\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage{paralist}
\usepackage{tabto}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur les suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie novembre 2016}}
Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à \numprint{10000} le nombre de ses abeilles.

Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20\,\% des abeilles de l'année précédente.

Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera $c$ ce nombre
exprimé en dizaines de milliers.

On note $u_0$ le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a

\[u_0 = 1\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+ 1} = 0,8u_n + c.\]\index{suite}

\textbf{Partie A}

\medskip

On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$.\index{récurrence}
\item Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse.

Interpréter ces deux résultats.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers \numprint{100000}.

On cherche à déterminer la valeur de $c$ qui permet d'atteindre cet objectif.

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: v_n = u_n - 5c$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire une expression du terme général de la suite $\left(v_n\right)$en fonction de $n$.
\item Déterminer la valeur de $c$ pour que l'apiculteur atteigne son objectif.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2014}}
Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ par \index{suite}

\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_{0}& =& 2\\ 
\text{et pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} &=& \dfrac{1}{5} u_{n} + 3 \times 0,5^n.
\end{array}\right.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et, à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ approchées à $10^{-2}$ près: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline 
$u_{n}$&2&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
		\item D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a 
		
		\[u_{n} \geqslant  \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.\] 
 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} - u_{n} \leqslant  0$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate} 
\item \emph{On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite } \:$\left(u_{n}\right)$.
 
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_{n} = u_{n} - 10 \times  0,5^n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le  
premier terme de la suite $\left(v_{n}\right)$. \index{suite géométrique}
		\item En déduire, que pour tout entier naturel $n$,
 
\[u_{n} = - 8 \times  \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times  0,5^n.\]
 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant, afin qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} \leqslant  0,01$.
\index{algorithme}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|} \hline
\textbf{Entrée :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ 
\textbf{Initialisation :}& $n$ prend la valeur 0\\
& $u$ prend la valeur 2\\  
\textbf{Traitement :}&Tant que ...\hfill (1)\\  
	&\hspace{0,5cm} $n$ prend la valeur ... 	\hfill(2)\\ 
	&\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur ... 	\hfill(3)\\ 
&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}&Afficher $n$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  