\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage{paralist}
\usepackage{tabto}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}
\section*{\textcolor{red}{TS : correction du TD - Différents types de raisonnements utilisés en mathématiques}}
\end{center}





\subsection{\textcolor{red}{Quantificateur existentiel}}
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exercice}} : \og{}il existe un entier naturel $n$ tel que $n^2$ soit supérieur à 23.\fg s'écrit :
\[\exists n\in\mathbb{N},~n^2>23.\]

\subsection{\textcolor{red}{Quantificateur universel}}


\textbf{\textcolor{blue}{Exercice} :} la proposition : \og{}le carré de tout nombre réel est positif ou nul.\fg s'écrit :
\[\forall x\in\mathbb{R},~x^2\geqslant 0.\]

\subsection{\textcolor{red}{Négation}}

\textbf{\textcolor{blue}{Exercice}}

Écrire la négation des propositions suivantes et préciser laquelle est vraie.
\begin{enumerate}
\item $P$ : $\forall x\in\mathbb{R}$, $x+1>x$

$\overline{P}$: $\exists x\in\mathbb{R},~x+1\leqslant x$

$P$ est vraie, car $x+1>x\Leftrightarrow 1>0$ (en soustrayant $x$ des deux côtés)

\item $P$ : $\forall x\in\mathbb{R},~\dfrac{1}{x^{2}+1}<1$

$\overline{P}$ : $\exists x\in\mathbb{R}, ~\dfrac{1}{x^2+1}\geqslant 1$

$\overline{P}$ est vraie car, pour $x=0$, $\dfrac{1}{x^2+1}=1$.

\item $P$ : Tout triangle est rectangle.

$\overline{P}$ : il existe un triangle non rectangle.

$\overline{P}$ est vraie, car les triangles équilatéraux ne sont jamais rectangles (trois angles de $\dfrac{\pi}{3}$ radians)

\item $P$ : Tout carré est un losange.

$\overline{P}$ : il existe un carré qui ne soit pas un losange.

$P$ est vraie ; les carrés sont des losanges particuliers.

\item $P$ : tout nombre premier est impair.

$\overline{P}$ : il existe un nombre premier pair.

$\overline{P}$ est vraie, car 2 est premier et pair (seul nombre premier pair).

\item $P$ : Il existe un réel $x$ tel que $x^{2}+x+1=0$

$\overline{P}$ : pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2+x+1\neq 0$

$\overline{P}$ est vraie, car $\Delta=-3<0$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Raisonnement par contre-exemple}}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} \\
Soit la propriété P : \og{} $\forall x\in\mathbb{R},\: x^{2}+2x+1\neq 0$. On veut montrer que cette proposition est fausse.\\
Il est équivalent de montrer que la proposition contraire non P $\exists x\in\mathbb{R},\:x^{2}+2x+1=0$ est vraie.\\
Autrement dit, il suffit d'exhiber un réel $x$ rendant nulle l'expression $x^{2}+2x+1$.\\

$x^2+2x+1=0\Leftrightarrow (x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1$ ; l'expresion s'annule pour $x=-1$.

\subsection{\textcolor{blue}{Raisonnement par contraposée}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}}
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que  : $\forall n\in \mathbb{N}$, $n$ impair $\Rightarrow n^2$ impair.

En effet : si $n$ est impair, il existe $p\in\mathbb{N}$ tel que $n=2p+1$. Alors $n^2=(2p+1)^2=4p^2+4p+1=2\left(2p^2+2p\right)+1=2q+1$ en posant $q=2p^2+2p\in\mathbb{N}$.

$n^2$ est donc impair

\item Démontrer que  : $\forall n\in \mathbb{N}$, $n^2$ impair $\Rightarrow n$ impair.

Cela équivaut à montrer que si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair.

Si $n$ ets pair, $n=2p$ donc $n^2=4p^2=2\times 2p^2$ donc $n^2$ est pair.

\item Ces deux propriétés se traduisent par une éuivalence : 

$n\text{ impair}\Leftrightarrow n^2\text{ impair}$
\end{enumerate}


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}}\\
Démontrer  la proposition  \og{}Soit $ x$ un nombre réel tel que pour tout  $ \varepsilon >0$,  $ x\leqslant
\varepsilon $. Alors  $ x\leqslant 0$.\fg

On montre la contraposée : si $x>0$, i existe $\varepsilon>0$ tel que $x>\varepsilon$.

Il suffit de prendre $x=\dfrac{\varepsilon}{2}$.

\subsection{\textcolor{blue}{Raisonnement par l'absurde}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition :}}
Le raisonnement par l'absurde est une forme de raisonnement logique, consistant soit à démontrer la vérité d'une proposition en prouvant l'absurdité de la proposition contraire, soit  à montrer la fausseté d'une proposition en déduisant logiquement des conséquences absurdes.
\end{bclogo}




\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}} démontrer que l'ensemble I des rationnels strictement supérieurs à 1 n'a pas de plus petit élément

\subsection{\textcolor{blue}{Raisonnement par récurrence}}


Nous avons vu ce type de raisonnement en cours.

\subsection{\textcolor{blue}{Raisonnement par disjonction des cas}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition :}}
Lors d'un raisonnement par disjonction des cas, on étudie tous les cas possibles en faisant au préalable un tri pour restreindre le nombre de cas à étudier.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, le produit $n(n + 1)$ est divisible par 2.\\

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $n$ est pair. $\exists k\in\mathbb{N}$ tel que $n=2k$.\\
Alors : $n+1=2k+1$ et $n(n+1)=2k(2k+1)=2[k(2k+1)]=2m$ avec $m=k(2k+1)\in\mathbb{N}$.\\
$n(n+1)$ est pair.

\item Deuxième cas :  $n$ est impair. $\exists k\in\mathbb{N}$ tel que $n=2k+1$.\\
Alors : $n+1=2k+2=2(k+1)$ et $n(n+1)=(2k+1)\times 2(k+1)=2[(k+1)(2k+1)]=2p$ avec $p=(k+1)(2k+1)\in\mathbb{N}$.\\
$n(n+1)$ est pair.
\end{enumerate}
 On en déduit que, dans tous les cas, $n(n+1)$ est pair.\\
 

\label{fin}
\end{document}  	