\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\fbox{\colorbox{yellow!40}{\textcolor{red}{LOIS DE PROBABILITÉS CONTINUES}}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents


\vspace{1cm}
Dans ce chapitre, on va s'intéresser aux variables aléatoires X qui prennent leurs valeurs dans un intervalle.

\subsection{\textcolor{red}{Densité et loi de probabilité}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Densité de probabilité}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $I$ un intervalle. On appelle densité de probabilité sur $I$ toute fonction $f$ \textbf{continue}, sauf éventuellement en un nomnbre fini de valeurs,  et \textbf{positive} sur $I$ telle que :
\[\int_If(x)\text({ d}x=1\]
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarques :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item Si $I = [a, b]$, alors la quantité notée $\int_If(x)\text{ d}x$ désigne simplement $\int_a^bf(x)\text{ d}x$.

\item Si $I$ est un intervalle non borné, par exemple $[a~;~+\infty[$, alors la quantité notée $\int_If(x)\text{ d}x$ désigne, lorsqu'elle existe, la limite suivante:\\
\[\int_If(x)\text{ d}x=\lim_{b\rightarrow+\infty}\int_a^bf(x)\text{ d}x.\]
Si $I$ est du type $]-\infty~;~ a[$ : \[\int_If(x)\text{ d}x=\lim_{b\rightarrow-\infty}\int_b^af(x)\text{ d}x.\]
Enfin, si $I =\mathbb{R}$, alors la quantité notée $\int_If(x)\text{ d}x$ désigne, lorsqu'elles existent, la somme des deux limites suivantes :
\[\int_If(x)\text{ d}x=\lim_{b\rightarrow-\infty}\int_b^0f(x)\text{ d}x+\lim_{b\rightarrow+\infty}\int_0^bf(x)\text{ d}x.\]

\item $\int_If(x)\text{ d}x$ représente l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses pour $x$ appartenant à $I$
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f:x\mapsto \dfrac{1}{5}$ sur [2~;~7]
\begin{center}

\psset{xunit=1.0cm,yunit=5.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(8,0.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-0.5)(8,0.5)
\pscustom[fillstyle=vlines,opacity=0.1]{\psplot{2}{7}{0.2}\lineto(7,0)\lineto(2,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{2.0}{7.0}{0.2}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](4.41,0.04){$\mathscr{A} = 1$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
%
\item Soit $f:x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}2}$ sur $\mathbb{R}$.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=5.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-0.2)(4,0.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-0.2)(4,0.5)
\pscustom[fillstyle=vlines,opacity=0.1]{\psplot{-4}{4}{EXP((-x^2)/2)/sqrt(2*PI)}{\psplot{4}{-4}{0}}}
\psplot[plotpoints=200]{-5.915268114549296}{11.949882942990774}{EXP((-x^2)/2)/sqrt(2*PI)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](2.93,0.04){\zzttqq{$a = 1$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item Déterminer un réel $a$ de façon que la fonction $f$ définie sur [0, 1] par $f(x) = x + \alpha$ soit une densité de
probabilité sur $[0, 1]$.\\
On cherche a tel que : $\int_0^1(x+\alpha)\text{ d}x=1$\\
$\int_0^1(x+\alpha)\text{ d}x=1\Leftrightarrow \left[\frac{x^2}2+\alpha x\right]_0^1=1\Leftrightarrow \frac12+\alpha=1\Leftrightarrow \alpha=\frac12$.

\vspace{0,5cm}
\item Soit f une fonction constante sur un intervalle [a, b] (avec a < b). Quelle doit être la valeur de la constante $\gamma$
pour qu'elle soit une densité ?\\
On trouve : $\gamma (b-a)=1$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\gamma=\frac1{b-a}}}$.

\vspace{0,5cm}
\item  Soit $\lambda$ un réel strictement positif. Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) =\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }t<0\\ \lambda e^{-\lambda t}\text{ si }t\geqslant 0\end{array}\right.$ est une densité de probabilité sur $\mathbb{R}$.

$f$ est bien continue (sauf en 0) et positive.

Calculons :$\int_0^af(t)\text{ d}t=\int_0^a\lambda e^{-\lambda t}\text{ d}t=\lambda\left[-\frac{e^{-\lambda t}}{\lambda}\right]_0^a=1-e^{-\lambda a}$ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}(1-e^{-\lambda a})=1$.

On en déduit que $f$ est bien une densité sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Probabilité d'un événement}}

\begin{minipage}{18cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\Omega$ l'univers d'une expérience aléatoire et $X$ une variable aléatoire définie sur $\Omega$, continue, de densité $f$.\\
La probabilité de l'événement $\{X\in J\}$ où $J$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ est définie comme l'aire du domaine défini par $x\in J$ et $0\leqslant y\leqslant f(x)$.
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\noindent En effet, cette définition est légitime car on a : $P(I) = 1$ et on peut montrer que l'on retrouve toutes les propriétés requises pour définir une probabilité.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Remarques :}}\\
$\bullet$ Puisque $[a, b]$ est inclus dans $I$ et que $f$ est positive sur $I$, on bien $P([a, b])\in [0, 1]$.\\\\
$\bullet$  La probabilité d'un singleton $\{x_0\}$ (ou intervalle réduit à un point) est nulle. En effet :\\
$P({x_0}) =\int_{x_0}^{x_0}f(t)\text{ d}t=0$.\\
On dit alors que ${x_0}$ est un événement "quasi-impossible".\\\\
$\bullet$ La définition s'étend à des intervalles non bornés lorsque la limite de l'intégrale existe.\\

\textbf{\textcolor{red}{Cas particuliers :}}\\
$\bullet$ Si $f$ est constante sur $[a, b]$ (égale à $\frac1{b-a}$ d'après un calcul précédent), on dit que $P$ est la \textbf{\textcolor{blue}{loi uniforme}}.\\\\
$\bullet$ Si $f$ est de la forme $f(t) =\lambda e^{-\lambda t}$  sur $\mathbb{R}^+$ avec $\lambda > 0$, on dit que $P$ est la \textbf{\textcolor{blue}{loi exponentielle}} de paramètre $\lambda$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Fonction de répartition}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $X$ une variable aléatoire continue de densité $f$ dont la courbe représentative est $\mathscr{C}_{f}$.\\
La fonction de répartition associée à la variable aléatoire $X$ est la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[F(x)=P(X\leqslant x)=P(X\in]-\infty~;~x]).\]
\end{bclogo}


\newpage


\textbf{\textcolor{red}{Illustration graphique :}}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=20cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-0.05)(10,0.22)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.05,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,0.05)(10,0.22)
\psplot[plotpoints=500]{-4.0}{10.0}{EXP((-(x-4)^(2))/(2^(2)*2))/(abs(2)*sqrt(PI*2))}
\pscustom[fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=0]{\psplot[plotpoints=500]{-100}{2.35}{EXP((-(x-4)^(2))/(2^(2)*2))/(abs(2)*sqrt(PI*2))}\lineto(2.35,0)\lineto(-100,0)\closepath}
\psline(2.35,0.05)(2.35,0.22)
\psline(0,0)(0,0.2)
\rput[tl](1.21,0.05){F(x)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-2.26,-0.01){$f$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](2.35,0)
\uput[d](2.35,0){$x$}
\rput[bl](-2.59,0.01){\zzttqq{$b = 0.2$}}
\uput[ul](0,0){O}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{center}
$F(x)$ correspond à l'aire comprise entre la courbe représentative de la densité, l'axe des abscisses et pour une abscisses inférieure à $x$.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Remarques :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Comme $P(X=x)=0$, $P(X\leqslant x)=P(X<x)$.

\item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $0\leqslant F(x)\leqslant 1$.

\item $F$ est continue et croissante sur $\mathbb{R}$.\\
La continuité vient de la définition sous forme d'intégrale et la croissance vient de la définition comme une aire.

\item F est une primitive de $f$ où $f$ est la fonction densité.

\item \textbf{\textcolor{red}{Interprétation d'une probabilité à l'aide de $\mathbf{F}$ :} }

\bigskip

\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$P(X\leqslant b)=P(X<b)=F(b)$.

\medskip

$P(X\geqslant b)=P(X>b)=1-F(b)$

\medskip


$P(a\leqslant X\leqslant b)=F(b)-F(a)$

\end{bclogo}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Espérance}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $X$ une variable aléatoire associée à une fonction densité $f$ définie sur un intervalle $I$.\\
L'espérance de $X$ est $E(X)=\int_Ixf(x)\text{ d}x$.\\
La variance est $V(X)=E\left(X^2\right)-\left[E(X)\right]^2=\int_Ix^2f(x)\text{ d}x-\left[E(X)\right]^2$\\
L'écart-type est $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
\end{bclogo}




\subsection{\textcolor{red}{Loi uniforme}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\leqslant b$.\\
On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $[a~;~b]$ signifie que la fonction de densité est constante sur $[a~;~b]$ et nulle ailleurs.\\
Par conséquent : $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{b-a}\text{ si }a\leqslant x\leqslant b\\0\text{ sinon}\end{array}\right.$.\\
On écrit parfois que $X$ suit la loi $\mathscr{U}([a~;~b])$ ou $X\hookrightarrow \mathscr{U}([a~;~b])$.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a\leqslant b$. Soit $X\hookrightarrow\mathscr{U}([a~;~b])$.\\
La fonction de répartition $F$ associée à $X$ est définie par : 
\[F(x)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ si }x\leqslant a\\\dfrac{x-a}{b-a}\text{ si }a\leqslant x\leqslant b\\1\text{ si }x>b\end{array}\right.\]
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Espérance}}
\begin{bclogo}[couleur = blue!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'espérance d'une variable aléatoire associée à une fonction de densité $f$ définie sur un intervalle $I$ est $\int_{I}xf(x)\text{ d}x$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Propriété :}} l'espérance d'une variable aléatoire d'une loi uniforme sur [a~;~b] est : $E(x)=\dfrac{a+b}{2}$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration} :}\\
$E(x)=\int_{a}^{b}\dfrac{x}{b-a}\text{ d}x=\left[\dfrac{x^{2}}{2(b-a)}\right]_{a}^{b}=\dfrac{b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}=\dfrac{a+b}{2}$

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} Dans la journée, un métro passe toutes les 6 minutes à la station \no 14.\\
Soit $X$ le temps d'attente d'une personne à cette station. On suppose que $X$ suit la loi uniforme sur $[0 ; 6]$.\\
Quelle est la probabilité que cette personne attende entre 3 et 5 minutes ?
$P(3\leq X\leq 5) =\frac{5-3}6=\frac13$.

\subsection{\textcolor{red}{Loi exponentielle}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif.\\
Une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ lorsque la fonction de densité associée est $f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ si } x<0\\\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ si }x\geqslant 0\end{array}\right.$
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{minipage}{16cm}\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\lambda >0$.\\
Soit $X$ une variable aléatoire suivant  la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.\\
La fonction de répartition associée est définie par $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&\text{ si }x<0\\1-\mathrm{e}^{-\lambda x}&\text{ si }x\geqslant 0\end{array}\right.$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}  On suppose que la durée de vie $X$ d'une voiture suit une loi exponentielle de paramètre 0,1.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une voiture dépasse 10 ans de durée de vie :\\
$P(X > 10) = 1 - P(X\leq10) = 1 -\int_0^{10}0,1e^{-0,1t}\text{ d}t=\frac1e$.
\item On sait qu'une voiture a duré déjà 10 ans.
Quelle est la probabilité qu'elle dépasse 12 ans de durée de vie ?\\
$P_{X>10}(X>12)=\frac{P(X>12)}{P(X>10)}=\frac{e^{-0,1\times12}}{e^{-0,1\times10}}=e^{-0,2}\approx 0,82$.

\item Comparer le résultat précédent avec la probabilité que la durée de vie de la voiture dépasse deux ans :
$P(X > 2) = 1 - P(X\leq 2) = 1 -\int_0^20,1e^{-0,1t}\text{ d}t=e^{-0,2}\approx 0,82$.
On constate que la probabilité que la voiture dure deux ans de plus ne dépend pas de son ‚ge.\\
\textbf{\textcolor{red}{On dit que X est une loi de durée de vie sans vieillissement}}.\\

Une étude plus systématique de ce phénomène sera faite au paragraphe suivant.
\end{enumerate}





\subsubsection{\textcolor{blue}{Loi de durée de vie sans vieillissement}}


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $T$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie d'un individu ou d'un objet.\\
On dit que $T$ suit la loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité que l'individu (ou l'objet) soit
vivant (ou fonctionne) à l'instant $t + h$ sachant qu'il est vivant (ou qu'il fonctionne) à l'instant $t$ ne dépend pas
de son ‚ge $t$ :
\[P_{(T\geq t)}(T\geq t + h) = P(T\geq h)\]
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} la loi de durée de vie sans vieillissement s'applique-t-elle aux humains ? Non, ce n'est pas un
modèle pertinent à long terme. En effet, un bébé à la naissance peut raisonnablement espérer vivre plusieurs
dizaines d'années alors qu'on ne peut en dire autant d'un vieillard. Le modèle semble plus proche de la réalité
lorsque h est petit. Par exemple la probabilité de vivre encore une minute semble comparable indépendamment
de l'âge. \textbf{Mais cette loi s'applique par exemple plus à des composants électroniques}.

\bigskip
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Une loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement.
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Démonstration :}}\\
Supposons que $T$ suive une loi exponentielle de paramètre $\lambda\in\mathbb{R}^+$.\\
Par définition d'une probabilité conditionnelle, on a : \\
\[P_(T\geq t)(T\geq t + h) = \frac{P((T\geq t+h)\cap(T\geq t))}{P(T\geq t)}\]
Or, l'événement $(T\geq t + h)$ est inclus dans l'événement $(T\geq t)$ donc :
$P((T\geq t + h)\cap (T\geq t)) = P(T\geq t + h) = e^{-\lambda(t+h)}$.\\
Par ailleurs : $P(T\geq t) =e^{-\lambda t}$\\
D'où : $P_{(T\geq t)}(T\geq t + h)=\frac{e^{-\lambda(t+h)}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda h}=P(T\geq h)$.\\

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque :}}\\
La réciproque est vraie : une loi de durée de vie sans vieillissement est une loi exponentielle.\\
La démonstration n'est \textbf{plus au programme}.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Espérance d'une loi exponentielle}}

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ sur $\mathbb{R}^+$.

\bigskip

\begin{minipage}{11cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
L'espérance d'une loi exponentielle est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}

Calculons tout d'abord l'intégrale suivante :\\
$\int_0^xt\lambda e^{-\lambda t}\text{ d}t$.\\
Pour cela, posons $g(t)=t\mathrm{e}^{-\lambda t}$.\\
On a : $g'(t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}-\lambda t\mathrm{e}^{-\lambda t}$.

On en déduit que $\lambda t\mathrm{e}^{-\lambda t}=\mathrm{e}^{-\lambda t}-g'(t)$.\\

Alors : $\int_0^xt\lambda e^{-\lambda t}\text{ d}t=\int_0^x\left[\mathrm{e}^{-\lambda t}-g'(t)\right]\text{ d}t=\left[-\dfrac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda t}\right]_{0}^{x}-\int_{0}^{x}g'(t)\text{ d}t=-\dfrac{1}{\lambda }\left(\mathrm{e}^{-\lambda x}-1\right)-\left(g(x)-g(0)\right)\\
=-\dfrac{1}{\lambda} \left(\mathrm{e}^{-\lambda x}-1\right)-x\mathrm{e}^{-\lambda x}$.\\
On fait alors tendre $x$ vers $+\infty$.\\
$x\mathrm{e}^{-\lambda x}=\dfrac{1}{\lambda}\times \lambda x\mathrm{e}^{-\lambda x}$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[x\mathrm{e}^{-\lambda x}\right]=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[\dfrac{1}{\lambda}\times \lambda x\mathrm{e}^{-\lambda x}\right]=\dfrac{1}{\lambda}\times \lim_{X\rightarrow +\infty}X\mathrm{e}^{-X}=0$ (croissances comparées)\\
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{E(X)=\dfrac{1}{\lambda}}}$.

\subsection{\textcolor{red}{Loi normale}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Loi normale centrée réduite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite si et seulement si sa densité $f$ est définie par la fonction $f:x\mapsto f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}2}$.\\
La loi normale centrée réduite se note $\mathscr{N}(0~;~1)$.\\
0 est l'espérance $\mu$ et 1 est le carré de l'écart-type $\sigma$ donc $\sigma^2=1$, d'où $\sigma=1$
\end{bclogo}
%
\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème de \og{}De Moivre-Laplace\fg{} (admis)}}
Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $p$ un nombre réel fixé de ]0~;~1[.\\
Soit $X_{n}$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$.\\
Pour chaque valeur de $n$, l'espérance est $E\left(X_{n}\right)=np$ et l'écart-type $\sigma\left(X_{n}\right)=\sqrt{npq}=\sqrt{np(1-p)}$.\\
Pour chaque $n$, on pose $Z_{n}=\dfrac{X_{n}-np}{\sqrt{np(1-x)}}$.\\
Pour tous nombres $a$ et $b$ avec $a<b$ :
\[\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(a\leqslant Z_{n}\leqslant b\right)=\int_{a}^{b}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}2}.\]
\end{bclogo}

\bigskip

Ce théorème montre que l'on peut approximer une loi binomiale par la loi normale.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tout réel $\alpha$ de $[0~;~1[$, il existe un réel $u_{\alpha}$ tel que \[P\left(-u_{\alpha}\leqslant X\leqslant u_{\alpha}\right)=1-\alpha\]
où $X$ désigne une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
\end{bclogo} 

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Illustration graphique :}}

\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-0.1)(6,0.45)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1.66}{1.66}{EXP((-(x)^(2))/(1^(2)*2))/(abs(1)*sqrt(PI*2))}\lineto(1.66,0)\lineto(-1.66,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-6.0}{12.420000000000005}{EXP((-(x)^(2))/(1^(2)*2))/(abs(1)*sqrt(PI*2))}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-0.02)(12.42,0.45)
\begin{scriptsize}
%\rput[bl](-8.68,-0.01){$f$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](1.66,0)
%\uput[d](-1.66,0){$-u_{\alpha}$}
%\uput[d](1.66,0){$u_{\alpha}$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.66,0)
\uput[d](-1.66,0){$-u_\alpha$}
\uput[d](1.66,0){$u_\alpha$}
%\rput[bl](-0.12,0.01){\zzttqq{$a = 0.9$}}
\rput[tl](2.76,0.32){$\text{Aire} = 1-\alpha$}
\psline{->}(2.55,0.3)(0.56,0.31)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
Soit $\alpha\in]0~;~1[$.\\
$X$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc on peut définir la fonction $F:x\mapsto\int_{0}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}2}$.\\
Cette fonction est la primitive de la fonction $f$ qui s'annule en 0 ; elle est continue et strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)=\dfrac{1}{2}$ car $f$ est paire et $\int_{\mathbb{R}}f(x)\text{ d}x=1$.\\
$0<\dfrac{1-\alpha}{2}<\dfrac{1}{2}$.\\
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel $u_{n}$ tel que $F\left(u_{n}\right)=\dfrac{1-\alpha}{2}$.\\
Par parité de $f$ et linéarité de l'intégrale, on en déduit le résultat.\\

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} Les primitives de la fonction de Gauss $f:x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}2}$. ne peuvent pas s'exprimer pas à l'aide de fonctions usuelles.

On ne peut donc pas calculer de valeur exacte de l'intégrale donc pas de valeur exacte de $u_{\alpha}$.

Les mathématiciens ont établi des tables de valeurs ou on peut utiliser la calculatrice pour obtenir une valeur approchée.\\

\textbf{\textcolor{red}{Cas particuliers :(à connaître) }}

\colorbox{cyan!30}{\fbox{\begin{minipage}{6cm}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $\alpha=0,05$, $u_{0,05}\approx 1,96$

\item Pour $\alpha=0,01$, $u_{0,01}\approx 2,58$
\end{enumerate}

\end{minipage}}}

\bigskip

Interprétation graphique :

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=10.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-0.05)(5.,0.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-0.1)(5.,0.5)
\pscustom[linecolor=zzttqq,hatchcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.1]{\psplot{-2.58}{2.58}{EXP((-(x-0.00000000000)^(2.00000000000))/(1.00000000000^(2.00000000000)*2.00000000000))/(abs(1.00000000000)*sqrt(PI*2.00000000000))}\lineto(2.58,0)\lineto(-2.58,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{EXP((-(x-0.00000000000)^(2.00000000000))/(1.00000000000^(2.00000000000)*2.00000000000))/(abs(1.00000000000)*sqrt(PI*2.00000000000))}
\rput[tl](1.46,0.342){$99\:\%$}
\psline{->}(1.62,0.298)(0.52,0.21)
\begin{scriptsize}
\uput[d](-2.58,0){-2,58}
\uput[d](2.58,0){2,58}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=10.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-0.05)(5.,0.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-0.1)(5.,0.5)
\pscustom[linecolor=zzttqq,hatchcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.1]{\psplot{-1.96}{1.96}{EXP((-(x-0.00000000000)^(2.00000000000))/(1.00000000000^(2.00000000000)*2.00000000000))/(abs(1.00000000000)*sqrt(PI*2.00000000000))}\lineto(1.96,0)\lineto(-1.96,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{EXP((-(x-0.00000000000)^(2.00000000000))/(1.00000000000^(2.00000000000)*2.00000000000))/(abs(1.00000000000)*sqrt(PI*2.00000000000))}
\rput[tl](1.46,0.342){$95\:\%$}
\psline{->}(1.62,0.298)(0.52,0.21)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.62,0.298)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.52,0.21)
\uput[d](-1.96,0){-1.96}
\uput[d](1.96,0){1.96}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $X$ une variable aléatoire suivante la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}(0~;~1)$.\\
Son espérance est $E(X)=0$.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
Pour tout $x>0$, $\int_{0}^{x}t\times \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}2}\text{ d}t=\left[-\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}2}\right]_{0}^{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}2}\right)$.\\
Par passage à la limite, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}t\times \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}2}\text{ d}t=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$.\\
De même, $\lim_{y\rightarrow -\infty}\int_{y}^{0}t\times \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}2}\text{ d}t=-\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$.\\
Par somme, on a $E(X)=0$.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} on admet que $V(X)=1$ et donc que $\sigma(X)=1$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Loi normale}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une variable aléatoire $X$ suit le loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ signifie que la variable aléatoire $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.\\
On note $X\hookrightarrow\mathscr{N}(\mu~;~\sigma^{2})$ ou $X\leadsto\mathscr{N}(\mu~;~\sigma^{2})$
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} la densité associée à une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}.\]

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarques :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour tout $x$, $f(\mu-x)=f(\mu+x)$, donc la courbe admet la droite d'équation $x=\mu$ comme axe de symétrie et le maximum est atteint pour $x=\mu$.

\item Le maximum est $f(\mu)$ est vaut $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$, donc devient de plus en plus grand quand $\sigma$ devient de plus en plus petit.

\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathscr{N}(\mu~;~\sigma^{2})$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La probabilité de l'événement $X\in[\mu-\sigma~;~\mu+\sigma]$ est approximativement égale à 0,68
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=4.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-0.1)(7,0.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-0.1)(7,0.6)
\pscustom[fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{2.3}{3.7}{EXP((-((x-3)/0.7)^2)/2)/(0.7*sqrt(2*PI))}\lineto(3.7,0)\lineto(2.3,0)\closepath}
\psline(10.82,0.96)(12.82,0.96)
\psline(11.78,0.86)(13.78,0.86)
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{7.0}{EXP((-((x-3)/0.7)^2)/2)/(0.7*sqrt(2*PI))}
\psdots[dotstyle=*](12.42,0.96)
\rput[bl](12.2,0.98){$m = 3$}
\psdots[dotstyle=*](11.92,0.86)
\rput[bl](11.7,0.88){$s = 0.7$}
\uput[u](2.3,0){$\mu-\sigma$}
\uput[u](3.7,0){$\mu+\sigma$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item La probabilité de l'événement $X\in[\mu-2\sigma~;~\mu+2\sigma]$ est approximativement égale à 0,95.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=5.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-0.1)(7,0.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-0.1)(7,0.6)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{1.6}{4.4}{EXP((-((x-3)/0.7)^2)/2)/(0.7*sqrt(2*PI))}\lineto(4.4,0)\lineto(1.6,0)\closepath}
\psline(10.82,0.96)(12.82,0.96)
\psline(11.78,0.86)(13.78,0.86)
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{7.0000000000000036}{EXP((-((x-3)/0.7)^2)/2)/(0.7*sqrt(2*PI))}
\psdots[dotstyle=*](12.42,0.96)
\rput[bl](12.2,0.98){$m = 3$}
\psdots[dotstyle=*](11.92,0.86)
\rput[bl](11.7,0.88){$s = 0.7$}
\uput[u](1.6,0){$\mu-2\sigma$}
\uput[u](4.4,0){$\mu+2\sigma$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item La probabilité de l'événement $X\in[\mu-3\sigma~;~\mu+3\sigma]$ est approximativement égale à 0,99.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-0.1)(7,0.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-0.1)(7,0.6)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{0.9}{5.1}{EXP((-((x-3)/0.7)^2)/2)/(0.7*sqrt(2*PI))}\lineto(5.1,0)\lineto(0.9,0)\closepath}
\psline(10.82,0.96)(12.82,0.96)
\psline(11.78,0.86)(13.78,0.86)
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{7.0000000000000036}{EXP((-((x-3)/0.7)^2)/2)/(0.7*sqrt(2*PI))}
\psdots[dotstyle=*](12.42,0.96)
\rput[bl](12.2,0.98){$m = 3$}
\psdots[dotstyle=*](11.92,0.86)
\rput[bl](11.7,0.88){$s = 0.7$}
\uput[u](0.9,0){$\mu-3\sigma$}
\uput[u](5.1,0){$\mu+3\sigma$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} 99\:\% de l'aire est comprise entre les droites d'équations $x=\mu-3\sigma$ et $x=\mu+3\sigma$ !

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
$X\in[\mu-\sigma~;~\mu+\sigma]\Leftrightarrow -1\leqslant \dfrac{X-\mu}{\sigma}\leqslant 1$.\\
Comme $X\leadsto\mathscr{N}(\mu~;~\sigma^{2})$ , $\dfrac{X-\mu}{\sigma}\leadsto\mathscr{N}(0~;~1)$.\\
$P(X\in[\mu-\sigma~;~\mu+\sigma])=P\left(-1\leqslant \dfrac{X-\mu}{\sigma}\leqslant 1\right)=\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}2}\approx 0,68$.\\
On ne sait pas calculer une valeur exacte de ce nombre, mais on peut calculer une valeur approchée à la calculatrice.\\

\label{fin}
\end{document}  