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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Nouvelle-Calédonie mars 2019}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}


\medskip

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Une société de location de voitures s'intéresse à l'état mécanique de son parc automobile afin d'anticiper les frais d'entretien. 

On dispose des données suivantes: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]20\,\% des voitures sont sous garantie; 
\item[$\bullet~~$]pour 1\,\% des voitures sous garantie, une réparation est nécessaire; 
\item[$\bullet~~$]pour 10\,\% de celles qui ne sont plus sous garantie, une réparation est nécessaire. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit une voiture au hasard dans le parc et on considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$G$ : \og la voiture est sous garantie\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$]$R$ : \og une réparation est nécessaire \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire la situation par un arbre pondéré. \index{probabilité}\index{arbre}
		\item Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation. 
		\item Justifier que $P(R) = 0,082$. 
		\item Il s'avère que la voiture choisie nécessite une réparation. 

Quelle est la probabilité qu'elle soit sous garantie ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$. 
	\end{enumerate}
\item La société de location fait appel à un garage pour l'entretien de son parc automobile. 

L'entretien consiste en une révision à laquelle s'ajoutent d'éventuelles réparations. Les conditions commerciales du garage sont les suivantes: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si la voiture est encore sous garantie, l'entretien est gratuit ; 
\item[$\bullet~~$] si la voiture n'est plus sous garantie, l'entretien est facturé de la manière suivante: la révision coûte 100 \euro{} et, si une réparation est nécessaire, il faut rajouter 400 \euro. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Sachant que son parc automobile compte \np{2500}~voitures, est-il raisonnable pour la société de location de prévoir un budget annuel de \np{250000}~euros pour l'entretien de l'ensemble des voitures ? 

On pourra introduire la variable aléatoire $X$ qui représente le coût d'entretien d'une voiture. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

La société de location propose à ses clients deux contrats de location: un contrat de courte durée (inférieure à 2 jours) et un contrat de longue durée (de 3 à 7 jours). 

La directrice de cette société affirme que 80\,\% des clients demandent un contrat de courte durée. 

Sur les 600 derniers contrats signés l'année précédente, 550 étaient des contrats de courte durée. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item En supposant que l'affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des contrats de courte durée.\index{intervalle de fluctuation asymptotique} 
\item Que peut-on penser de l'affirmation de la directrice ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 450$ et d'écart-type $\sigma = 100$.\index{loi normale}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre $500$ km et $600$~km ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$. 
\item La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux 15\,\% de ses clients parcourant le moins de kilomètres en une semaine. 

En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l'unité, un client sera-t-il concerné par cette offre ? 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{ \hfill 6 points}}

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip 

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[g(x) = (x + 2)\text{e}^{x - 4} - 2.\]\index{fonction exponentielle}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item Démontrer que la limite de $g$ en $- \infty$ vaut $- 2$. 
\item On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $g'$ sa dérivée. 

Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ puis dresser le tableau de variations de $g$.\index{dérivée} 
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$. 
\item En déduire le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$. 
\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction }\boldmath f \unboldmath 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f(x) = x^2 - x^2\text{e}^{x-4}.\]

\smallskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$. 
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

On admet par ailleurs que, pour tout réel $x$,\: $f' (x) = - xg(x)$ où la fonction $g$ est celle définie à la partie A. 

Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. 
\item Démontrer que le maximum de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$ est égal à $\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}$.\index{maximum} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Aire d'un domaine}

\medskip 

Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, on note $\mathcal{D}$ le domaine compris entre la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$, la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = x^2$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{P}$. 
\item On admet qu'une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est définie par: 

\[F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{x - 4}.\] 

Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en unité d'aire. On donnera la valeur exacte. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\subsection{\textcolor{blue}{ \hfill 4 points}}

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\index{vrai-faux} 

\emph{Il est attribué $1$ point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} 

Pour les questions 1 à 3, on se place dans un plan muni du repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit (E) l'équation d'inconnue le nombre complexe $z$\index{complexes}

 \[z\left(z^2 - 8z + 32\right) = 0.\] 

\textbf{Affirmation 1} : Les points dont les affixes sont les solutions de l'équation $(E)$ sont les sommets d'un triangle d'aire égale à $16$ unités d'aire. 
\item Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points dont les affixes $z$ vérifient 

\[|z - 3| = |z + 3|.\] 

\textbf{Affirmation 2} : L'ensemble $\mathcal{E}$ est le cercle de centre O et de rayon 3. 

\item On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \index{suite complexe}

\[z_n = \left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)^n.\] 

Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$. 

\textbf{Affirmation 3} : Pour tout entier naturel $n$, les points $M_n$ O et $M_{n+3}$ sont alignés. 

\item On considère l'équation d'inconnue le nombre réel $x$

\[ \sin(x) \left(2\cos^2 (x) - 1\right) = 0.\] 

\textbf{Affirmation 4} : Cette équation admet exactement quatre solutions sur l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$  qui sont :  $- \dfrac{\pi}{4}\; ;\; 0\:;\: \dfrac{\pi}{4}$ et $\pi$. 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ à valeurs réelles définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,\index{suite}

\[ u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n + 8}.\] 

\textbf{Partie A : Conjectures}

\medskip 

Les premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran : \index{tableur}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
	&A	&B\\ \hline
1	&$n$&$u_n$\\ \hline
2 	&  0	&   1\\ \hline   
3	&1 	&\np{0,11111111}\\ \hline   
4	&2 	&\np{0,01369863}\\ \hline   
5 	&3 	& \np{0,0017094}\\ \hline   
6 	&4 	&\np{0,00021363}\\ \hline   
7 	&5 	&\np{2,6703}E$-$05\\ \hline   
8 	&6 	&\np{3,3379}E$-$06\\ \hline   
9 	&7 	&\np{4,1723}E$-$07\\ \hline  
10	&8	&\np{5,2154}E$-$08\\ \hline   
11	&9	&\np{6,5193}E$-$09\\ \hline   
12	&10	&\np{8,1491}E$-$10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
   
\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on entrer dans la cellule B3 et copier vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
\item Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
\item Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
\item Écrire un algorithme calculant $u_{30}$.\index{algorithme}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude générale}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n > 0$. 
\item Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.
\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Recherche d'une expression du terme général}

\medskip 

On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$, 

\[v_n = 1 + \dfrac{7}{u_n}.\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 8 dont on déterminera le premier terme. \index{suite géométrique}
\item Justifier que, pour tout entier naturel n, 

\[u_n = \dfrac{7}{8^{n+1} - 1}.\] 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$
\item On cherche dans cette question le plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$,\: $u_n < 10^{- 18}$. 

Justifier l'existence d'un tel entier $n_0$ et déterminer sa valeur. 
\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  