\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : corrigé du TD (probabilités conditionnelles)}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%\no 32 hyperbole programme 2002
Une grave maladie affecte le cheptel bovin d'un certain pays. On estime 7\:\% des bovins atteints.

On vient de mettre au point un test pour diagnostiquer la maladie.

On a constaté que : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item lorsque un animal est malade,  le test est positif dans 87\:\% des cas

\item lorsque un animal n'est pas malade, le test est négatif dans 98\:\% des cas.
\end{enumerate} 

Pour un animal désigné au hasard, on note $M$ \og{}l'événement l'animal est malade\fg{} et $T$ l'événement \og{}le test est positif\fg{}.

On peut visualiser la situation par un arbre :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\taput{ $0,07$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{ $0,87$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{ $0,13$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{M}$}\tbput{ $0,93$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{ $0,02$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{ $0,98$}
}
}


\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des événements :

\begin{enumerate}
\item $p\left(M\cap T\right)=p_M(T)\times p(T)=0,87\times 0,07$

$=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0609}}}$

\item $M\cap \overline{T}=p_M\left(\overline{T}\right)\times p\left(\overline{T}\right)=0,13\times 0,07=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0091}}}$

\item $\overline{M}\cap T=p_{\overline{M}}(T)\times p(T)=0,02\times 0,93=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,9114}}}$

\item $\overline{M}\cap \overline{T}=p_{\overline{M}}(\overline{T})\times p(T)=0,98\times 0,93=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,9114}}}$

\end{enumerate}

\item %Déterminer la probabilité de $T$.
$T=(M\cap T)\cup \left(\overline{M}\cap M\right)$ (réunion d'événements incompatibles )

$p(T)=p_M(T)\times p(T)+p_{\overline{M}}(T)\times p\left(\overline{M}\right)$ (formule des propriétés totales )

$=0,87\times 0,07+0,02\times 0,93=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0795}}}$

\item %Calculer la probabilité qu'un animal ayant un test négatif soit malade.
$p_{\overline{T}}(M)=\dfrac{p(M\cap \overline{T})}{p\left(\overline{T}\right)}=\dfrac{0,13\times 0,07}{1-0,0795}=\dfrac{0,0091}{0,9205}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0099}\approx 1\:\%}}$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Inverser un arbre de probabilités}}%\o49 Hyperbole 2002
Un sondage effectué récemment dans une région montagneuse à propos de la construction d'un barrage donne les résultas suivants :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 65\:\% des personnes interrogées sont contre la construction de ce barrage ;

\item parmi les personnes qui sont contre ce barrage, 70\:\% sont des écologistes ;

\item parmi les personnes qui sont pour la construction de ce barrage, 20\:\% sont ds écologistes.
\end{enumerate}
On note $C$ l'événement \og{}La personne interrogée au hasard est contre ce barrage\fg{}.

On note $E$ l'événement : \og{}La personne interrogée est écologiste\fg{}.

\begin{enumerate}
\item 

Compléter l'arbre de probabilités suivant : 
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=38mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\taput{ $0,65$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{ $0,7$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{ $0,3$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{C}$}\tbput{ $0,35$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{ $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{ $0,8$}}}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité de l'événement $E$.
$p(E)=p_C(E)\times p(C)+p_{\overline{C}}(R)\times p\left(\overline{C}\right)=0,7\times 0,65+0,2\times 0,35=0,455+0,07=\boxed{\textcolor{red}{0,525}}$

\item On inverse l'arbre de probabilités ; compléter l'arbre ci-dessous :

On a : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(E)=0,525$ donc $p\left(\overline{E}\right)=1-0,525=\boxed{\textcolor{red}{0,475}}$.

\item $p_E(C)=\dfrac{p(E\cap C)}{p(E)}=\dfrac{0,455}{0,475}=\dfrac{91}{95}$

\item $p_E\left(\overline{C}\right)=1-\dfrac{91}{95}=\dfrac{4}{95}$

\item $p_{\overline{E}}(C)=\dfrac{p\left(C\cap \overline{E}\right)}{p\left(\overline{E}\right)}=\dfrac{0,3\times 0,65}{1-0,525}=\dfrac{0,195}{0,475}=\dfrac{39}{95}$ d'où $p_{\overline{E}}\left(\overline{C}\right)=\dfrac{56}{95}$

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=38mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$E$}\taput{ $0,525$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $\dfrac{91}{95}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C}$}\tbput{ $\dfrac{4}{95}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{E}$}\tbput{ $0,475$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $\dfrac{39}{95}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C}$}\tbput{ $\dfrac{56}{95}$}}}
\end{center}
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Le jeu est-il favorable ?}}%\no 59 Hyperbole 2002
On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant des boules indiscernables au toucher.

L'urne $U_1$ contient $n$ boules blanches et 3 boules noires ($n$ entier, $n\geqslant 1$).

L'urne $U_2$ contient 2 boules blanches et 1 boule noire.

On tire au hasard une boule de $U_1$ et on la met dans $U_2$ puis on tire au hasard une boule de $U_2$ et on la met dans $U_1$ ; l'ensemble de ces deux opérations constitue une épreuve.

Représentation par un arbre :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On note $B_1$ l'événement \og{}la boule choisie dans l'urne $U_1$ est blanche\fg{}

\item On note $N_1$ l'événement \og{}la boule choisie dans l'urne $U_1$ est noire\fg{}

\item On note $B_2$ l'événement \og{}la boule choisie dans l'urne $U_2$ est blanche\fg{}

\item On note $N_2$ l'événement \og{}la boule choisie dans l'urne $U_2$ est noire\fg{}

\end{enumerate}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B_1$}\taput{ $\dfrac{n}{n+3}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B_2$}\taput{ $\dfrac34$}
\Tdot~[tnpos=r]{$N_2$}\tbput{ $\dfrac14$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$N_1$}\tbput{ $\dfrac{3}{n+3}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B_2$}\taput{ $\dfrac12$}
\Tdot~[tnpos=r]{$N_2$}\tbput{ $\dfrac12$}
}
}


\end{center}
\begin{enumerate}
\item On considère l'événement $A$: \og{}Après l'épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de départ\fg{}.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $p(A)=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n+2}{n+3}\right)$.
Pour retrouver la configuration initiale, il faut avoir tirer successivement deux boules de même couleur.

$A=\left(B_1\cap B_2\right)\cup \left(N_1\cap N_2\right)$ donc $p(A)=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{n}{n+3}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{n+3}=\dfrac{3n+6}{4(n+3)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n+2}{n+3}\right)}}$.

\item %Déterminer la limite de $p(A)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
On a une forme indéterminée.

$\dfrac{n+2}{n+3}=\dfrac{n\left(1+\frac 2n\right)}{n\left(1+\frac 3n\right)}=\dfrac{1+\frac 2n}{1+\frac 3n}$ qui te,d vers 1 quand $n$ tend vers $+\infty$.

Donc  : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}p(A)=\dfrac{3}{4}}}$
\end{enumerate}

\item On considère l'événement $B$ : \og{}Après l'épreuve, l'urne $U_2$ contient une seule boule blanche\fg{}.

$B$ est réalisé si, et seulement si, on a tiré une boule noire dans l'urne $U_1 $ puis une boule blanche dans l'urne $B_2$.
%Vérifier que $p(B)=\dfrac{6}{4(n+3)}$.
$p(B)=\dfrac{3}{n+3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2(n+3)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{6}{4(n+3)}}}$

\item Un joueur mise 20 \euro{} et effectue une épreuve. L'issue de cette épreuve, on compte le nombre de boules blanches contenues dans l'urne $U_2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $U_2$ contient 1 boule blanche, le joueur reçoit $2n\text{ \euro}$.

\item Si $U_2$ contient 2 boules blanches, le joueur reçoit $n\text{ \euro}$.

\item Si $U_2$ contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi le joueur  n'a aucun intérêt à jouer tant que $n$ ne dépasse pas 10.
On note $X$ le gain algébrique du joueur. Les valeurs prises par $G$ sont $2n-20$, $n-20$ ou $-20$.
Si $n\leqslant 10$, $2n-20\leqslant 0$ donc le gain maximum est négatif, donc le joueur est sûr de perdre de l'argent à chaque partie, donc le joueur n'a aucun intérêt à joueur si $n\leqslant 10$ !

Dans la suite, on considère $n>10$ et on introduit la variable aléatoire $X$ qui prend pour valeur le gain algébrique du joueur.

Par exemple, si après l'épreuve, l'urne $U_2$ contient une seule boule blanche, $X=2n-20$.

\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.

On constate que $p(X=2n-20)=p(A)=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n+2}{n+3}\right)$ et $p(X=n-20)=p(B)=\dfrac{6}{4(n+3)}$.

On en déduit $p(X=-20)=1-\left[\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n+2}{n+3}\right)+\dfrac{6}{4(n+3)}\right]=\dfrac{4(n+3)-3(n+2)-6}{4(n+3)}=\dfrac{4n+12-3n-6-6}{4(n+3)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n}{4(n+3)}}}$

On donne la loi de probabilité de $X$ sous la forme d'un tableau :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$&$2n-20$&$n-20$&-20\\
\hline
$p\left(X=x_i\right)$&$\dfrac{6}{4(n+3)}$&$\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n+2}{n+3}\right)$&$\dfrac{n}{4(n+3)}$\\
\hline
\end{tabularx}

\item %Calculer l'espérance de $X$.
$E(X)=\dfrac{6}{4(n+3)}\times (2n-20)+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n+2}{n+3}\right)(n-20)+\dfrac{n}{4(n+3)}\times (-20)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3n^2-62n-240}{4(n+3)}}}$.

\item %On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance est strictement positive.
%
%Montrer qu'il en est ainsi dès que l'urne $U_1$ contient au moins 25 boules blanches.
$E(X)$ est du signe de $3n^2-62n-240$ qui a pour racines $\dfrac{10}{3}$ et 24.

Il est positif si $n$ est extérieur à l'intervalle formé par les racines ; comme $n>0$ on e déduit que $n>24$ donc $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 25}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}



%\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  