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\begin{document}
	
	\title{}
	\date{}       
	\maketitle
	
\hfill\\[-4cm]

	$$\fbox{\Large{\text{Devoir commun \no 1 - TS - 4 heures - 10/11/2018}}}$$

\hfill\\

\noindent\underline{\textbf{Exercice 1 :}} % Nouvelle Calédonie mars 2012
\medskip

\noindent On dispose de deux urnes et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

\noindent L'urne $U_{1}$ contient trois boules rouges et une boule noire.

\noindent L'urne $U_{2}$ contient trois boules rouges et deux boules noires.\\

\noindent Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{1}$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{2}$.\\

\noindent On considère les évènements suivants :

$A$ : \og obtenir 1 en lançant le dé \fg 

$B$ : \og obtenir une boule noire \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
		\item Montrer que la probabilité d'obtenir une boule noire est $\dfrac{3}{8}$. 
		\item Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé.\\
	\end{enumerate}
	\item On convient qu'une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. 
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Quelle est la loi de probabilités suivie par $X$ ? Justifier soigneusement.
		\item Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième. 
		\item Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. 
		\item On donne le tableau suivant: 
		
		\medskip
		
		\hspace{-1cm}\begin{footnotesize}
			\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				$k$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
				$P(X < k)$ &\np{0,0091}&\np{0,0637}  &\np{0,2110} &\np{0,4467} &\np{0,6943} &\np{0,8725} &\np{0,9616} &\np{0,9922}& \np{0,9990}&\np{0,9999}\\ \hline
			\end{tabularx}
		\end{footnotesize}
		\medskip
		
		\noindent Soit $N$ un entier compris entre 1 et 10. On considère l'évènement : \og la personne gagne au moins $N$ parties \fg.
		
		A partir de quelle valeur de $N$ la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à $\dfrac{1}{10}$ ? \\[0.5cm]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip



\noindent\underline{\textbf{Exercice 2 :}} % Nouvelle-Calédonie novembre 2017

\medskip

\noindent Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 3$,\: $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+2} = \dfrac{5}{4}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n.\]

\noindent Le but de cet exercice est d'étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.\\

\bigskip

\noindent\textbf{Partie A :}

\medskip

\noindent On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ à l'aide d'un tableur.

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_2$ et $u_3$.
	\item A l'aide de la calculatrice, compléter le tableau ci-dessous. On donnera des valeurs approchées à $10^{-3}$ près de $u_n$ pour $n$ allant de 2 à 5.
	
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	$$\begin{tabular}{|c|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|}\hline
			$n$& \ \ 0 & \ \ 1 & \ \ 2 & \ \ 3 & \ \ 4 & \ \ 5 \\
			\hline
			$u_n$ & \ \ 3 & \ \ 6 & & & & \\
			\hline
		\end{tabular}$$


	\item Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\newpage

\noindent\textbf{Partie B : étude de la suite}

\medskip

\noindent On considère les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

\[v_n = u_{n + 1} - \dfrac{1}{4}u_n\quad \text{ et }\quad  w_n = u_n - 7.\]

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite constante.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + \dfrac{21}{4}$.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item En utilisant le résultat de la question \textbf{1.b.}, montrer par récurrence que, pour tout
		entier naturel $n$,
		$$u_n < u_{n+1} < 15$$
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 7 - \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n-1}$.
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule et affiche le plus petit entier $n$ tel que $\left\vert u_n-7 \right\vert<10^{-4}$.
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|} 
		\hline
		%\textbf{Entrée :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\[-0.4cm]
		\textbf{Initialisation :}& \\
		& $u \leftarrow 3$\\
		& $n \leftarrow 0$\\[0.2cm]
		\textbf{Traitement :}& \\
		& Tant que \ldots\\  
			&\hspace{0,5cm} $n \leftarrow \ldots $ \\ 
			&\hspace{0,5cm} $u \leftarrow \ldots$ \ldots\\[0.2cm]
			&Fin Tant que\\[0.2cm]
		\textbf{Sortie :}& \\
		& Afficher $\ldots$\\
		\hline 
		\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item Quel est alors la valeur affichée par l'algorithme ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


%\medskip
%
%\noindent Soit la suite\index{suite} numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\textbf{N}$ par : 
%
%\[ \begin{cases} u_{0} = 2 \\   u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1 \ \text{pour tout entier naturel $n$}. \end{cases}\]
%
%\begin{enumerate}
%	\item 
%	\begin{enumerate}[$a.$]
%		\item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près. 
%		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
%	\end{enumerate} 
%	
%	\item 
%	\begin{enumerate}[$a.$]
%		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, 
%		
%		\[u_{n} \leqslant n + 3.\]
%		
%		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, 
%		
%		\[u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 - u_{n}\right).\]
%		
%		\item En déduire une validation de la conjecture précédente.
%	\end{enumerate} 	
%	\item On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite\index{suite} définie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} - n$. 
%	\begin{enumerate}[$a.$]
%		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$. 
%		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,
%		
%		\[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\]
%		
%		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
%	\end{enumerate} 	
%	\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: 
%	
%	\[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et}  
%	\quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\]
%	
%	\begin{enumerate}[$a.$]
%		\item Calculer $\di\sum_{k=0}^{n} \left(\di\frac{2}{3}\right)^{k} $.
%		\item Calculer $\di\sum_{k=0}^{n} k $.
%		\item En déduire l'expression de $S_{n}$ en fonction de $n$. 
%		\item Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\underline{\textbf{Exercice 3 :}} % Polynésie juin 2018 en reformulant lapin/grenouille et terrier/nénuphar
\medskip

\noindent Une grenouille se déplace sur un étang sur lequel se situe trois nénuphars, notés $A$, $B$ et $C$.\\ %, sur chacun desquels il est confronté à un stimulus particulier.
A chaque fois qu'elle est sur un nénuphar, la grenouille :
\begin{enumerate}[$\diamond$]
	\item soit reste sur ce nénuphar ;
	\item soit change de nénuphar. 
\end{enumerate}
Cela constitue une étape.\\

\noindent Soit $n$ un entier naturel.
On considère les évènements suivants : 
\begin{enumerate}[$\diamond$]
	\item $A_n$ : \og la grenouille est sur le nénuphar $A$ à l'étape $n$ \fg.
	\item $B_n$ : \og la grenouille est sur le nénuphar $B$ à l'étape $n$ \fg.
	\item $C_n$ : \og la grenouille est sur le nénuphar $C$ à l'étape $n$ \fg.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent On note $a_n=p(A_n)$, $b_n=p(B_n)$ et $c_n=p(C_n)$.\\

\noindent A l'étape $n = 0$, la grenouille est sur le nénuphar $A$.

\noindent Une étude a permis de modéliser les déplacements de la grenouille par le système suivant :

\[\renewcommand\arraystretch{1.5}\left\{\begin{array}{l c r}
a_{n+1}&=&\frac{1}{3}a_n + \frac{1}{4} b_n \phantom{+ \frac{2}{3}c_n}\\
b_{n+1}&=&\frac{2}{3}a_n + \frac{1}{2} b_n + \frac{2}{3}c_n\\
c_{n+1}&=&\frac{1}{4}b_n + \frac{1}{3} c_n
\end{array}\right.\]

\medskip

\noindent L'objectif de cet exercice est d'estimer sur quel nénuphar la grenouille a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

\bigskip

\newpage

\noindent\textbf{Partie A}

\medskip

\noindent A l'aide d'un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant:

\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&A &B &C &D\\ \hline
		1 	&$n$ &$a_n$ &$b_n$ &$c_n$\\ \hline
		2 	&0	& 1 	&0	&0\\ \hline
		3	&1	&0,333 	&0,667 	&0\\ \hline
		4 	&2 	&0,278 &0,556 &0,167\\ \hline
		5 	&3 &0,231 &0,574 &0,194\\ \hline
		6 	&4 &0,221 &0,571 &0,208\\ \hline
		7 	&5 &0,216 &0,572 &0,212\\ \hline
		8 	&6 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline
		9 	&7 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline
		10 	&8 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
		11 	&9 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
		12 	&10 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir la colonne C ?
	\item  Quelle conjecture peut-on émettre ?
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n - c_n$.
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.
		\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
	\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n - \dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$,\: $a_n + b_n + c_n = 1$ et en déduire que, pour tout
		entier naturel $n$,\: $v_{n+1} = - \dfrac{1}{6}v_n$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
	\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :
	
	\[
	a_{n} = \dfrac{3}{14} +\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n, \quad b_{n} = \dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n \quad \text{et} \quad c_{n} = \dfrac{3}{14} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n.\]
	
	\item  Que peut-on en déduire sur la position de la grenouille après un très grand nombre d'étapes ?
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}



\noindent\underline{\textbf{Exercice 4 :}} % mélange de questions...

\medskip

\noindent Les questions suivantes sont indépendantes.
\begin{enumerate}
	\item Existe-t-il des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que $\di\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ et $\di\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=0$ et $\di\lim_{n\rightarrow +\infty}u_nv_n=+\infty$ ? Justifier soigneusement.
	\item Existe-t-il des suites $\left(s_n\right)$ et $\left(t_n\right)$ telles que $\di\lim_{n\rightarrow +\infty}s_n=+\infty$ et $\di\lim_{n\rightarrow +\infty}t_n=0$ et $\di\lim_{n\rightarrow +\infty}s_nt_n=3$ ? Justifier soigneusement.
	\item Soit $(w_n)$ une suite convergente. La suite $\left(\di\frac{1}{w_n}\right)$ converge-t-elle ? Justifier soigneusement.
	\item Pour chacune des deux affirmations suivantes, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier cette réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item  Soit une suite $\left(v_n\right)$.
		
		\textbf{Affirmation A :} Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à 1,
		
		\[- 1 - \dfrac{1}{n} \leqslant  v_n \leqslant  1 + \dfrac{1}{n}\]
		
		alors la suite $\left(v_n\right)$ converge.
		\item  Soit $\left(w_n\right)$ une suite convergente.
		
		\textbf{Affirmation B :} Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $\left(w_n\right)$ sont strictement positifs, alors la limite de la suite $\left(w_n\right)$ est aussi strictement positive.
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\bigskip



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\end{document}



