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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du TD}}\end{center}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$. 

\begin{enumerate}
\item %Dresser le tableau de variation de $f$.
$f$ est dérivable ; $f'(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+2\times \dfrac{1}{x}\right)$ donc $f'(x)=\dfrac{1}{2}\left(1+2\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)\\
=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2-2}{x^2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}{x^2}\right)}}$.

$f\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\dfrac{2}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}}}$ (on dit que $\sqrt{2}$ est un point fixe, c'est-à-dire  une solution de l'équation  $f(x)=x$)

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\sqrt{2}&&0&&&\sqrt{2}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{\sqrt{2}}&\d&\bb&&\d&\sqrt{2}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$  définie par : $\begin{cases}u_0=\dfrac{3}{2}\\u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{cases}$.  

\begin{enumerate}
\item %Calculer  $u_1$ et $u_2$ (donner les résultats sous forme de fractions irréductibles, puis sous forme décimales arrondies à $10^{-2}$ près).
$u_1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{17}{12}\approx 1,417}}$ ; $u_2=f\left(u_1\right)=f\left(\dfrac{17}{12}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{577}{408}\approx \numprint{1.41421568627}}}$

\item %Démontrer, par récurrence, que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a : $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{3}{2}$.
Démontrons, par récurrence, que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a : $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{3}{2}$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : d'après ce qui précède, on a $\sqrt{2}\leqslant u_1\leqslant u_0\leqslant \dfrac{3}{2}$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{3}{2}$ pour une valeur quelconque de $n$.

D'après le tableau de variation de $f$, $f$ est croisante sur $\left[\sqrt{2}~;~\dfrac{3}{2}\right]$.

On en déduit : $f\left(\sqrt{2}\right)\leqslant f\left(u_{n+1}\right)\leqslant f\left(u_n\right)\leqslant f\left(\dfrac{3}{2}\right)$, c'est-à-dire  $\sqrt{2}\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{17}{12}\leqslant \dfrac{3}{2}$ donc la propriété est \textbf{héréditaire}.
\end{enumerate}

D'après l'axiome de récurrence, elle est donc vraie pour tout $n$.

\item %Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant \dfrac{1}{2}\left(u_n-\sqrt{2}\right)$.
Pour tout $n$, $u_{n+1}-\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\left(u_n-\dfrac{2}{u_n}\right)-\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{u_n}-\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{u_n}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{u_n-\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}u_n-2}{2u_n}=\dfrac{1}{2}\left(u_n-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}\left(\dfrac{u_n-\sqrt{2}}{2}\right)$.

D'après la questions précédente, $u_n\geqslant \sqrt{2}$, donc $\dfrac{u_n-\sqrt{2}}{2}\geqslant 0$.

On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant \dfrac{1}{2}\left(u_n-\sqrt{2}\right)}}$.

\item %En déduire, par récurrence, que pour tout entier $n\in\mathbb{N}$,  $0<u_n-\sqrt{2}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(u_0-\sqrt{2}\right)$.
Montrons, par récurrence, que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $0<u_n-\sqrt{2}\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(u_0-\sqrt{2}\right)$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : pour $n=0$, $0<u_0-\sqrt{2}$ et $u_n-\sqrt{2}=u_0-\sqrt{2}$ et $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(u_0-\sqrt{2}\right)=u_0-\sqrt{2}$ donc la propriété est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que  : $0<u_n-\sqrt{2}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(u_0-\sqrt{2}\right)$.

D'après la question précédente, $u_{n+1}-\sqrt{2}=f\left(u_n\right)-f\left(\sqrt{2}\right)\geqslant u_n-\sqrt{2}$ puisque $f$ est croisante sur $\left[\sqrt{2}~;~\dfrac{3}{2}\right]$ et $u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant \dfrac{1}{2}\left(u_n-\sqrt{2}\right)\leqslant \dfrac{1}{2}\times \left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(u_0-\sqrt{2}\right)\right]=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\left(u_0-\sqrt{2}\right)$.

La propriété est héréditaire
\end{enumerate}

On en déduit que la propriété est vraie pour tout $n$.

\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(u_0-\sqrt{2}\right)=0$.

D'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème des gendarmes}}, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(u_n-\sqrt{2}\right)=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\sqrt{2}}}$

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2014}}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par 

\[u_{0} = 0\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n +2.\]
 
\begin{enumerate}
\item $u_{1}=u_0=2\times 0+2=\boxed{\textcolor{red}{2}}$ et $u_{2}=u_1+2\times 1+2=\boxed{\textcolor{red}{6}}$. 

(vérifier les réponses avec le tableau fourni plus loin !)

\item \textbf{Le second affiche en sortie la valeur de $u_{n}$}, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur. 
\item \'Etude de la suite $\left(u_{n}\right)$:

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ semble être croissante.
		 
Démonstration :
\[
u_{n+1}-u_n=u_{n} + 2n +2-u_n=\boxed{\textcolor{red}{2n+2>0}}\ \text{pour tout}\: n\ \text{naturel}
\]
\item La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} = an^2 + bn + c$.
		 
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
u_0=a\times 0^2+b\times 0+c=0\\
u_1=a\times 1^2+b\times 1+c=2\\
u_2=a\times 2^2+b\times 2+c=6
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
a+b=2\\
4a+2b=6\\
c=0
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
a+b=2\\
2a+b=3\\
c=0
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
a=1\\
b=1\\
c=0
\end{array}\right.
\] 
\end{enumerate}
\item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} - u_{n}=2n+2$. 
	\begin{enumerate}
		\item C'est une suite \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}} de raison $r=2$ et de premier terme $v_0=2$. 
		\item On définit, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. 
\[
S_n=\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}=(n+1)v_0+\frac{n(n+1)}{2}\times r=2(n+1)+n(n+1)=\boxed{\textcolor{red}{(n+1)(n+2)}}\]
Autre façon : $S_n=(n+1)\left(\dfrac{v_0+v_n}{2}\right)=(n+1)\left(\dfrac{2+2n+2}{2}\right)=(n+1)\dfrac{2(n+2)}{2}=\boxed{\textcolor{red}{(n+1)(n+2)}}$
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = u_{n+1} - u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
\[
S_n=(\cancel{u_1}-u_0)+(\cancel{u_2}-\cancel{u_1})+\cdots + (\cancel{u_n}-\cancel{u_{n-1}})+(u_{n+1}-\cancel{u_n})=u_{n+1}-u_0
\]
\[
S_{n-1}=u_n-u_0\Longleftrightarrow u_n=S_{n-1}+u_0=n(n+1)+0=n(n+1)
\]
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=n(n+1)}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  