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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur la fonction exponentielle (1)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Simplifier les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[$A=$]
\item $\mathrm{e}^x\mathrm{e}^{-x}$

\item $\mathrm{e}\mathrm{e}^x$

\item $(\mathrm{e}^{-x})^2$

\item $D=\frac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{2-x}}$

\item $\frac{(\mathrm{e}^x)^3}{\mathrm{e}^{2x}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $e^{-x}=-1$

\item $e^{3x+1}=\sqrt{\mathrm{e}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les inéquations suivantes :
$e^{x^2-2}\leqslant \frac{1}{e^x}$

\subsection{}%Pixel page 115 \no 69
On appelle $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=2\mathrm{e}^{-x}+2x-4.\]
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=2x-4$ est asymptote à $\mathscr{C}$.\\
Étudier la position relative de $\mathscr{C}$ et de $\Delta$.

\item Calculer la dérivée de $f$ et étudier les variations de $f$. Donner son tableau de variations.

\item Tracer la courbe $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x)=x\mathrm{e}^{-2x}+x-1.\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f'(x)>1$.

\item Étudier le sens de variation de la fonction $f'$.

\item Calculer $f'(1)$  ; en déduire le signe de $f'(x)$.
\end{enumerate}

\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0~;~2]$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

\end{enumerate}


\end{multicols}


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%\subsection{}
%Simplifier les expressions suivantes :
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%\begin{enumerate}[$A=$]
%\item $\mathrm{e}^x\mathrm{e}^{-x}$
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%\item $\mathrm{e}\mathrm{e}^x$
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%\item $(\mathrm{e}^{-x})^2$
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%\item $D=\frac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{2-x}}$
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%\item $\frac{(\mathrm{e}^x)^3}{\mathrm{e}^{2x}}$
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%\subsection{}
%Résoudre les équations suivantes :
%\begin{enumerate}
%\item $e^{-x}=-1$
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%\item $e^{3x+1}=\sqrt{\mathrm{e}}$
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%\subsection{}
%Résoudre les inéquations suivantes :
%$e^{x^2-2}\leqslant \frac{1}{e^x}$
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%\subsection{}%Pixel page 115 \no 69
%On appelle $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=2\mathrm{e}^{-x}+2x-4.\]
%On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative.
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
%
%\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=2x-4$ est asymptote à $\mathscr{C}$.\\
%Étudier la position relative de $\mathscr{C}$ et de $\Delta$.
%
%\item Calculer la dérivée de $f$ et étudier les variations de $f$. Donner son tableau de variations.
%
%\item Tracer la courbe $\mathscr{C}$.
%\end{enumerate}
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%\subsection{}
%Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x)=x\mathrm{e}^{-2x}+x-1.\]
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%\begin{enumerate}
%\item Déterminer $f'(x)$.
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%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f'(x)>1$.
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%\item Étudier le sens de variation de la fonction $f'$.
%
%\item Calculer $f'(1)$  ; en déduire le signe de $f'(x)$.
%\end{enumerate}
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%\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0~;~2]$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
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\label{fin}
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