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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices de bac}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie novembre 2016}}
Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à  \numprint{10000} le nombre de ses abeilles.

Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20\,\% des abeilles de l'année précédente.

Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera $c$ ce nombre
exprimé en dizaines de milliers.

On note $u_0$ le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a
$u_0 = 1\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 0,8u_n + c$.

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$, donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8 u_n +1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
On calcule, à  la calculatrice, $u_n$ pour les premières valeurs de $n$ (valeurs de $u_n$ arrondies):

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|*{11}{>{\ca}p{0.8cm}|}}
\hline
$n$  &0 &1 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		& \dots\\\hline
$u_n$&1 &1,8&2,44 	&2,95 	&3,36 	&3,69 	&3,95 	&4,16 	&4,33	& \dots \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|*{11}{>{\ca}p{0.8cm}|}}\hline
$n$   &\dots &20 	& 21 	& 22 	& 23 	& 24 	& 25 	& 26 	& 27 	& 28 \\\hline
$u_n$ &\dots &4,95 	&4,96 	&4,97 	&4,976  &4,981  &4,985  &4,988  &4,990  &4,992  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

La suite $\left(u_n\right)$ \textbf{\textcolor{red}{semble croissante}} et \textbf{\textcolor{red}{semble converger vers le nombre 5}}.

\item% Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$.
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}}

Pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $5 - 4\times 0,8^{0} = 5 - 4 = 1$.
Donc la propriété $\mathcal P_0$ est vérifiée.
\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}}

Soit $n$ un entier naturel quelconque.

On suppose que la propriété est vraie pour le rang $n$ c'est-à -dire $u_n=5-4\times 0,8^n$ (c'est l'hypothèse de récurrence), et on veut démontrer qu'elle est encore vraie pour le rang $n+1$.

$u_{n+1} = 0,8 u_n +1$. Or, d'après l'hypothèse de récurrence $u_n=5-4\times 0,8^{n}$; donc:

$u_{n+1} = 0,8 \left ( 5 - 4\times 0,8^n \right ) +1 
= 0,8\times 5 - 4 \times 0,8^{n+1} +1
= 4 - 4 \times 0,8^{n+1} +1
= 5 - 4 \times 0,8^{n+1}$

Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.

On a démontré que, pour tout entier naturel $n$, $\mathcal P_{n} \implies \mathcal P_{n+1}$.

La propriété $\mathcal P_n$ est donc héréditaire pour tout $n$.
\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}}

La propriété est vraie pour $n = 0$. 

Elle est héréditaire à  partir du rang 0. 

Donc, d'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_n=5 - 4\times 0,8^n}}$.

\item% Vérifier les deux conjectures établies à  la question 1. en justifiant votre réponse.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item
$u_{n+1}-u_n=\left ( 5-4\times 0,8^{n+1}\right ) - \left ( 5-4\times 0,8^{n}\right )= 5-4\times 0,8^{n+1} - 5+4\times 0,8^{n}
= 4\times 0,8^n \left (1-0,8\right )\\
\phantom{u_{n+1}-u_n}
= \boxed{\textcolor{red}{4\times 0,8^n \times 0,2 >0}}$

Pour tout $n$, on a démontré que $u_{n+1} > u_n$ donc la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item $-1<0,8 < 1$ donc la suite géométrique $(0,8^n)$ de raison 0,8 \textbf{\textcolor{red}{converge vers 0}}.

$\lim_{n\rightarrow +\infty}0,8^n=0
\implies \lim_{n \rightarrow +\infty} 4\times 0,8^n=0
\implies \lim_{n \rightarrow +\infty} 5-4\times 0,8^n=\boxed{\textcolor{red}{5}}$

Donc la suite $(u_n)$ est convergente vers 5.

\end{list}

On peut donc dire que si l'apiculteur rachète chaque année \numprint{10000} abeilles, le nombre d'abeilles va augmenter chaque année et va tendre vers \numprint{50000}.

%Interpréter ces deux résultats.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers \numprint{100000}.

On cherche à  déterminer la valeur de $c$ qui permet d'atteindre cet objectif.

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 5c$; donc, pour tout $n$, $u_n=v_n+5c$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1} = u_{n+1} - 5c = 0,8u_n +c -5c = 0,8\left (v_n+5c\right )-4c = 0,8v_n +4c-4c =\boxed{\textcolor{red}{ 0,8v_n}}$
\item $v_0= u_0 - 5c = \boxed{\textcolor{red}{1-5c}}$
\end{list}

La suite $\left(v_n\right)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=1-5c$.

\item% En déduire une expression du terme général de la suite $\left(v_n\right)$en fonction de $n$.
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q = 0,8$ et de premier terme $v_0 = 1-5c$ donc, pour tout $n$, 

\hfill{}$v_n=v_0\times q^n = \boxed{\textcolor{red}{\left (1-5c\right )0,8^n}}$.\hfill{}

\item% Déterminer la valeur de $c$ pour que l'apiculteur atteigne son objectif.
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,8 ; or $-1< 0,8 <1$ donc la suite $(v_n)$ est convergente et a pour limite $0$.

Pour tout $n$, $u_n=v_n+5c$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et a pour limite $\boxed{\textcolor{red}{5c}}$.

L'apiculteur veut que le nombre d'abeilles tende vers \numprint{100000}; il faut donc que $5c=\numprint{10}$, autrement dit que $c=2$.

Pour que le nombre d'abeilles tende vers \numprint{100000}, il faut que l'apiculteur rachète chaque année \numprint{20000} abeilles.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2014}}
\begin{enumerate}

\item
\begin{enumerate}

\item À l'aide d'une calculatrice, on obtient les valeurs suivantes:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
\hline
$u_n$ & 2 & \numprint{3,4} & \numprint{2,18} & \numprint{1,19} & \numprint{0,61} & \numprint{0,31} & \numprint{0,16} & \numprint{0,08} & \numprint{0,04} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Au vu du tableau précédent, on peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante à partir du rang 1}}.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}

\item Soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété: \og $u_n\geqslant\frac{15}{4}\times\numprint{0,5}^n$\fg{}. Montrons par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\begin{itemize}

\item \textbf{Initialisation.} On a $u_1=\numprint{3,4}$ et $\frac{15}{4}\times\numprint{0,5}=\numprint{1,875}$, donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

\item \textbf{Hérédité.} Supposons que, pour un certain entier naturel $k$ non nul, la propriété $\mathcal{P}(k)$ est vraie, c'est-à-dire que:
\begin{equation}
\tag{HR}
u_k\geqslant\frac{15}{4}\times\numprint{0,5}^k
\end{equation}
on doit alors démontrer que la propriété $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire que $u_{k+1}\geqslant\frac{15}{4}\times\numprint{0,5}^{k+1}$.\\
D'après (HR):
\begin{eqnarray*}
u_k&\geqslant&\frac{15}{4}\times\numprint{0,5}^k\qquad\text{donc, en multipliant par }\frac15:\\
\frac15u_k&\geqslant&\frac34\times\numprint{0,5}^k\qquad\text{ puis, en ajoutant membre à membre }3\times\numprint{0,5}^k:\\
\frac15u_k+3\times\numprint{0,5}^k&\geqslant&\frac34\times\numprint{0,5}^k+3\times\numprint{0,5}^k\qquad\text{ c'est-à-dire:}\\
u_{k+1}&\geqslant&\frac{15}{4}\times\numprint{0,5}^k
\end{eqnarray*}
Or, pour tout entier naturel $k$, $\numprint{0,5}^k\geqslant\numprint{0,5}^{k+1}$, on en déduit donc que:
\[
u_{k+1}\geqslant \dfrac{15}{4}\times\numprint{0,5}^{k+1}
\]
et la propriété $\mathcal{P}(n)$ est donc héréditaire.

\item \textbf{Conclusion.} La propriété $\mathcal{P}(n)$ est initialisée et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{itemize}

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul:
\begin{eqnarray*}
u_{n+1}-u_n&=&\frac15u_n+3\times\numprint{0,5}^n-u_n\\
&=&3\times\numprint{0,5}^n-\frac45u_n\\
&=&\frac45\left(\frac{15}{4}\times\numprint{0,5}^n-u_n \right)\\
\end{eqnarray*}
D'après la question 1a, cela entraîne que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$.

\item D'après la question précédente la suite $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang. D'après 2a, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n\geqslant\frac{15}{4}\times\numprint{0,5}^n>0$, la suite est donc minorée. On en déduit, d'après le théorème de convergence des suites monotones, que la suite $(u_n)$ est convergente.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		
\item Soit $n\in\mathbb{N}$, alors:
\begin{eqnarray*}
v_{n+1}&=&u_{n+1}-10\times\numprint{0,5}^{n+1}\\
&=&\frac15u_n+3\times\numprint{0,5}^n-10\times\numprint{0,5}\times\numprint{0,5}^n\\
&=&\frac15u_n-2\times\numprint{0,5}^n\\
&=&\frac15\left(u_n-10\times\numprint{0,5}^n\right)\\
&=&\frac15v_n.
\end{eqnarray*}
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\frac15$.\\
Son premier terme vaut $v_0=u_0-10\times\numprint{0,5}^0=2-10=-8$.

\item La suite $(v_n)$ étant géométrique, on a, pour tout entier naturel $n$: $v_n=-8\left(\frac15\right)^n$.\\
On en déduit que $-8\times\left(\frac15\right)^n=u_n-10\times\numprint{0,5}^n$ et donc que: $u_n=-8\times\left(\frac15\right)^n+10\times\numprint{0,5}^n$.
		
\item $-1<\frac15<1$, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\frac15\right)^n = 0$, de même: $-1 < \numprint{0,5} < 1$, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\numprint{0,5}^n = 0$.

On en déduit par opérations sur les limites que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n = 0$.
	\end{enumerate}

\item L'algorithme complet est:
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{10cm}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Entrée:} & $n$ et $u$ sont des nombres\\
\textbf{Initialisation:} & $n$ prend la valeur 0\\
& $u$ prend la valeur 2\\
\textbf{Traitement:} & Tant que u>\numprint{0,01}\hfill~~\qquad(1)\\
&\phantom{XXX} $n$ prend la valeur $n+1$\hfill~~\qquad(2)\\
&\phantom{XXX} $u$ prend la valeur $\frac15u+3\times\numprint{0,5}^{n-1}$\hfill~~\qquad(3)\\
&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie:} & Afficher $n$
\end{tabular}
\end{minipage}
}
\end{center}

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  