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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{\Huge Correction}}
\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA} =\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BQ} = 4\times 2 =\boxed{\textcolor{red}{ 8}}$

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{JC} =\overrightarrow{BC}.BC = 4^2 = \boxed{\textcolor{red}{16}} $

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{OB} = -4\times 2 = \boxed{\textcolor{red}{-8}} $

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{I A} =\overrightarrow{BC}.\left( \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BA}\right) =\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}.0\overrightarrow{BA} =\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{JA}+4\times 2 = 4\times 2+8 = \boxed{\textcolor{red}{16}}$

\item $\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{BI} =\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{AJ} =\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{OB} = -2^2 = \boxed{\textcolor{red}{-4}} $.

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CI} =\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{
CB}+\overrightarrow{BI}\right) =\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BI} = -4^2+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AJ} = -16-4\times 2 =\boxed{\textcolor{red}{ -24}}$

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $AB^2=\overrightarrow{AB}^2=\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)^2=\overrightarrow{CB}^2+\overrightarrow{CB}^2-2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=BC^2+AC^2-2CA\times CB\times \cos\widehat{C}$.

On en déduit : $\cos\widehat{C}=-\dfrac{AB^2-AC^2-BC^2}{2AC\times BC}=-\dfrac{1}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\widehat{C}=120 \text{\degre}}}$ 

\item On trouve de même $\cos\widehat{A}=-\dfrac{BC^2-BA^2-CA^2}{2BA\times CA}=\dfrac{13}{14}$ d'où : $\widehat{A}\approx \boxed{\textcolor{red}{21,79\text{ \degre}}}$
\end{enumerate}


\subsection{}
$ABCD$ est un parallélogramme.\\
$AC^2+BD^2=\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{BD}^2=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)^2+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)^2=AB^2+BC^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+BC^2+CD^2+2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}\\
=AB^2+BC^2+BC^2+CD^2++2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=AB^2+BC^2+BC^2+CD^2+2\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right)\\
=AB^2+BC^2+BC^2+CD^2+2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{0}=AB^2+BC^2+BC^2+CD^2$.

\bigskip

$\boxed{\textcolor{red}{AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+BC^2+CD^2=2\left(AB^2+BC^2\right)}}$.\\
Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés.



\subsection{}

\begin{enumerate}
\item 
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$
est un vecteur normal de la tangente qui admet donc une équation de la forme : \[-3x+2y+c = 0.\]
La tangente doit passer par B. On en déduit que $-3\times (-1)+2\times 3+c = 0$ donc $c = -9.$

Une équation de la tangente est donc : $\boxed{\textcolor{red}{-3x+2y-9 = 0}}.$

\item  Le rayon du cercle est égal à la distance AB. Or, $AB =\sqrt{(-3)^2+2^2 }=\sqrt{13}.$

Une équation du cercle est donc $AM^2=\overrightarrow{AM}^2=\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2 = 13$, c’est à dire $\boxed{\textcolor{red}{(x-2)^2+(y-1)^2 = 13}}$.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  