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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur la fonction $\ln$}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban juin 2017}}
L'épicéa commun est une espèce d'arbre résineux qui peut mesurer jusqu'à 40 mètres de hauteur et vivre plus de $150$~ans.

L'objectif de cet exercice est d'estimer l'âge et la hauteur d'un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.

\bigskip

\textbf{Partie A - Modélisation de l'âge d'un épicéa}

\medskip

Pour un épicéa dont l'âge est compris entre $20$ et $120$~ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$~m du sol par la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~1[ par :\index{fonction logarithme}

\[f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1 - x}\right)\] 

où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l'âge en années.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle ]0~;~1[.
\item Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l'âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c'est-à-dire compris entre $20$ et $120$~ans.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d'arbres âgés de $50$ à $150$~ans. Le tableau suivant, réalisé à l'aide d'un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d'un épicéa.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\scriptsize}m{2.5cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F	&G &H &I&J&K &L&M\\ \hline
1&Âges (en années)&50 &70 &80 &85 &90 &95 &100 &105 &110 &120 &130 &150\\ \hline
2&Hauteurs (en mètres) &11,2 &15,6 &18,05 &19,3 &20,55 &21,8 &23 &24,2 &25,4 &27,6 &29,65 &33\\ \hline
3&Vitesse de croissance (en mètres par année)&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} &0,22 &0,245 &0,25&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule D3.
		\item Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ?
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la hauteur attendue d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$~m du sol vaut $27$~cm.
\item La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un intervalle d'âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.
		\item Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$~cm ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2017}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l'exercice est d'étudier l'équation \index{fonction logarithme}

\[\left(E_n\right) : \qquad  \dfrac{\ln (x)}{x}  = \dfrac{1}{n}\] 

ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif $x$. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) =  \dfrac{\ln (x)}{x}.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 

On a donné en ANNEXE, qui n'est pas à rendre, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$  de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$. 
\item Déterminer son maximum. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $n \geqslant 3$, l'équation $f(x) = \dfrac{1}{n}$ possède une unique solution sur [1~;~e] notée $\alpha_n$.  
\item D'après ce qui précède, pour tout entier $n \geqslant 3$, le nombre réel $\alpha_n$ est solution de l'équation $\left(E_n\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique sont tracées les droites $D_3$, $D_4$ et $D_5$ d'équations respectives $y= \dfrac{1}{3}$, $y= \dfrac{1}{4}$, \\
		$y= \dfrac{1}{5}$. 

Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(a_n\right)$. 
		\item Comparer, pour tout entier $n \geqslant  3$, $f\left(\alpha_n\right)$ et $f\left(\alpha_{n+1}\right)$. 

Déterminer le sens de variation de la suite $\left(\alpha_n\right)$. 
		\item En déduire que la suite $\left(\alpha_n\right)$ converge. \index{suite}

\emph{Il n'est pas demandé de calculer sa limite.} 
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier $n \geqslant 3$, l'équation $\left(E_n\right)$ possède une autre solution $\beta_n$ telle que 

\[1 \leqslant \alpha_n \leqslant \text{e} \leqslant \beta_n.\] 

	\begin{enumerate}
		\item On admet que la suite $\left(\beta_n\right)$ est croissante. 

Établir que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3,

\[\beta_n \geqslant n\dfrac{\beta_3}{3}.\] 

		\item En déduire la limite de la suite $\left(\beta_n\right)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\end{multicols}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\medskip 


\psset{xunit=0.75cm,yunit=20cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2,-0.15)(14,0.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-2,-0.15)(14,0.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(14,0.4)
\psline(-2,0.2)(14,0.2)
\psline(-2,0.25)(14,0.25)
\psline(-2,0.333)(14,0.333)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.8}{14}{x ln x div}
\uput[r](1,-0.1){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}  