+\ln(n)\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(nu_n\right)=\dfrac{1}{2}w_n$ donc la suite $\left(w_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=\dfrac{1}{2}}}$.

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(w_n\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_n\right)$.
$-1<q<1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}w_n=0}}$.\\
$v_n=\mathrm{e}^{w_n}$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=1$.\\
$v_n=nu_n$ donc $u_n=\dfrac{v_n}{n}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$

\item %Calculer la somme : \[S_n=w_1+w_2+\cdots+w_n.\]
Soit $S_n=w_1+w_2+\cdots+w_n$.\\
$\left(w_n\right)$ est une suite géométrique donc $S_n=w_1\times \dfrac{1-q^n}{1-q}=\ln(2)\times \dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=2\ln(2)\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{S_n=2\ln(2)\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}}$.
\end{enumerate}  

\subsection{(\textcolor{blue}{5 points})}%Métrople septembre 2018
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra pour unité graphique le centimètre.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\C$ l'équation $\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0$.
$\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0\iff \left[ \begin{array}{l c l}
z^2 - 2z + 4&=&0\\
\text{ou}\\
z^2 + 4&=& 0
\end{array}\right.$.

$\bullet~~$ Résolvons $z^2 - 2z + 4 = 0$ :\\
$\Delta=(-2)^2-4\times 1\times 4=4-16=-12<0$.\\
L'équation a deux solutions complexes conjuguées : $\dfrac{2-\mathrm{i}\sqrt{12}}{2}=1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$.

$\bullet~$~Résolvons $z^2  + 4 = 0\iff z^2=-4\iff z^2=(2\mathrm{i})^2$\\.
Cette équation a deux solutions : $2\text{i}$ et $- 2\text{i}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : l'équation a quatre solutions :

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{1 + \text{i}\sqrt{3};\quad \:1 - \text{i}\sqrt{3};\quad2\text{i};\quad - 2\text{i}\}}}$.

\item %On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
		
$\bullet~~$ $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right| = 2$.

On peut écrire $z_{\text{A}} = 2 \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right)$ soit en écriture exponentielle : $\boxed{\textcolor{red}{z_{\text{A}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}}$.

$\bullet~~$ $z_{\text{B}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$.

On a donc avec les modules OA = OB = 2 : A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.

		\item ~%Faire une figure et placer les points A et B.
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2)(2,4)
\psdots(2;90)(2;60)\uput[ul](2;90){B}\uput[ur](2;60){A}\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1,3.732){F}
\pscircle(0,0){2}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1pt]{->}(0,0)(2;60)
\psline[linecolor=red,linewidth=1pt]{->}(2;60)(1,3.732)
\psline[linecolor=red,linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}	
\end{center}
		\item %Déterminer une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OB}}\right)$.
		On a $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}}{2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}} = \dfrac{\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}}{\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \right)} =\boxed{\textcolor{red}{ \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}}}$.
		
Or $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) = \text{arg} \left(\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}\right) = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}}}.$
	\end{enumerate}
	
\item %On note F le point d'affixe $z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
%F se construit par la méthode du parallélogramme ; or on a vu que OA = OB : le parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange de côtés de mesure 2.	
$z_{\overrightarrow{OB}}=z_B$ ; $z_{\overrightarrow{AF}}=z_F-z_A=z_A+z_B-z_A=z_B$ donc $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AF}$.\\
$OAFB$ est donc un parallélogramme. OA = OB : le parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange de côtés de mesure 2.

		\item %En déduire une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OF}}\right)$ puis de l'angle $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OF}}\right)$.
OAFB est un losange donc la droite (OF) est la bissectrice de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OB}}\right)$ ; donc une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OF}}\right)$ est $\dfrac{\pi}{12}$.

D’après la \textbf{\textcolor{red}{relation de Chasles}} $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OF}}\right) =  \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OA}}\right) + \left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OF}}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{12} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5\pi}{12}}}$

		\item %Calculer le module de $z_{\text{F}}$ et en déduire l'écriture de $z_{\text{F}}$ sous forme trigonométrique.
On a $z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3} + 2\text{i} =\boxed{\textcolor{red}{ 1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 2\right)}}$.

Donc $\left|z_{\text{F}} \right|^2 = 1^2 + \left(\sqrt{3} + 2\right)^2 = 1 + 3 + 4 + 4\sqrt{3} = 8 + 4\sqrt{3} = 4\left(2 + \sqrt{3} \right)$.

Donc $\left|z_{\text{F}} \right| = 2\sqrt{2 + \sqrt{3} }$.

Or 'un argument de $z_{\text{F}}$ est $\dfrac{5\pi}{12}$ puisque $\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{OF}\right)=\dfrac{5\pi}{12}$ (d'après 3.(b)), donc l'écriture trigonométrique de $z_{\text{F}}$ est :

$\boxed{\textcolor{red}{z_{\text{F}} = 2\sqrt{\left(2 + \sqrt{3} \right)}\left(\cos \dfrac{5\pi}{12} + \text{i}\sin \dfrac{5\pi}{12} \right)}}$.
		\item %En déduire la valeur exacte de :
On a vu que la partie réelle de $z_{\text{F}}$ est égale à 1 et d'après la question précédente elle est aussi égale à $2\sqrt{\left(2 + \sqrt{3} \right)}\cos \dfrac{5\pi}{12}$.

Donc en égalant : 

$1 = 2\sqrt{\left(2 + \sqrt{3} \right)}\cos \dfrac{5\pi}{12} \iff \cos \dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{1}{2\sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \times (4 - 3)} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}}}$.	
	\end{enumerate}
\item %Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l'une:

%\[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\]

%et pour l'autre :

%\[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.\]

%Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse.
Ces deux nombres sont positifs ($\sqrt{6} > \sqrt{2}$) ; comparons leurs carrés :

$\bullet~~$ $\left[\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\right]^2 = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}$ ;

$\bullet~~$ $\left[\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right]^2 = \dfrac{6 + 2 - 2\sqrt{12}}{16} = \dfrac{8 - 4\sqrt{3}}{16} = \dfrac{4\left(2 - \sqrt{3} \right)}{16} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}$.

Ces deux nombres positifs ont le même carré  : ils sont \textbf{\textcolor{red}{égaux}} ; les deux calculatrices donnent le résultat correct.
\end{enumerate}

\subsection{(\textcolor{blue}{4 points})}%Centres étrangers juin 2017
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. 

On considère deux droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques : 

\[d_1 : \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2 + t \\
y &=& 3 - t\\
z&=&t
\end{array}\right., t \in  \mathbb{R}\quad \text{e†} \quad  
\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& - 5 + 2 t '\\ 
y&=& -1 + t ' \\
 z&=&5 
\end{array}\right., t '\in  \mathbb{R}.\]

On admet que les droites $d_1$ et $d_2$ sont non coplanaires. 

Le but de cet exercice est de déterminer, si elle existe, une troisième droite $\Delta$ qui soit à la fois sécante avec les deux droites $d_1$ et $d_2$ et orthogonale à ces deux droites. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que le point A(2~;~3~;~0) appartient à la droite $d_1$. 
Pour $t=0$ dans la représentation paramétrique de $d_1$, on obtient $x=2~;~y=3$ et $z=0$ donc \textbf{\textcolor{red}{$\mathbf{A(2~;~3~;~0)}$ appartient à $\mathbf{d_1}$}}.

\item %Donner un vecteur directeur $\overrightarrow{u_1}$ de la droite $d_1$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u_2}$ de la droite $d_2$.
On sait que dans la représentation paramétrique d'une droite, les coefficients de $x$, $y$ et $z$ donnent les coordonnées d'un vecteur directeur de cette droite.

On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}}$ est un vecteur directeur de $d_1$ et $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}}$ est un vecteur directeur de $d_2$.

% Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? 

$\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{1}{-1}$ donc les coordonnées ne sont pas proportionnelles : les deux vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$ ne sont pas colinéaires donc les deux droites $d_1$ et $d_2$ ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas parallèles}}.

\item %Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{v}(1~;~-2~;~-3)$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{u_1}$  et $\overrightarrow{u_2}$. `
Soit le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u_1}=1+2-3=0$ donc $\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{u_1}$.

$\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u_2}=2-2+0=0$ donc $\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{u_2}$.

$\overrightarrow{v}$ est bien orthogonal aux deux vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$.

\item Soit $P$ le plan passant par le point A, et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{v}$. 

On étudie dans cette question l'intersection de la droite $d_2$ et du plan $P$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est : $5x + 4 y - z - 22 = 0$. 
		Soit $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}5\\4\\-1\end{pmatrix}$.
		
$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u_1}=1\times 5+(-1)\times 4+1\times (-1)=5-4-1=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u_1}$.

$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}=1\times 1+(-1)\times (-2)+1\times (-3)=1+2-3=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{v}$.

$\overrightarrow{n}$ est \textbf{\textcolor{red}{orthogonal à deux vecteurs non colinéaires }}de plan $P$ donc $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à ce plan. 

$P$ passe par $A$ donc une équation cartésienne de $P$ est : 

$5\left(x-x_A\right)+4\left(y-y_A\right)-\left(z-z_A\right)=0\Leftrightarrow 5(x-2)+4(y-3)-z=0\\
\Leftrightarrow 5x+4y-z-22=0$ : $P$ a pour équation cartésienne $\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{5x+4y-z-22=0}}}$

		\item %Montrer que la droite $d_2$ coupe le plan $P$ au point B (3~;~3~;~5) . 
		On cherche l'intersection de $d_2$ et de $P$ :
		
		on injecte les expressions de $x$, $y$ et $z$ de la représentation paramétrique de $d_2$ dans l'équation cartésienne de $P$ :
		
		On obtient : $5(-5+2t')+4(-1+t')-5-22=0\Leftrightarrow 14t'-56=0\Leftrightarrow t'=4$.
		
		On remplace $t'$ par 4 : on obtient $x=-5+2\times 4=3$~;~$y=-1+4=3$ et $z=5$.
		
		$d_2$ et $P$ ont un seul point commun : $\boxed{\textcolor{red}{B(3~;~3~;~5)}}$.
	\end{enumerate}
	
\item  On considère maintenant la droite $\Delta$ dirigée par le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\- 2\\- 3\end{pmatrix}$, et passant par le point B (3~;~3~;~5). 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$. 
		$\Delta$ a pour représentation paramétrique : $\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=3+k\\y=3-2k\\z=5-3k\end{cases},~k\in\mathbb{R}}}$.
		
		\item %Les droites $d_1$ et $\Delta$ sont-elles sécantes? Justifier la réponse. 
		On cherche si $d_1$ et $\Delta$ sont sécantes. Si c'est le cas, il existe $t$ et $k$ réels tels que :
		
		$\begin{cases}2+t=3+k\\3-t=3-2k\\t=5-3k\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2+5-3k=3+k\\3+3k-5=3-2k\\t=5-3k\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}k=1\\k=1\\t=5-3k\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}k=1\\t=2\end{cases}$.
		
		En remplaçant $k$ par 1 ou $t$ par 2, on obtient que les deux droites ont un seul point d'intersection : $\boxed{\textcolor{red}{C(4~;~1~;~2)}}$.
		
		\item %Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ répond au problème posé. 
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item D’après la question (3.) la droite $\Delta$ dirigée par le vecteur $\overrightarrow{v}$ est orthogonale aux droites $d_1$ et $d_2$.

\item D’après la question (5b.) les droites $d_1$ et $\Delta$ sont sécantes en un point $C(4~;~1~;~2)$.

\item Par ailleurs , le point B(3~;~3~;~3) appartient à la droite $\Delta$ par définition (5.) et à la droite $d_2$ d’après la question (4b.)

\item Donc la droite $\Delta$ est sécante avec les deux droites $d_1$ et $d_2$ et orthogonale à ces deux droites ce qui répond au problème posé.
\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{(\textcolor{blue}{3 points})}%Nouvelle-Calédonie septembre 2018
Une épreuve de culture générale consiste en un questionnaire à choix multiple (QCM) de vingt questions. Pour chacune d'entre elles, le sujet propose quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. À chaque question, le candidat ou la candidate doit nécessairement choisir une seule réponse. Cette personne gagne un point par réponse correcte et ne perd auxun point si sa réponse est fausse.

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On considère trois candidats:}
\item Anselme répond complètement au hasard à chacune des vingt questions.

Autrement dit, pour chacune des questions, la probabilité qu'il réponde correctement est égale à $\dfrac{1}{4}$;
\item Barbara est un peu mieux préparée. On considère que pour chacune des vingt questions, la probabilité qu'elle réponde correctement est de $\dfrac{1}{2}$;
\item Camille fait encore mieux: pour chacune des questions, la probabilité qu'elle réponde correctement est de $\dfrac{2}{3}$.
\end{list}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$, $Y$ et $Z$ les variables aléatoires égales aux notes respectivement obtenues par Anselme, Barbara et Camille.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$? Justifier.
Anselme répond au hasard à chaque question donc il a une probabilité de répondre juste à une question de $\boxed{\textcolor{red}{p=\dfrac{1}{4}}}$.

Il y a 20 questions qui sont indépendantes donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de bonnes réponses d'Anselme, donc sa note, suit la \textbf{\textcolor{red}{loi binomiale}} de paramètres $n=20$ et $p=0,25$.

\item À l'aide de la calculatrice, l'arrondi au millième de la probabilité $P(X \geqslant 10)$ est $0,014$.
\end{enumerate}


Dans la suite, on admettra que $P(Y\geqslant 10) \approx 0,588$ et $P(Z\geqslant 10)\approx 0,962$.


\item On choisit au hasard la copie d'un de ces trois candidats.

\begin{list}{\textbullet}{On note $A$, $B$, $C$ et $M$ les événements:}
\item $A$: \og la copie choisie est celle d'Anselme \fg{};
\item $B$: \og la copie choisie est celle de Barbara \fg{};
\item $C$: \og la copie choisie est celle de Camille \fg{};
\item $M$: \og la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à 10 \fg{}. 
\end{list}

Traduisons la situation par un arbre pondéré :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=60mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $\frac13$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $0,014$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{M}$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{ $\frac13$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $0,588$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{M}$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\tbput{ $\frac13$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $0,962$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{M}$}\tbput{ $$}}}
\end{center}


On constate, après l'avoir corrigée, que la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à 10 sur 20.

%\smallskip

La probabilité qu'il s'agisse de la copie de Barbara est $P_{M}(B)$ soit $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{P\left (B\cap M\right )}{P(M)}}}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On choisit au hasard la copie d'un des trois candidats donc 
$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}$.

\item $P(B \cap M) = P(B) \times P_{B}(M)$. \\
D'après le contexte, $P_{B}(M) = P(Y\geqslant 10)$ donc $P(B \cap M) = \dfrac{1}{3}\times 0,588$.

\item D'après la formule des probabilités totales

$P(M)= P(A\cap M) + P(B\cap M) + P(C\cap M) = P(A)\times P_{A}(M) + P(B)\times P_{B}(M) + P(C)\times P_{C}(M) \\[5pt]
\phantom{P(M)}
= P(A)\times P(X\geqslant 10) + P(B)\times P(Y\geqslant 10) + P(C)\times P(Z\geqslant 10)\\[5pt]
\phantom{P(M)}
= \dfrac{1}{3} \times 0,014 + \dfrac{1}{3}\times 0,588 + \dfrac{1}{3}\times 0,962
= \dfrac{1,564}{3}$ 
\end{list}

Donc $\boxed{\textcolor{red}{P_{M}(B) = \dfrac{\frac{0.588}{3}}{\frac{1,564}{3}}}}$ dont l'arrondi au millième est $\boxed{\textcolor{red}{0,376}}$.
%On donnera l'arrondi au millième de cette probabilité.

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  