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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du TD fonction exponentielle (1)}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
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\subsection{}
On rappelle  que $\exp$ est l'unique fonction non nulle dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que \systeme{f'=f,f(0)=1}.

\noindent On cherche une fonction $f$ non nulle, dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que \systeme{f'=f,f(0)=\lambda} \hspace{1cm}$\lambda\neq 0$.

Pour cela, on pose $g=\dfrac{1}{\lambda}f$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer qu'alors, $g'=g$ et que $g(0)=1$.
$g'=\left(\dfrac{1}{\lambda f}\right)'=\dfrac{1}{\lambda}f'=\dfrac{1}{\lambda}f=g$ donc $\boxed{\textcolor{red}{g'=g}}$

\bigskip

$g(0)=\dfrac{1}{\lambda}f(0)=\dfrac{1}{\lambda}\times \lambda=1$ donc $g(0)=1$

\item 
Puisque $g'=g$ et $g(0)=1$, $g$ est la fonction exponentielle : $g=\exp$.

$\forall x\in\mathbb{R}$, $g(x)=\exp(x)=\dfrac{1}{\lambda}f(x)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\lambda\exp(x)}}$.
\end{enumerate}



\subsection{}

On cherche une fonction $f$, non nulle, dérivable sur $\mathbb{R}$ et telle que \systeme{f'=kf,f(0)=1}\hspace{1cm} $k\in\mathbb{R}$.


\begin{enumerate}
\item %Montrer que $g:x\mapsto \exp(kx)$ convient.
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\exp(kx)$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g=\exp(u)$ donc $g'=u'\exp(u)$ d'où $g'(x)=k\exp(kx)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{g'=kg}}$.

\item $g(0)=\exp(k\times 0)=\exp(0)=\boxed{\textcolor{red}{1}}$
\end{enumerate}
$g$ vérifie les deux conditions donc $g$ convient.

\item %Comment montrerait-on l'unicité d'une telle fonction
Pour montrer l'unicité d'une telle fonction, on raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe une autre fonction $h$ telle que \systeme{h'=kh,h(0)=1}\hspace{1cm} $k\in\mathbb{R}$.

Alors : $\left(\dfrac{g}{h}\right)'=\dfrac{g'h-gh'}{h^{2}}=\dfrac{kgh-gkh}{h^{2}}=0$.

Comme $\left(\dfrac{g}{h}\right)'=0$, $\dfrac{g}{h}$ est une fonction constante : pour calculer cette constante, on calcule la valeur de la fonction en 0 : $\dfrac{g}{h}(0)=\dfrac{g(0)}{h(0)}=1$ donc $\dfrac{g}{h}=1$.

On a donc $\dfrac{g}{h}=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{g=h}}$ et on a unicité de la fonction.

\item %En déduire une fonction $f$ telle que \systeme{f'=2f,f(0)=1}
Cherchons une fonction $f$ telle que \systeme{f'=2f,f(0)=1}.

D'après ce qui précède, on a $f(x)=\exp(2x)$.

\item %En déduire une fonction $f$ telle que \systeme{f'=2f,f(0)=\lambda}, $\lambda\in\mathbb{R}$
Pour avoir  une fonction $f$ telle que \systeme{f'=2f,f(0)=\lambda}, $\lambda\in\mathbb{R}$, on combine les résultats précédents : on a \[\textcolor{red}{f(x)=\lambda \exp(2x)}\]

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}


\item Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Si, pour tout $x$ réel, on a $f'(x)=f(x)$, peut-on affirmer que $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que , pour tout $x$ réel, $f''(x)=f(x)$ ?

\textbf{\textcolor{red}{Oui}} : puisque $f$ est dérivable et $f'=f$, $f'$ est dérivable (puisque $f$ l'est) et $f'=f\Rightarrow f''=\left(f'\right)'=f'=f $ donc $\boxed{\textcolor{red}{f''=f}}$

\item Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

\noindent Si, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f''(x)=f(x)$, peut-on affirmer que $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $f'(x)=f(x)$ ?

\textbf{\textcolor{red}{Non}} : on prend  $f(x)=\exp(-x)=\exp(kx)$ avec $k=-1$.

Alors $f'=kf=-f$ (cf. I) et $f''=\left(f'\right)'=\left(-f\right)'=-f'=-(-f)=f$ donc $f''=f$ mais $f''=-f'$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :


\begin{enumerate}
\item $f(x)=\exp(3x+4)$ ; $f=\exp\circ u$ avec $u(x)=3x+4$ ; $f'=u'\exp\circ uu'\exp(u)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3\exp(3x+4)}}$.

\item $f(x)=x\exp(2x)$ ; $f=uv$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\exp(2x)$.

$f'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=2\exp(2x)$.

On en déduit que : $f'(x)=1\times \exp(2x)+x\times 2\exp(2x)=\boxed{\textcolor{red}{(2x+1)\exp(2x)}}$

\item $f(x)\sqrt{\exp(x)}$ ; $f=\sqrt{u}$ avec $u(x)=\exp(x)$ dnc $f'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u'(x)=\exp(x)$.

Par conséquent : $f'(x)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\exp(x)}{2\sqrt{\exp(x)}}}}$.

\item $f(x)=(\exp(x))^3$ ; $f=u^{3}$ avec $u=\exp$ donc $f'=3u'u^{2}$ avec $u'=u=\exp$.

Par conséquent : $f'=3u'u^{2}=3uu^{2}=3u^{3}=3\exp^{3}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3\left(\exp(x)\right)^{3}}}$.

\bigskip

\textbf{Remarque} : Après que nous avons vu la propriété $\left(\exp(x)\right)^{n}=\exp(nx)$, nous pouvons utiliser :

$f(x)=\left(\exp(x)\right)^{3}=\exp(3x)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3\exp(3x)}}$ puisque $\left(\exp(v)\right)'=v'\exp(v)$
\end{enumerate}



%\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  