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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les suites}}\end{center}


%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou faux ?}}

%(Questions possibles au bac pour une Restitution Organisée des Connaissances ou un QCM).
%
%Répondre par vrai ou faux et justifier chaque réponse.

\begin{enumerate}
\item Si une suite n’est pas majorée, alors elle tend vers $+\infty$.

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : Soit une suite $\left(u_n\right)$ non majorée. Pour tout $A>0$, il existe un terme $u_n$ tel que $u_n>A$ .
Pour que la suite tende vers $+\infty$, il faudrait que \textbf{tous} les termes de la suite soient supérieurs à $A$ à partir d'un certain rang.

Contre-exemple : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=(-1)^n\times n}}$ ; pour tout $A>0$, il existe un terme de la suite (de rang pair) supérieur  A, mais comme la suite change alternativement de signe, elle ne peut tendre vers $+\infty$.

\item Si une suite n’est pas minorée alors elle tend vers $-\infty$.

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : même contre-exemple


\item Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers $+\infty$.

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple : $u_n=2-\dfrac{1}{n+1}$ ; $\left(u_n\right)$ est croissante mais $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=2}}$
\item Si une suite tend vers $+\infty$, alors elle n’est pas majorée.

\item Si une suite tend vers $+\infty$, alors elle est croissante.

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple : $u_n=n+(-1)^n$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(-1)^n\geqslant -1$ donc $u_n\geqslant n-1$ ; \\
or $\lim_{n\rightarrow +\infty}(n-1)=+\infty$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ (théorème de comparaison )

\item Étudions les variations de $\left(u_n\right)$ : 

$\forall n \in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n\\
=\left[n+1+(-1)^{n+1}\right]-\left[n+(-1)^n\right]\\
=\left[n+1+(-1)\times (-1)^n\right]-\left[n+(-1)^n\right]\\
=n+1-(-1)^n-n-(-1)^n\\
=1-2\times (-1)^n=\begin{cases}3\text{ si }n\text{ est impair}\\-1\text{ si }n\text{ est pair}\end{cases}$.

La suite $\left(u_n\right)$ n'est donc pas croissante.
\end{enumerate}

\item Toute suite bornée est convergente (c’est-à-dire possède une limite réelle).

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple : $u_n=(1)^n$. $\left(u_n\right)$ est divergente (pas de limite) mais est bornée par -1 et 1.

\item Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : c'est un théorème du cours.
\end{enumerate}



\subsection{}
Justifier les limites suivantes avec la définition :





\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} 2n+3=+\infty$

Soit $A>0$ un réel quelconque. On veut montrer qu'il existe $p$ tel que $n>p\Rightarrow 2n+3>A$.

Or $2n+3>A\Leftrightarrow n>\dfrac{A-3}{2}$ ; tout entier $p$ supérieur à $\dfrac{A-3}{2}$ convient.

  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} -n+6=-\infty$
  
Soit $A<0$ un réel quelconque. On veut montrer qu'il existe $p$ tel que $n>p\Rightarrow -n+6<A$.

Or $-n+6<AA\Leftrightarrow n>6-A$ ; tout entier $p$ supérieur à $6-A$ convient.
  
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^2=+\infty$
  
  Fait en cours !
  
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} 6-n^2=-\infty$
  
  Soit $A<0$ quelconque ; on cherche $p$ tel que $n>p\Rightarrow 6-n^2<A$.
  
  Or : $6-n^2<A\Leftrightarrow 6-A<n^2\Leftrightarrow \sqrt{6-A}<n$ (la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est croissante sur $[0~;~+\infty]$).
  
Tout entier $p$ supérieur à $\sqrt{6-A}$ convient.

\item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} 5\sqrt{n}=+\infty$

Soit $A>0$ un réel quelconque. On veut montrer qu'il existe $p$ tel que $n>p\Rightarrow 5\sqrt{n}>A$.

Or $5\sqrt{n}>A\Leftrightarrow 25n>A^2$ (la fonction carré est croissante sur $[0~;~+\infty[$) ; tout entier $p$ supérieur à $\dfrac{A^2}{25}$ convient.


  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{n^2+3}{n+1}=+\infty$.
  
 On cherche $a$, $b$ et $c$ tels que $\dfrac{n^2+3}{n+1}=an+b+\dfrac{c}{n+1}$.
 
 $an+b+\dfrac{c}{n+1}=\dfrac{(an+b)(n+1)+c}{n+1}=\dfrac{an^2+(a+b)n+b+c}{n+1}$.
 
 Pour que cette expression soit égale à $\dfrac{n^2+3}{n+1}$, les coefficients de $n^2$, $n$ et constant doivent être les mêmes au numérateur.
 
 D'où $\begin{cases}a=1\\a+b=0\\b+c=3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1\\b=-1\\c=4\end{cases}$
 
 Donc : $\dfrac{n^2+3}{n+1}=n-1+\dfrac{4}{n+1}$.
 
 $n-1+\dfrac{4}{n+1}>n-1$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}(n-1)=+\infty$ (évident !) donc, d'après un théorème de comparaison, \[\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{n^2+3}{n+1}\right)=+\infty}}.\]

On verra une autre méthode bientôt.
\end{enumerate}

\subsection{}
\textbf{L'exercice sera fait en cours !}
%
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer par récurrence que, pour pour tout réel  $x$ positif et tout $n\geq 0$ :\[(1+x)^n\geq1+nx\text{(inégalité de Bernoulli}\}.\]
%
%\item En déduire que, si $q>1$, $\lim_{n\rightarrow+\infty}q^n=+\infty$.
%
%\item En déduire la limite de $q^n$ lorsque $0<q<1$.
%
%\item En déduire la limite de $q^n$ lorsque $-1<q<0$.
%\end{enumerate}


\end{multicols}



\subsection{\textcolor{blue}{Exercice un peu difficile}}
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par :  
$u_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$,$u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+2}.$ 
\begin{enumerate} 
\item %Calculer les quatre premiers termes de la suite. 
On pose $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}$.

On obtient successivement : $u_0=\boxed{\textcolor{red}{1}}$ ; $u_1=f(1)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}}$ ; $u_2=f\left(\dfrac{5}{3}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{19}{11}}}$ ; $u_3=f\left(\dfrac{19}{11}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{71}{41}}}$

\item %On appelle $f$ la fonction, définie sur $]-3~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}$.

%Montrer que $f$ est croissante sur $]-2~;~+\infty[$.
$f'(x)=\dfrac{2(x+2)-(2x+3)}{(x+2)^2}=\dfrac{1}{(x+2)^2}>0$ donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur $]-2~;~+\infty[$.

\item %Calculer $f(1)$ puis montrer que $f(\sqrt{3})=\sqrt{3}$.
$f(1)=\dfrac{5}{3}$ ; $f(\sqrt{3})=\dfrac{2\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+2}=\dfrac{\sqrt{3}\left(2+\sqrt{3}\right)}{2+\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f\left(\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}}}$.

\item   %Prouver par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant1$.
Prouvons par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant1$ :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : pour $n=0$, $u_0=1\geqslant 1$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que la propriété est vraie au rang $n$, donc $u_n\geqslant 1$.

$f$ est croissante sur $\left]-2~;~+\infty\right[$ donc $f\left(u_n\right)\geqslant f(1)$, c'est-à-dire  $u_{n+1}\geqslant \dfrac{5}{3}>1$ donc $u_{n+1}\geqslant 1$.

La propriété est héréditaire.

D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$, donc $u_n\geqslant 1$.
\end{enumerate}

\item %Démontrer que la suite est majorée par $\sqrt{3}$.
Démontrons que la suite est majorée par $\sqrt{3}$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : pour $n=0$, $u_0=1\leqslant \sqrt{3}$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que la propriété est vraie au rang $n$, donc $u_n\leqslant \sqrt{3}$.

$f$ est croissante sur $\left]-2~;~+\infty\right[$ donc $f\left(u_n\right)\geqslant f\left(\sqrt{3}\right)$, c'est-à-dire  $u_{n+1}\geqslant \sqrt{3}$ puisque $f\left(\sqrt{4}\right)=\sqrt{3}$ donc $u_{n+1}\leqslant \sqrt{3}$.

La propriété est héréditaire.

D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$, donc $u_n\leqslant \sqrt{3}$.
\end{enumerate}


\item %Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Montrons par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante en montrant que, pour tout $n$, $u_{n+1}> u_n$ pour tout $n$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $u_1=\dfrac{5}{3}>1=u_0$ donc $u_1>u_0$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque donc $u_{n+1}>u_n$.

Comme $f$ est croissante, $f\left(u_{n+1}\right)>f\left(u_n\right)$ (conservation de l'ordre) donc $u_{n+2}>u_{n+1}$ : la propriété est héréditaire.

Elle est donc vraie pour tout $n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\end{enumerate}

\item On considère la suite $(v_n)$ définie par :  
pour tout $n\in\mathbb{N}$,\[v_n=\frac{u_n-\sqrt{3}}{u_n+\sqrt{3}}\].

\begin{enumerate} 
\item %Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
Montrons que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

Pour tout $n$, $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-\sqrt{3}}{u_{n+1}+\sqrt{3}}=\dfrac{\frac{2u_n+3}{u_n+2}-\sqrt{3}}{\frac{2u_n+3}{u_n+2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\dfrac{(2-\sqrt{3}u_n+3-2\sqrt{3})}{u_n+2}}{\dfrac{(2+\sqrt{3}u_n+3+2\sqrt{3})}{u_n+2}}\\
=\dfrac{(2-\sqrt{3})u_n+3-2\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})u_n+3-2\sqrt{3}}=\dfrac{(2-\sqrt{3})u_n-\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})u_n+\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}=\dfrac{(2-\sqrt{3})\left(u_n-\sqrt{3}\right)}{(2+\sqrt{3})\left(u_n+\sqrt{3}\right)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}v_n}}$.

On pose $q=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\dfrac{(2-\sqrt{3})^2}{2^2-\sqrt{3}^2}=\dfrac{4-4\sqrt{3}+3}{1}=\boxed{\textcolor{red}{7-4\sqrt{3}}}$.

$\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=7-4\sqrt{3}$.
  
\item %Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$  
Pour tout $n$, $v_n=v_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\times \left(7-4\sqrt{3}\right)^n}}$

$v_n=\dfrac{u_n-\sqrt{3}}{u_n=\sqrt{3}}\Leftrightarrow v_nu_n+v_n\sqrt{3}=u_n-\sqrt{3}\Leftrightarrow \sqrt{3}\left(v_n+1\right)=u_n\left(1-v_n\right)\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{u_n=\sqrt{3}\times \dfrac{1+v_n}{1-v_n}}}$

Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\sqrt{3}\times \dfrac{1+\dfrac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\times \left(7-4\sqrt{3}\right)^n}{1-\dfrac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\times \left(7-4\sqrt{3}\right)^n}}}$ pour tout $n$.
\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

%\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  