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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On note $E$ la fonction partie entière.\\
La fonction $g:x\mapsto xE(x)$ est-elle continue en 0 ?

\subsection{}
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=x^3-4x+5.\]
Démontrer que l'équation $f(x)=8$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-2~;~3]$.

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=-x^3-2x+5.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$.

\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$.

\item À l'aide de la calculatrice, trouver une encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.

\item En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=x^3-3x+1.\] 
On se propose de résoudre l'équation $f(x)=0$~[1].

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : recherche du nombre de solutions}}


\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.

\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions dans $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{ \textcolor{blue}{Partie B : recherche des solutions exactes}}

On cherche les solutions de l'équation [1] sous la forme $x=2\cos\theta$, avec $\theta$ réel.
\begin{enumerate}


\item Démontrer que, pour tout réel $\theta$, \[\cos(3\theta)+3\cos(\theta)=4\cos^3(\theta).\]

\item Démontrer que $x$ est solution de [1] si, et seulement si, $\cos(\theta)=\dfrac{1}{2}$ [2].

\item Trouver les réels solutions de [2].

\item En déduire les valeurs exactes de solutions de l'équation [1].
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document} 