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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices du bac sur l'intégration}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2017}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1,
\[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par
\[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$.

Interpréter graphiquement ce résultat.
\item  Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2],  on a

\[0 \leqslant  \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]

\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a

\[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 -  \dfrac{1}{2^n}\right).\]

\item  Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\index{limite de suite}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2014 }}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} + x - 3.\]\index{fonction exponentielle}
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 3$  dans un repère orthogonal du plan.

\medskip
 
\textcolor{red}{\textbf{Partie A : Positions relatives de \boldmath$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{D}$\unboldmath}}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = f(x) - (x - 3)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \:$g(x) > 0$. 
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ ont-elles un point commun ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textcolor{red}{\textbf{Partie B : Étude de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath}

\medskip
 
On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$,  $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathcal{D}$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, la distance $MN$ est égale à $g(x)$. 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
 
Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $g'(x)$. 
\item Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ que l'on déterminera.
 
En donner une interprétation graphique.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textcolor{red}{\textbf{Partie C : Étude d'une aire}}

\medskip
 
On considère la fonction $\mathcal{A}$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le graphique donné en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} le domaine dont l'aire est donnée par $\mathcal{A}(2)$. \index{aire et intégrale}
\item Justifier que la fonction $\mathcal{A}$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
\item Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $\mathcal{A}(x)$. 
\item Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $\mathcal{A}(x) = 2$ ? 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2014}}
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1.
 
On note $f_{n}$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par 

\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}.\] 

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on définit le nombre $I_{n}$ par 

\[I_{n} = \int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^n}\:\text{d}x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item 

Les représentations graphiques de certaines fonctions $f_{n}$ obtenues à l'aide d'un logiciel sont tracées ci-après. 

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1.1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1)
\uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 1 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 2 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 3 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 4 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 5 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 10 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 50 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 200 exp 1 add div}
\uput[d](0.3,0.77){$f_{1}$}
\uput[d](0.4,0.86){$f_{2}$}
\uput[d](0.5,0.9){$f_{3}$}
\uput[l](0.96,0.9){$f_{50}$}
\uput[r](0.98,0.93){$f_{200}$}

\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}
\index{intégrales}
En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite $\left(I_{n}\right)$ l'existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item Calculer la valeur exacte de $I_{1}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 

\[\dfrac{1}{1 + x^n} \leqslant 1.\] 

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $I_{n} \leqslant 1$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 
 
\[1 - x^n \leqslant \dfrac{1}{1 + x^n}.\] 

\item  Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 - x^n\right)\:\text{d}x$. 
\item À l'aide des questions précédentes, démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. 
\columnbreak
\item On considère l'algorithme suivant :
\index{algorithme}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\textbf{Variables :}&  $n,\:p$ et $k$ sont des entiers naturels\\
					& $x$ et $I$ sont des réels\\
					&\\ 
\textbf{Initialisation :}& $I$ prend la valeur $0$\\
					&\\ 
\textbf{Traitement :}& 	Demander un entier $n \geqslant 1$\\
					& Demander un entier $p \geqslant 1$\\ 
					&Pour $k$ allant de 0 à $p - 1$ faire :\\ 
					&\hspace{0,5cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{k}{p}$\\ 
					&\hspace{0,5cm} $I$ prend la valeur $I + \dfrac{1}{1 + x^n} \times \dfrac{1}{p}$\\ 
					&Fin Pour \\
					&Afficher $I$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithme si l'on entre les valeurs $n = 2$ et $p = 5$ ?
		 
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme. Les valeurs de $I$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$k$& $x$&$I$\\ \hline 
0&&\\ \hline
&&\\ \hline
&&\\ \hline
&&\\ \hline
4&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item Expliquer pourquoi cet algorithme permet d'approcher l'intégrale $I_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  