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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du D1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\begin{enumerate}
  \item $\dfrac{20-0}{100-0}=\nombre{0,2}$
  \item $\dfrac{0+100}{2}=50$
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
  \item $1-\textrm{e}^{-\nombre{0,001}\times\nombre{1500}}=1-\textrm{e}^{-\nombre{1,5}}$
  \item $\textrm{e}^{-\nombre{0,001}\times\nombre{400}}-\textrm{e}^{-\nombre{0,001}\times\nombre{2000}}      =\textrm{e}^{-\nombre{0,4}}-\textrm{e}^{-2}$
  \item $\textrm{e}^{-\nombre{0,001}\times\nombre{1000}}=\textrm{e}^{-1}$
  \item $P_{Y>\nombre{1000}}(Y>\nombre{2000})$

    $=P_{Y>\nombre{1000}}(Y>\nombre{1000}+\nombre{1000})$

      $=P(Y>\nombre{1000})=\textrm{e}^{-1}$
\end{enumerate}


\subsection{}
\begin{enumerate}
  \item $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=3$ donc $\lambda=\dfrac{1}{3}$
  \item $P(X<3)=1-\textrm{e}^{-\frac{1}{3}\times 3}=1-\textrm{e}^{-1}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2014}}
\begin{enumerate}
\item La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif. 

D'après le cours: $P(X \in [ a\:; b ])=\int_{a}^{b} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda t} \d t = \left [ - \mathrm{e}^{-\lambda t}\right ]_a^b = \mathrm{e}^{-\lambda a} - \mathrm{e}^{-\lambda b}$ où $a>0$ et $b>0$.

Donc pour $t>0$, $P(X \leqslant t) = \mathrm{e}^0-\mathrm{e}^{-\lambda t} = 1-\mathrm{e}^{-\lambda t}$.

$P(X \leqslant 2) = 0,15 \iff 1-\mathrm{e}^{-\lambda \times 2} = 0,15 \iff 0,85 = \mathrm{e}^{-2\lambda} \iff \ln(0,85) = -2\lambda \iff
\dfrac{\ln(0,85)}{-2} = \lambda$

$\phantom{P(X \leqslant 2) = 0,15}  \iff \lambda = -\dfrac{\ln(0,85)}{2}$

\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$. 

%Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.
%
%\medskip
%
%

%\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item  

	\begin{enumerate}

		\item Pour $t>0$: $P(X \geqslant t) = 1-P(X < t) = 1-P(X \leqslant t) = 1-\left ( 1 -\mathrm{e}^{-\lambda t}\right ) = \mathrm{e}^{-\lambda t}$.
		
Donc $P(X \geqslant 3) = \mathrm{e}^{-3\times 0,081} \approx 0,78$
		 
		\item% Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{x \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant  h)$. 
Pour tous réels positifs $t$ et $h$: $P(X\geqslant t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}$ et $P(X\geqslant t+h)=\mathrm{e}^{-\lambda (t+h)}$\\[5pt]
$P_{X\geqslant t}(X\geqslant t+h) 
 = \dfrac{P\left[ (X\geqslant t) \cap (X \geqslant t+h) \right]}{P(X \geqslant t)}
 = \dfrac{P(X \geqslant t+h)}{P(X\geqslant t)}$
 
$\phantom{P_{X>t}(X>t+h)} = \dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda (t+h)}}{\mathrm{e}^{-\lambda t}} 
 = \dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda t} \times \mathrm{e}^{-\lambda h} }{\mathrm{e}^{-\lambda t}} =  \mathrm{e}^{-\lambda h} = P(X \geqslant h)$

		\item Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. 

La probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans est $P_{X\geqslant 3}(X \geqslant 3+2)$.
		
D'après le cours: $P_{X\geqslant 3}(X \geqslant 3+2) = P(X\geqslant 2) = 1-P(X < 2)=1-0,15 = 0,85$.

		\item% Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.

D'après le cours, pour une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, l'espérance de $X$ est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$.

Donc $E(X)= \dfrac{1}{0,081} \approx 12,35$.

Ce qui veut dire que la durée moyenne de vie d'un moteur est de $12,35$ années.


	\end{enumerate} 

\item% \textbf{Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à\:} \boldmath $10^{-3}$\unboldmath
  
L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1\,\%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. 

Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est:

\hfill $\left[ p- 1,96 \dfrac{ \sqrt{p\left(1-p\right)}}{ \sqrt{n}}\:; p + 1,96\dfrac{ \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} \right]$\hfill\, 

sous les trois conditions: $n \geqslant 30$, $np \geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$.

\medskip

L'échantillon de l'enquête est de taille $n=800$ et l'entreprise annonce que le pourcentage de moteurs défectueux est égal à 1\,\% donc $p=0,01$.

Regardons si les trois conditions sont vérifiées:\\
$n=800 \geqslant 30$, $np=800 \times 0,01=8\geqslant 5$ et $n(1-p)=800\times 0,99 = 792 \geqslant 5$.

\medskip

L'intervalle est :\\
$I = \left[ 0,01 - 1,96 \dfrac{ \sqrt{0,01\left(1-0,01\right)}}{ \sqrt{800}}\:; 0,01 + 1,96\dfrac{\sqrt{0,01\left(1-0,01\right)}}{\sqrt{800}} \right] \approx [ 0,003\:; 0,017]$.

\medskip

On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux sur 800, ce qui fait une proportion de $\dfrac{15}{800 \rule[-5pt]{0pt}{12pt}}= \numprint{0,01875}$;
or $\numprint{0,01875} \not\in I$ donc le résultat de ce test remet en question l'annonce de l'entreprise A.

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  