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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Devoir surveillé en TS1-TS2 et TS3 (31 mars 2018)}}\end{center}


\subsection{}%Liban mai 2014
On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$:\index{complexes et suite}

\[z_{n+1} = (1 + \mathrm{i})z_n.\]

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$.
\item Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.\index{suite géométrique}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$.

Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$.
\begin{center}\index{algorithme}
\fbox{
\begin{tabular}{lcl}
\textbf{Variables}&: &$u$ est un réel\\
&&$p$ est un réel\\
&& $n$ est un entier\\
\textbf{Initialisation}&:& Affecter à $n$ la valeur 0\\
&& Affecter à $u$ la valeur 2\\
\textbf{Entrée}&:&  Demander la valeur de $p$ \\
\textbf{Traitement}&:&\\
\\
\textbf{Sortie}&:& \\
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
\item Déterminer la forme trigonométrique de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$.

En déduire la forme trigonométrique de $z_1$.

\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{}%Antilles-Guyane septembre 2015
Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]40\,\% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ;
\item[$\bullet~~$]25\,\% des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de \og pur jus \fg{} est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle [0~;~1].

Par ailleurs, 20\,\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg.

On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :\index{probabilités}

$R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;

$J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de \og pur jus \fg.

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.\index{arbre de probabilités}
\item Déterminer la valeur exacte de $x$.
\item Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de \og pur jus \fg.

Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip

Afin d'avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des $500$ dernières bouteilles de jus de fruits vendues.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de \og pur jus \fg{} dans ce lot.

On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces $500$ bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On en donnera les paramètres.\index{loi binomiale}
\item Déterminer la probabilité pour qu'au moins 75 bouteilles de cet échantillon de $500$ bouteilles soient de \og pur jus \fg. On arrondira le résultat au millième.

\item Quelle est l'espérance de $X$?

Que peut-on en déduire ?
\end{enumerate}


%\newpage


\subsection{}%Antilles-Guyane juin 2016
\begin{multicols}{2}
$ABCDEFGH$ est un cube d'arête égale à~1.\\
L'espace est muni du repère orthonormé $(D~;\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DH})$.

\smallskip

Dans ce repère, on a:\\
$D(0~;~0~;~0)$, $C(1~;~0~;~0)$, $A(0~;~1~;~0)$,\\
$H(0~;~0~;~1)$ et $E(0~;~1~;~1)$.\index{géométrie dans l'espace}

\smallskip

Soit $I$ le milieu de $[AB]$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5.1,5.1)
\psset{PointSymbol=*}
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=180](0,3){G}
\pstGeonode[PosAngle=-135](3,3){F}
\pstGeonode[PosAngle=180](1.2,1){D}
\pstTranslation[PosAngle=10]{C}{D}{B}[A]
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{D}{G}[H]
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{D}{F}[E]
\pstMiddleAB[PosAngle=-100]{C}{B}{J}
\pstMiddleAB{A}{B}{I}
\pstMiddleAB[PosAngle=10]{A}{E}{N}
\pstMiddleAB[PosAngle=90]{E}{H}{M}
\pstMiddleAB[PosAngle=135]{H}{G}{L}
\pstMiddleAB[PosAngle=180]{G}{C}{K}
\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=lightgray](L)(M)(N)(I)(J)(K)(L)
\psline(C)(B)(A)(E)(H)(G)(C)
\psline(G)(F)(E)(F)(B)
\psline[linestyle=dashed](C)(D)(A)(D)(H)
\psline(K)(J)
\psline(I)(N)
\psline(L)(M)
\psline[linestyle=dashed](L)(K)
\psline[linestyle=dashed](M)(N)
\psline[linestyle=dashed](J)(I)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
Soit $\mathcal{P}$ le plan parallèle au plan $(BGE)$ et passant par le point $I$.

\smallskip

On admet que la section du cube par le plan $\mathcal{P}$ représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, et $N$ appartiennent respectivement aux arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CG]$, $[GH]$, $[HE]$ et $[AE]$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
Montrer que le vecteur $\overrightarrow{DF}$ est normal au plan $(BGE)$.
\item En déduire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
\item Montrer que le point $N$ est le milieu du segment $[AE]$.
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HB)$.
\item En déduire que la droite $(HB)$ et le plan $\mathcal{P}$ son sécants en un point $T$ dont on précisera les coordonnées.
\end{enumerate}
\item Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre $FBGE$.
\end{enumerate}


%\newpage


\subsection{}%Polynésie juin 2016
\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

Voici deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d'alcool dans le sang (taux d'alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d'alcool. L'instant $t = 0$ correspond au moment où les deux individus ingèrent l'alcool.

$C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure.

\emph{Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps}

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.5)(6.5,1.75)
\psaxes[linewidth=.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(6.5,1.75)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2 x mul 2.71828 x exp div}
\uput[u](1.5,1){$\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{3 x mul 2.71828 x exp div}\uput[u](1.5,0.65){\blue $\mathcal{C}_2$}
\uput[u](6.25,0){$t$}\uput[r](0,1.65){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La fonction $C$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $C'$ sa fonction dérivée. À un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d'apparition d'alcool dans le sang est donnée par $C'(t)$.

À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?

\emph{On dit souvent qu'une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l'alcool.}
\item Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus
corpulente. Justifier le choix effectué.
\item Une personne à jeun absorbe de l'alcool. On admet que la concentration $C$ d'alcool
dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = A t\text{e}^{-t}\]\index{fonction exponentielle}

où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d'alcool
absorbée.
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
		\item L'affirmation suivante est-elle vraie ?
		
\og À quantité d'alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente. \fg
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B - Un cas particulier}}

\medskip

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de
rhum. La concentration $C$ d'alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé
en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = 2 t\text{e}^{-t}.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item À quel instant la concentration d'alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à $10^{-2}$ près.
\item Rappeler la limite de $\dfrac{\text{e}^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle
que la législation autorise une concentration maximale d'alcool dans le sang de $0,2$~g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que 
		
$f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$.
		\item Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant
en toute légalité ?
		
Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
	\end{enumerate}
\item La concentration minimale d'alcool détectable dans le sang est estimée à 
	
$5 \times 10^{-3}$~g.L$^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un instant $T$ à partir duquel la concentration d'alcool dans le sang n'est plus détectable.
		\item On donne l'algorithme suivant où $f$ est la fonction définie par 
		
$f(t) = 2 t\text{e}^{-t}$.\index{algorithme}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Initialisation} :	& $t$ prend la valeur $3,5$\\
							&$p$ prend la valeur $0,25$\\
							&$C$ prend la valeur $0,21$\\
\textbf{Traitement} :		& Tant que $C > 5 \times 10^{-3}$ faire :\\
							&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
								$t$ prend la valeur $t + p$\\
								$C$ prend la valeur $f(t)$
							\end{tabular}\\
							&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}:			&Afficher $t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme.
		
Arrondir les valeurs à $10^{-2}$ près.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
	&Initialisation &Étape 1& Étape 2\\ \hline
$p$	&0,25		&			&\\ \hline
$t$	&3,5		&			&\\ \hline
$C$	&0,21		&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  