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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS3 : corrigé du contrôle (récurrence, suites) \\ (2 heures)}}\end{center}


%
%\begin{multicols}{2}
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\subsection{\hfill \textcolor{blue}{2 points} }
%Quelle est la définition d'une suite qui tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Une suite $\left(u_n\right)$  tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si, pour tout $A>0$, l'intervalle $]A~;~+\infty[$ contient tous les termes de la suite  partir d'un certain rang.

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{2,5 points}}
%Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $7^n-1$ est divisible par 6.
Soit $P_n$ la propriété :\og{}il existe un entier $k_n\in\mathbb{N}$ tel que $7^n-1=6k_n$\fg{}.

Démontrons-la par récurrence :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initilisation}} : pour $n=0$, $7^n-1=7^0-1=1-1=0=6\times 0=6\times k_0$ avec $k_0=0\in\mathbb{N}$. Pour $n=0$, $7^n-1$ est bien un multiple de 6.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un en tier $n$ quelconque.

Il existe $k_n\in\mathbb{N}$ tel que $7^n-1=6k_n$.

On en déduit que $7^n=6k_n+1$.

Alors : $7^{n+1}-1=7\times 7^n-1=7\times \left(6k_n+1)-1\right)=7\times 6k_n+7-1=6k_n+6=6\left(7k_n+1\right)=6k_{n+1}$ en appelant $k_{n+1}$ le nombre $7k_n+1\in\mathbb{N}$.

La propriété est \textbf{héréditaire}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{2,5 points}}
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, avec $n\geqslant 1$, on pose \[S_n=1+5+9+\cdots+(4n-3)\]

%Démontrer par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$ : \[S_n=1+5+9+\cdots+(4n-3)=n(2n-1).\]
Démontrons par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$ : \[S_n=1+5+9+\cdots+(4n-3)=n(2n-1).\]

On remarque $S_n$ est une somme de $n$ termes puisque le premier terme est $1=4\times 1-3$ et le dernier terme est $4n-3$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : Pour $n=1$, $S_1=1$ et $n(2n-1)=1\times 1=1$ donc $S_n=n(2n-1)$ est vrai pour $n=1$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un entier $n$ quelconque.

$S_n=1+5+\cdots+4n-3=n(2n-1)$.

Alors : $S_{n+1}=S_n+[4(n+1)-3]=S_n+4n+1=n(2n-1)+4n+1=2n^2+3n+1$.

Or $(n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1$ donc $S_{n+1}=\boxed{\textcolor{red}{(n+1)(2(n+1)-1)}}$ .

La propriété est \textbf{héréditaire}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points }}%Bac ES Antilles-Guyane septembre 2002
\begin{enumerate} \item Un capital initial $c_0$ de 600 euros est placé sur un compte rapportant $5\:\%$ d'intérêts annuels. On note $c_n$ le capital acquis au bout de $n$
années ($n$ entier naturel).

\begin{enumerate} \item %Montrer que le capital $c_{n + 1}$ est égal à  $1,05c_n$.
$c_ {n+1}=c_n+c_n\times 5\:\%=c_n\left(1+\dfrac{5}{100}\right)=c_n\times 1,05=\boxed{\textcolor{red}{1,05c_n}}$.

\item %En déduire l'expression de $c_n$ en fonction de $n$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $c_{n+1}=1,05c_n$ donc la suite $\left(c_n\right)$ est géométrique, de raison $q=1,05$.

Son  premier terme est $c_0=600$ donc $c_n=c_0q^n$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{c_n=600\times 1,05^n}}$.

\item %Trouver (à la calculatrice) le nombre minimal d'années nécessaires pour que le capital
%ainsi placé ait au moins triplé.

À la calculatrice, cela revient  à chercher la plus petite valeur de $n$ telle que $1,05^n\geqslant 3$. On trouve $\boxed{\textcolor{red}{n=23}}$.

\end{enumerate}

\item  Un autre épargnant place également un capital initial de 600 euros au taux annuel de $5\:\%$ d'intérêts, et fait un versement supplémentaire de 150 euros à la fin de chaque année. On appelle $d_0$ le capital initial et  $d_n$ le capital ainsi acquis à la fin de la $n$-ième année.

\begin{enumerate} \item %Calculer $d_1,~ d_2,~ d_3$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d_1=d_0+d_0\times 5\:\%+150=1,05d_0+150=780$

\item $d_2=1,05d_1+150=969$

\item $d_3=1,05d_2+150=1167,45$
\end{enumerate}

\item %Vérifier que pour tout entier naturel $n,~ d_{n + 1} = 1,05 d_n + 150$.
Pour tout $d_n$, $d_{n+1}=d_n+d_n\times 5\:\%+150=\boxed{\textcolor{red}{1,05d_n+150}}$

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par : \[v_n = d_n + \numprint{3000}.\]

%Calculer $v_0$ et $v_1$.
$v_0=d_0+\numprint{3000}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{3600}}}$ et $v_1=d_1+\numprint{3000}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{3780}}}$.

\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q = 1,05$.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=d_{n+1}+\numprint{3000}=1,05d_n+150+\numprint{3000}=1,05d_n+\numprint{3150}=1,05\left(d_n+\dfrac{\numprint{3150}}{1,05}\right)\\
=1,05\left(d_n+3000\right)=\boxed{\textcolor{red}{1,05v_n}}$.

Pour tout $n$, $v_{n+1}=1,05v_n$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=1,05$.

\item %Écrire $v_n$ en fonction de $v_0$ et de $n$.
On en déduit que : $v_n=v_0q^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=\numprint{3600}\times 1,05^n}}$.

\item %En déduire $d_n$ en fonction de $n$.
$d_n=v_n-\numprint{3000}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{d_n=\numprint{3600}\times 1,05^n-3000}}$

\item %En utilisant la calculatrice, trouver à partir de combien d'années le capital $d_n$ aura-t-il au moins triplé ?
À la calculatrice, on trouve que le capital a triplé au bout de 6 ans.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{5 points}}
%http://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2014/10/DM-maths-suite-recurrence-terminale-s.pdf\tableau{}{}{}{}{}{}{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n +1} = u_n + 2 n + 3$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. 
$\forall n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=2n+3\geqslant 0$ car $n\in\mathbb{N}$, donc $n\geqslant 0$.

On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_n > n^2$.
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_n > n^2$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : pour $n=0$, $u_0=1>0^2=0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque.

Donc $u_n>n^2$.

Alors : $u_{n+1}=u_n+2n+3>n^2+2n+3=\left(n^2+2n+1\right)+2=(n+1)^2+2>(n+1)^2+2$.

Par conséquent: $u_{n+1}>(n+1)^2$.

La propriété est donc \textbf{héréditaire}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item Démontrons que la suite $\left(n^2\right)$ n'est pas majorée.

Soit $A>0$ un réel positif quelconque. Pour tout entier $n>\sqrt{A}$, $n^2>A$ donc la suite $\left(n^2\right)$ n'est pas majorée.

\item %En déduire que $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée puis déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. (on précisera le théorème utilisé !)
Pour tout $n$, $u_n>n^2$ et la suite $\left(n^2\right)$ n'est pas majorée, donc la suite $\left(u_n\right)$ non plus.

La suite $\left(u_n\right)$ est croissante non majorée, donc tend vers $+\infty$ : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$

\item %Calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=u_{0+1}=u_0+2\times 0+3=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $u_2=u_1+2\times 1+3=\boxed{\textcolor{red}{9}}$

\item $u_3=u_2+2\times 2+3=\boxed{\textcolor{red}{16}}$

\item $u_4=u_3+2\times 3+3=\boxed{\textcolor{red}{25}}$
\end{enumerate}

\item %Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On peut conjecturer que $\boxed{\textcolor{red}{u_n=(n+1)^2}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\item %Démontrer par récurrence que cette expression est valable pour tout entier naturel $n$ . 
Démontrons cette conjecture par récurrence :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : Pour $n=0$, $(n+1)^2=1=u_0$ donc $u_0=(0+1)^2$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que pour un rang $n$ quelconque, $u_n=(n+1)^2$.

Alors : $u_{n+1}=u_n+2n+3=(n+1)^2+2n+3=n^2+4n+4=(n+2)^2=((n+1)+1)^2$.

La propriété est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.
\end{enumerate} 
Elle est donc vraie pour tout $n$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=(n+1)^2}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points }}
On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout $n\geqslant 1$ : $nw_{n}=(n+1)w_{n-1}+1.$\\
\noindent Ce tableau donne les dix premiers termes de la suite :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\
\hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$.
On a : $10w_{10}=11w_9+1=11\times 19+1=210$ donc $\boxed{\textcolor{red}{w_{10}=21}}$.

\item %Conjecturer la nature de la suite ; en déduire une conjecture sur l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
La suite semble être la suite des entiers impairs, donc arithmétique de raison 2 et de premier terme 1, donc on peut conjecturer que $\boxed{\textcolor{red}{w_n=2n+1}}$.

\item %Démontrer cette conjecture.
On effectue une démonstration par récurrence.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : Pour $n=0$, $2n+1=1=u_0$ donc c'est vrai au rang $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que $w_n=2n+1$.

Alors : $(n+1)w_{n+1}=(n+2)w_n+1=(n+2)(2n+1)+1=2n^2+5n+3=(n+1)(2n+3)$ donc 

$w_n=2n+3=2(n+1)+2$.

La propriété est bien héréditaire.
\end{enumerate}

On en déduit qu'elle est vraie pour tout $n$, donc $\boxed{\textcolor{red}{w_n=2n+1}}$.

\item %En déduire la valeur de $w_{\numprint{2000}}$.
Alors : $w_{2000}=2\times \numprint{2000}+1=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{4001}}}$
\end{enumerate}


%\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  