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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur les suites (2)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Exercice de type bac}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$. 

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $f$.

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$  définie par : $\begin{cases}u_0=\dfrac{3}{2}\\u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{cases}$.  

\begin{enumerate}
\item Calculer  $u_1$ et $u_2$ (donner les résultats sous forme de fractions irréductibles, puis sous forme décimales arrondies à $10^{-2}$ près).

\item Démontrer, par récurrence, que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a : $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{3}{2}$.

\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant \dfrac{1}{2}\left(u_n-\sqrt{2}\right)$.

\item En déduire, par récurrence, que pour tout entier $n\in\mathbb{N}$,  $0<u_n-\sqrt{2}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(u_0-\sqrt{2}\right)$.

\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2014}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par 

\[u_{0} = 0\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n + 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
\item On considère les deux algorithmes suivants :\index{algorithme} 

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\textbf{Algorithme 1}&	\\
\hline
\textbf{Variables :}& 	$n$ est un entier naturel\\
\hline
&$u$ est un réel \\ \hline
\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$\\
\hline
\textbf{Traitement :}& 	$u$ prend la valeur 0\\
\hline
 &Pour $i$ allant de $1$ à $n$ \\
\hline
&$u$ prend la valeur $u + 2i + 2$\\
\hline
& Fin Pour\\
\hline
\textbf{Sortie :}& 	Afficher $u$\\
\hline
\end{tabularx}
 
\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\textbf{Algorithme 2}&\\
\hline
\textbf{Variables :}& 	$n$ est un entier naturel\\
\hline
&$u$ est un réel \\
\hline
\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$\\
\hline
\textbf{Traitement :}& 	$u$ prend la valeur $0$\\
\hline
&Pour $i$ allant de $0$ à $n - 1$ :\\
\hline
&$u$ prend la valeur $u + 2i + 2$\\
\hline
&Fin Pour\\
\hline
\textbf{Sortie :}& 	Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip
 
De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur ? 
\item À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
$u_n$&0&2&6&12&20&30&42&56\\
\hline

\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\hline
n&8&9&10&11&12\\
\hline
$u_n$&72&90&110&132&156\\
\hline
\end{tabularx}

%$\begin{array}{|c|c|}\hline
%n &u_{n}\\ \hline 
%0& 0  \\ \hline 
%1& 2  \\ \hline  
%2& 6  \\ \hline  
%3& 12 \\ \hline  
%4& 20 \\ \hline  
%5& 30 \\ \hline  
%6& 42 \\ \hline  
%7& 56 \\ \hline  
%8& 72 \\ \hline  
%9& 90 \\ \hline  
%10& 110\\ \hline  
%11& 132\\ \hline  
%12& 156\\ \hline
%\end{array}$

\bigskip

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.025cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(13,170)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(13,170)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,170)}
\multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0)(1,2)(2,6)(3,12)(4,20)(5,30)  (6,42)  (7,56)  (8,72)  (9,90)  (10,110)(11,132)(12,156)
\end{pspicture}

\medskip 




	\begin{enumerate}
		\item Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		 
Démontrer cette conjecture. 
		\item La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} = an^2 + bn + c$.
		 
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l'aide des informations fournies. 
	\end{enumerate}
\item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : \[v_{n} = u_{n+1} - u_{n}. \]
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
		\item On définit, pour tout entier naturel $n$,\[S_{n} =\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}. \]

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\[S_{n} = (n + 1)(n + 2). \]
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[S_{n} = u_{n+1} - u_{0},\] puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  

