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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\[\fbox{\text{\Large{Devoir surveillé commun \no $2$ - TS - $20/01/18$ - durée : 4 heures}}}\]

\hfill\\
\\

\noindent\underline{\textbf{Exercice 1 : sur 5 points. Pour les élèves ne suivant pas la spécialité mathématique.}} \\
\\
 % inspiré des exercices : exo 2 Liban mai 2012, exo 1 Asie juin 2012  et exo 2 Pondichéry avril 2012
\emph{Les questions de cet exercice sont indépendantes.}

\noindent \emph{Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d'indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.}

\medskip

\begin{enumerate}[$1.$]
	\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ de représentations paramétriques respectives:
	\[
	\mathcal{D}_1 : \left\lbrace\begin{array}{rcl}
	x &= & 4 + \phantom{2}t\\
	y &= & 6 + 2t\\
	z &= & 4 - \phantom{2}t
	\end{array}\right.,\quad t\in \mathbb{R},\quad \text{et}\quad \mathcal{D}_2 : \left\lbrace\begin{array}{rcl}
	x &= & 8 + 5t'\\
	y &= & 2 - 2t'\\
	z &= & 6 + \phantom{2}t'
	\end{array}\right.,\quad t' \in \mathbb{R}.
	\]
%	\textbf{Affirmation: les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires.}\\
0,
Regardons si elles sont sécantes. Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient aux deux droites si, et seulement si, il existe un couple $(t~;~t')$ tel que $\begin{cases}4+t=8+5t'\\6+2t=2-2t'\\4-t=6+t'\end{cases}$.

La dernière équation donne $t'=-2-t$.

On remplace dans les deux autres équations : On obtient le système :

$\begin{cases}4+t=8-10-5t\\6+2t=2+4+2t\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}6t=-6\\6=6\end{cases}\Leftrightarrow t=-1$ . Le système a pour solution $(t~;~t')=(-1~;~-1)$.
Les deux droites se coupent au point de coordonnées $(3~;~4~;~5)$ donc sont \textbf{\textcolor{red}{coplanaires}} (\textbf{\textcolor{red}{VRAI}})


	\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points $A(12~;~7~;~-13)$ et $B(3~;~1~;~2)$ ainsi que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x + 2y - 5z = 1$.\\
	
0Le point $B(3;1;2)$ appartient au plan $\mathcal{P}$, car $3\times 3+2\times 1-5\times 2=1$.

Le vecteur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}
-9\\
-6\\
15
\end{pmatrix}$ est colinéaire à  un vecteur normal du plan: $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}
3\\
2\\
-5
\end{pmatrix}$: $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{n}$.

Le point $B$ est bien le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$ : \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}

	\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère la droite $\mathcal{D}$ dont on donne une représentation paramétrique, et le plan $\mathcal{P}$ dont on donne une équation cartésienne :  
	
	\[\mathcal{D} : \left\{\begin{array}{l c r}
	x&=&1 - 2t\\
	y&=&t\\
	z &=&- 5- 4t
	\end{array}\right. , \quad  t \in \mathbb{R}\quad \text{et}\quad  \mathcal{P} : \quad 3x + 2y -z -5 = 0.\] 
	
	\medskip
	
Il est évident que le point de coordonnées $(1~;~0~;~-5)$ appartient à $\mathcal{D}$ mais pas à $\mathcal{P}$. Donc, si parallélisme il y a, il est strict.\\
La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ si, et seulement si, un vecteur directeur $\overrightarrow{d}$ de $\mathcal{D}$ est orthogonal à un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ au plan $\mathcal{P}$. Gr‚ce aux équations, on a :
\[\overrightarrow{d} \begin{pmatrix}-2\\1\\-4\end{pmatrix} \text{ et } \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\2\\-1	\end{pmatrix} .\] 
Le repère est orthonormé donc : $\overrightarrow{d}\bot\overrightarrow{n} \Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{d}}\times x_{\overrightarrow{n}}+y_{\overrightarrow{d}}\times y_{\overrightarrow{n}}+z_{\overrightarrow{d}}\times z_{\overrightarrow{n}}=0$.\\
Ce que l'on vérifie facilement.\vspace{0,1cm}\\
Ainsi $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$ : \textbf{\textcolor{red}{VRAIE}}.	 

	\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère le point $A(1~;~9~;~0)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne : $\mathcal{P} : 4x - y - z + 3 = 0.$ 
	
	La distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale, d'après la formule du cours, à :
\[d\left(A;\mathcal{P}\right)=\dfrac{\left|4\times 1-9-0 +3\right|}{\sqrt{4^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{18}}\ne \dfrac{\sqrt{3}}{2}\]
L'affirmation est \textbf{\textcolor{red}{FAUSSE}}

	\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : 
	
	\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\]
	
	Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}$ et un vecteur normal au lan $\mathcal{P}'$ est $\overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$.
	
	Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires donc les deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants. Leur intersection est une droite.
	
	On remplace alors les expressions de $x$, $y$ et $z$ en fonction de $t'$ issues de la représentation paramétrique de $\Delta$ dans les équations cartésiennes de $\mathcal{D}$ et de $\mathcal{D}'$ : 
	
$1-t'-\left(-1-2t'\right)-t'=0$ et $1-t'+\left(-1-2t'\right)+3t'=0$.

Elles conviennent toutes deux donc $\Delta$ est l'intersection de ces deux plans : \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}.
 	
	\item \textbf{Bonus :} Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation : 
	
	\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0.\]
	
	\textbf{Affirmation : La sphère $\mathcal{S}$ de centre $O$ et de rayon $2$ est tangente au plan $\mathcal{P}$.}\\
	
	La distance entre O et le plan $\mathcal{P}$ est $\dfrac{\left\vert 0-0-0-2 \right\vert}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ne 0$ donc la sphère de centre O et de rayon 2 n'est pas tangente au plan $\mathcal{P}$ : \textbf{\textcolor{red}{FAUX}}
	\end{enumerate}
\hfill\\


\noindent\underline{\textbf{Exercice 1 : sur 5 points. Pour les élèves suivant la spécialité mathématiques }}% Amérique du Nord 2013
\\

\begin{enumerate}
\item %Trouver tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x) = x$ c'est-à-dire invariants par $g$.
On cherche tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x)=x$:

$g(x)=x \iff 4x+3 \equiv x \pmod{27} \iff 3x\equiv -3 \pmod{27}$

ce qui veut dire que $3x$ s'écrit $-3+27k$ où $k\in \mathbb{Z}$.

$x \in E \iff   0 \leqslant x \leqslant  26\Leftrightarrow  0 \leqslant 3x \leqslant 81$

Or $3x=-3+27k \text{ donc} 0 \leqslant  -3+27k \leqslant  81\Leftrightarrow 3 \leqslant  27k \leqslant  84\Leftrightarrow 
\dfrac{3}{27} \leqslant k \leqslant  \dfrac{84}{27}$.

Or $k$ est entier donc $k \in \left\{\rule{0pt}{9pt} \,1\,,\, 2\,,\, 3\, \right\}$.

Pour $k=1$, $3x=-3+27=24$ donc $x=8$;

pour $k=2$, $3x=-3+54=51$ donc $x=17$;

pour $k=3$, $3x=-3+81=78$ donc $x=26$.

Les éléments de $E$ invariants par $g$ sont 8, 17 et 26.


Les caractères invariants dans ce codage sont les caractères correspondant à 8,17 et 26 donc ce sont les caractères $i$, $r$ et $\star$.


\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $x$ appartenant à $E$ et tout entier naturel $y$ appartenant à $E$, si $y \equiv 4x + 3$  modulo 27 alors $x \equiv 7y + 6$ modulo 27.
 
Soient $x$ et $y$ deux éléments de $E$ tels que $y \equiv 4x+3 \pmod{27}$.

$y \equiv 4x+3 \pmod{27} \iff 7y \equiv 28x+21 \pmod{27}$; \\
or $21 \equiv -6 \pmod{27}$ et $28 \equiv 1 \pmod{27}$ donc $28x \equiv x \pmod{27}$

$7y \equiv 28x+21 \pmod{27} \iff 7y \equiv x-6 \pmod{27} \iff 7y+6 \equiv x \pmod{27} \\
\phantom{7y \equiv 28x+21 \pmod{27}} \iff x \equiv 7y+6 \pmod{27}$  

On suppose qu'il existe deux caractères $x$ et $x'$ de $E$ qui se codent par le même caractère  $y$ de $E$.

On a donc $x \equiv 7y+6 \pmod{27}$ et $x' \equiv 7y+6 \pmod{27}$ ce qui entraîne $x \equiv x' \pmod{27}$ donc on peut écrire $x=x'+27k$ où $k\in \mathbb{Z}$. 

Or $0\leqslant x\leqslant 26$ et $0\leqslant x'\leqslant 26$ donc $k=0$ et $x=x'$. 
 
Deux caractères distincts ne sont pas codés par un même caractère, donc deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts. 


\item %Proposer une méthode de décodage. 
Une méthode de décodage suit le même principe que la méthode de codage, en remplaçant la fonction $g$ par la fonction $f$ qui, à chaque élément $y$ de $E$, associe le reste de la division euclidienne de $7y+6$ par 27.

\item %Décoder le mot \og $vfv$ \fg. 
%$v$ correspond au nombre 21; $7\times 21 + 6 = 147 + 6=153$. \\
%Or $153=27 \times 5+18$ donc 18 est le reste de la division de 153 par 27. \\
%Le nombre 18 correspond à la lettre $s$.

On sait que la lettre $s$ se code en la lettre $v$, donc la lettre $v$ se décode en  $s$.

La lettre $f$ correspond au nombre $y=5$; $7y+6=7\times 5 + 6 = 35 + 6=41$. \\
Or $41=27\times 1+14$ donc 14 est le reste de la division de 41 par 27. \\
Le nombre 14 correspond à la lettre $o$.

Donc $v\,f \,v$ se décode en $s\,o\,s$.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}


\noindent\underline{\textbf{Exercice 2 : sur 1,5 points. Commun à tous les élèves }} \\ % Métropole septembre 2016

\noindent On estime qu'en $2013$ la population mondiale est composée de $4,6$ milliards de personnes âgées de $20$ à $79$ ans et que $46,1$ \% des personnes âgées de $20$ à $79$ ans vivent en zone rurale et $53,9$ \% en zone urbaine.\\
\\

\noindent En $2013$, d'après la fédération internationale du diabète, $9,9$ \% de la population mondiale âgée de $20$ à $79$ ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et $6,4$ \% de la population mondiale âgée de $20$ à $79$ ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète.\\

\noindent On interroge au hasard une personne âgée de $20$ à $79$ ans. On note :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $R$ l'évènement : \og la personne choisie habite en zone rurale \fg,
	\item $D$ l'évènement: \og la personne choisie est atteinte de diabète \fg.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On traduit cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité:


\bigskip

\begin{center}
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$R$}\naput{$0,461$}}
 	  { 
 		  \TR{$D$}\naput{$0,064$}
 		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-0,064=0,936$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{R}$}\nbput{$0,539$}}
 	  {
 		  \TR{$D$}\naput{$0,099$}
          \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-0,099=0,901$} 
     }
}
\end{center}

\bigskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que la personne interrogée soit diabétique est $P(D)$. 
		
D'après la formule des probabilités totales:
		
$P(D) = P(R \cap D) + P(\overline{R} \cap D) 
= P(R)\times P_R(D) + P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(D)\\
\phantom{P(D)}= 0,461\times 0,064 + 0,539 \times 0,099
= \numprint{0,029304} + \numprint{0,053361}
= \numprint{0,082865}\\
\phantom{P(D)} \approx 0,083$		
		
		\item La personne choisie est diabétique. La probabilité qu'elle habite en zone rurale est $P_D(R)$:
		
$P_D(R) = \dfrac{P(D\cap R)}{P(D)}
= \dfrac{\numprint{0,029504}}{\numprint{0,082865}}
\approx 0,356$

 	\end{enumerate}

\end{enumerate}
\hfill\\


\noindent\underline{\textbf{Exercice 3 : sur 3,5 points. Commun à tous les élèves }}%centres étrangers juin 2016\\
\\
Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d'aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l'on pose une question à chaque personne.

\bigskip

\emph{Les deux parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A : Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage}


\bigskip

On admet dans cette partie que la probabilité qu'une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0,6.
\begin{enumerate}
\item L'institut de sondage interroge 700 personnes. On note $X$ la variable aléatoire correspondant  au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse.
On a répétition d'épreuves identiques indépendantes à deux issues ; $X$ sui la loi binomiale $\mathcal{B}(700~;~0,6)$.

\item %Quelle est la meilleure approximation de $P(X\geqslant 400)$ parmi les nombres suivants ?
%\[0,92\hspace{2cm} 0,93\hspace{2cm}0,94\hspace{2cm}0,95.\]
$p(X\geqslant 400)=1-p(X<400)=1-p(X\leqslant 399)÷approx 0,9427$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p(X\geqslant 400)\approx 0,94}}$
\end{enumerate}

\item %Combien de personnes l'institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieur à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400.
On note $Y_n$ la variable aléatoire comptant le nombre de personnes répondent au sondage.

$Y_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n~;~0,6)$.

On doit avoir $p\left(Y_n\geqslant 400\right)>0,9\Leftrightarrow 1-p\left(Y_n\leqslant 399\right)>0,9\Leftrightarrow p\left(Y_n\leqslant 399\right)<0,1$.

On peut faire un tableau de valeurs à la calculatrice en prenant la fonction $n\mapsto p\left(Y_n\leqslant 399\right)$, en faisant varier $n$ par pas de 1.

On trouve $\boxed{\textcolor{red}{n=394}}$.
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{Partie C : Correction due à l'insincérité de certaines réponses}

\medskip

Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, 29\:\% affirment qu'elles sont favorables au projet.

L'institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d'entre elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit favorable peut :

\begin{itemize}
\item soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère.
\item soit être en réalité défavorable au projet si elle n'est pas sincère.
\end{itemize}

Par expérience, l'institut estime à 15\:\% le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l'opinion de la personne interrogée.

Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l'aide d'un modèle probabiliste. on prélève au hasard la fiche d'une personne ayant répondu, et on définit :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $F$  l'évènement \og{}la personne est en réalité favorable au projet\fg{} ;
\item[$\bullet$] $\overline{F}$  l'évènement \og{}la personne est en réalité défavorable au projet\fg{} ;
\item[$\bullet$] $A$ l'évènement \og{}la personne affirme qu'elle est favorable au projet\fg{};
\item[$\bullet$] $\overline{A}$ l'évènement \og{}la personne affirme qu'elle est défavorable au projet\fg{}.
\end{itemize}
Ainsi, d'après les données, on a $p(A) = 0,29$.



\begin{enumerate}
\item %En interprétant les données de l'énoncé, indiquer les valeurs de $P_F(A)$ et $P_{\overline{F}}(A)$.
$\boxed{\textcolor{red}{P_F(A)=0,85}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{P_{\overline{F}}(A)=0,15}}$

\item On pose $x = P(F)$.
\begin{enumerate}
\item %Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilité ci-contre.
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\taput{ $x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $0,85$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{ $0,15$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{F}$}\tbput{ $1-x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $0,15$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{ $0,85$}
}
}
\end{center}

\item %En déduire une égalité vérifiée par $x$
D'après la formule des probabilités totales, $P(A)=P_F(A)\times p(F)+P_{\overline{F}}(A)\times P\left(\overline{F}\right)=0,85x+0,15(1-x)$. Or $P(A)=0,29$.

Donc : $\boxed{\textcolor{red}{0,85x+0,15(1-x)=0,29}}$
\end{enumerate}
\medskip

\item %Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet.
On en déduit : $0,7x=0,14$ d'où $x=\dfrac{0,14}{0,7}=0,2$ : $\boxed{\textcolor{red}{x=0,2}}$.

Conclusion : 20\:\% des personnes sont réellement fadorables au projet.
\end{enumerate}

\noindent\underline{\textbf{Exercice 4 : sur 5 points. Commun à tous les élèves.}} \\ % Métropole septembre 2014

\medskip 

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.
 
%Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$. 
	\begin{enumerate}
	
		\item% Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
Comme 20\,\% du médicament est éliminé par minute, il en reste 80\,\%; prendre 80\,\% d'un nombre c'est multiplier par $0,8$ donc $u_{n+1}=0,8\,u_n$.

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,8$ et de premier terme  $u_0 = 10$.

		\item% Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
La suite $(u_n)$ es géométrique, donc pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = 10 \times 0,8^n$.

		\item% Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1\,\% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
La quantité de médicament est inférieure à 1\,\% de la quantité initiale quand $u_n < \dfrac{1}{100}\times u_0$ c'est-à-dire $u_n < 0,1$.

\emph{On trouve à la calculatrice que $u_{20}\approx 0,115>0,1$ et $u_{21}\approx 0,092 < 0,1$.}
		
	\end{enumerate} 

\item Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5~mL, la machine réinjecte 4~mL de produit.
Au bout de 15 minutes, on arrête la machine.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$.
L'algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
& \\[-5pt]
Variables :&$n$ est un entier naturel.\\
&$v$ est un nombre réel.\\ 
Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ 
Traitement :& 	Pour $n$ allant de 1 à 15\\ 
&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ 
Si $v < 5$ alors affecter à $v$ la valeur $v + 4$\\
Afficher $v$.\\
\end{tabular}\\  
&Fin de boucle.\\ 
& \\ \hline%[-5pt]
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme.
		
Le tableau ci-dessous donne la quantité restante de médicament minute par minute: 				
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{17}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 & 15 \\ \hline
$v_{n}$ &10 
&8 &6,4 &  \red 5,12 & \red 8,10 & \red 6,48 & \red 5,18 &8,15 &6,52 &5,21 &8,17 &6,54 &5,23 &8,18 &6,55 &5,24\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item% Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
Les 15 premières minutes, le patient a absorbé 10~mL au début, 	puis 4~mL les minutes 4, 7, 10 et 13 soit 16~mL; ce qui fait un total de 26~mL.	
		
		
		\item On programme la machine afin qu'elle injecte 2~mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6~mL et qu'elle s'arrête au bout de 30~minutes.
		 
%Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.

L'algorithme suivant affiche la quantité de médicament restant dans le sang minute par minute:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
& \\[-5pt]
Variables :&$n$ est un entier naturel.\\
&$v$ est un nombre réel.\\ 
Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ 
Traitement :& 	Pour $n$ allant de 1 à {\red 30}\\ 
&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ 
Si ${\red v \leqslant 6}$ alors affecter à $v$ la valeur ${\red v+2}$\\
Afficher $v$.\\
\end{tabular}\\  
&Fin de boucle.\\ 
& \\\hline
\end{tabular}
\end{center} 


	\end{enumerate} 
\item On programme la machine de façon que :

\begin{itemize}
\item à l'instant 0, elle injecte 10~mL de médicament, 
\item toutes les minutes, elle injecte 1~mL de médicament.
\end{itemize}
 
On estime que 20\,\% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.
Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes. 

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$. 
Comme 20\,\% du médicament est éliminé chaque minute, il en reste 80\,\% donc on multiplie par 0,8.
De plus, toutes les minutes, on rajoute 1 mL.

On peut donc dire que, pour tout $n$, $w_{n+1}=0,8w_n+1$.		
		
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$, donc $w_n=z_n+5$. 

%Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 

$z_{n+1}= w_{n+1}-5 = 0,8w_n+1-5 = 0,8 \left (z_n+5\right ) - 4 = 0,8\,z_n+4-4 = 0,8\,z_n$

$z_0 = w_0-5$; or à l'instant 0, on injecte 10~mL donc $w_0=10$. On a donc $z_0=5$.

La suite $(z_n)$ est donc géométrique de premier terme $z_0=5$ et de raison $q=0,8$.

		\item% En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
D'après les propriétés des suites géométriques, on peut dire que, pour tout $n$:
$z_n= z_0 \times q^n = 5 \times 0,8^n$.

Or $w_n=z_n+5$ donc, pour tout $n$, $w_n = 5 \times 0,8^n + 5$.
		 
		\item% Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner?
La suite $(z_n)$ est géométrique de raison 0,8; or $-1<0,8 <1$ donc la suite $(w_n)$ est convergente vers 0. D'après les théorèmes sur les limites de suite, on peut en déduire que la suite $(w_n)$ est convergente et a pour limite 5.

Cela veut dire que, si on poursuit ce traitement, la quantité de médicament présente dans le sang du patient va se rapprocher de 5~mL.

	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 




\noindent\underline{\textbf{Exercice 5 : sur 5 points. Commun à tous les élèves }} \\ %proposition Pierre

\begin{enumerate}
	\item Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[g(x)=x^3-3x-3\]
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item %Etudier le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$.
		$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x)=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)=3(x+1)x-1$.
		
		$g'(x)$ s'annule en -1 et en 1 ; c'est un polynôme du second degré, qui est positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur des racines, donc sur $]-\infty~;~-1]$ et sur $[1~;~+\infty[$.
		
		$\forall x \ne 0,~g(x)=x^3\left(1-\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}\right)$.
		
		$\lim_{x\rightarrow ±\infty}\left(1-\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}\right)=1$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$ (mimites de $x^3$)
%		
		On en déduit le tableau de variation :
		\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&1&&\pI\\
\hline
g'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\mI&\c&\h{-1}&\d&-5&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

		\item %Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution que l'on notera $\alpha$. 
		Sur $]-\infty~;~1[$, $g(x)<0$ donc l'équation $g(x)=0$ n'admet pas de solution.
		
		Sur $[1~;~=\infty[$, $g$ est continue (fonction olynôme), $g(1)=-5<0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$ donc $g(x)$ prend des valeurs positives.
		
		D''après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet une solution dans l'intervalle $[1~;~+\infty[$; Comme $g$ est croissante sur cet intervalle, cette olution est unique. Notpn,s-la $\alpha$.
		
		\item %Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
		À la calculatrice, par encadrements successifs, on trouve $2,10<\alpha<2,11$.
		
		\item %Déterminer le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
		Signe de $g(x)$ : 
\begin{center}
		\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
	\end{enumerate}
	
	\item Soit $f$ la fonction définie sur $\left] 1 \ ; \ +\infty \right[$ par :
\[	f(x)=\dfrac{2x^3+3}{x^2-1}\]
	On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item %Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les équations des asymptotes éventuelles.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item Limite en $-\infty$ : pour $x\ne 0$, $f(x)=\dfrac{x^3\left(2+\frac{3}{x^3}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{x\left(2+\frac{3}{x^3}\right)}{1-\frac{1}{x^2}}$.
%
%$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(2+\dfrac{3}{x^3}\right)=2$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$.

\item Limite en $+\infty$ : 

Pour $x\ne 0$, $f(x)=\dfrac{x^3\left(2+\frac{3}{x^3}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{x\left(2+\frac{3}{x^3}\right)}{1-\frac{1}{x^2}}$.

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(2+\dfrac{3}{x^3}\right)=2$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty}}$.


%\item Limite en -1 :
%
%$\lim_{x\rightarrow -1}\left(2x^3+3\right)=1>0$
%
%$\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x<-1}}\left(x^2-1\right)=0$ avec $x^2-1>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x<-1}}f(x)=+\infty}}$.
%
%\bigskip
%
%$\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x>-1}}\left(x^2-1\right)<0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -1\\x<-1}}f(x)=-\infty}}$

\item Limite en $1$ :
$\lim_{x\rightarrow 1}\left(2x^3+3\right)=5>0$.

%$\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x<1}}\left(x^2-1\right)=0$ avec $x^2-1<0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x<1}}f(x)=-\infty}}$.
%
%\bigskip

$\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}\left(x^2-1\right)=0$ avec $x^2-1>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}f(x)=+\infty}}$.

\end{enumerate}
		
		\item %Démontrer que, sur $\left] 1 \ ; \ +\infty \right[$, $f'(x)$ a le même signe que $g(x)$.
		$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=2x^3\\v(x)=x^2-1\end{cases}$.
		
		$f$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables et $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=6x^2\\v'(x)=2x\end{cases}$.
		
		On en déduit : $f'(x)=\dfrac{6x^2\left(x^2-1\right)-2x\left(2x^3+3\right)}{\left(x^2-1\right)^2}=\dfrac{2x\left(3x\left(x^2-1\-\left(2x^2+3\right)\right)\right)}{\left(x^2-1\right)^2}=\dfrac{2x\left(x^3-3x-3\right)}{\left(x^2-1\right)^2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{2xg(x)}{\left(x^2-1\right)^2}}}$.
		
		Sur $[1~;~+\infty[$, $2x$ et $x^2-1$ sonr positifs donc $f'(x)$ est du même signe de $g(x)$.
		
		\item %En déduire le sens de variation de $f$ sur $\left] 1 \ ; \ +\infty \right[$.
		Tabeau de variation de $f$ sur $[1~;~+\infty[$ :
\begin{center}
		\begin{variations}
x&1&&&\alpha&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
f(x)&\bb&\h{\mI}&\d&f(\alpha)&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

		\item %En utilisant la définition de $\alpha$, démontrer que $f(\alpha)=3\alpha$. En déduire un encadrement du minimum de $f$.
		Par définition, $g(\alpha)=0\Leftrightarrow \alpha^3=3\alpha+3$.
		
		Alors : $f(\alpha)=\dfrac{2\alpha^3+3}{\alpha^2-1}=\dfrac{2(3\alpha+3)+3}{\alpha^2-1}=\dfrac{6\alpha+9}{\alpha^2-1}=\dfrac{3(2\alpha+3)}{\alpha^2-1}=\dfrac{3\alpha(2\alpha+3)}{\alpha\left(\alpha^2-1\right)}=\dfrac{3\alpha(2\alpha+3)}{3\alpha+3-\alpha}=\dfrac{3\alpha(2\alpha+3)}{2\alpha+3}=3\alpha$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(\alpha)=3\alpha}}$.
		
		\item On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2x$. Etudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{D}$.
		
		$\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1~;~1\right\}$, $f(x)-2x=\dfrac{2x^3+3}{x^2-1}-2x=\dfrac{2x^3+3-2x\left(x^2-1\right)}{x^2-1}=\dfrac{2x+3}{x^2-1}$.
		
		Étudions le signe de cette expression :

		On a déjà étudié le signe de $x^2-1$
		
		$2x+3$ s'annule pour $x=-\dfrac{3}{2}$ et est positif pour $x\geqslant -\dfrac{3}{2}$.
		
\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes}} :
		
\begin{center}
		\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{3}{2}&&-1&&1&&\pI\\
\hline
2x+3&&-&\z&+&\bb&-&\bb&+&\\
\hline
x^2-1&&+&\l&+&\bb&-&\bb&+&\\
\hline
f(x)-2x=\dfrac{2x+3}{x^2-1}&&-&\z&+&\bb&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

On en déduit que $\mathcal{C}$ est en dessous de $\mathcal{D}$ pour $x\in\left]-\infty~;~-\dfrac{3}{2}\right]\cup]-1~;~1[$ et au-dessus pour $x\in\left[-\dfrac{3}{2}-1\right[\cup]1~;~+\infty[$.

$\mathcal{C}$ est donc au-dessus de $\mathcal{D}$ pour $x>1$.

		\item %Déterminer l'abscisse du ou des points de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente est parallèle à la droite $\mathcal{D}$. 
$\mathcal{D}$ a pour coefficient directeur 2 ; la tangente à un point d'abscisse $x$ a pour coefficient directeur $f'(x)$.

On résout l'équation $f'(x)=2$.

$f'(x)=2\Leftrightarrow \dfrac{2xg(x)}{\left(x^2-1\right)^2}=2\Leftrightarrow \dfrac{xg(x)}{\left(x^2-1\right)^2}=1\Leftrightarrow xg(x)=\left(x^2-1\right)^2\Leftrightarrow x\left(x^3-3x-3\right)=x^4-2x^2+1\Leftrightarrow -x^2-3x-1=0\\
\Leftrightarrow x^2+3x+1=0$.

$\Delta=5>0$ ; il y a deux solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathcal{S}=\left\{\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}~;~\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}\right\}}}$. (aucune dans l'intervalle $]1~;~+\infty[$)
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\newpage


Voilà la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$ (non demandées) :

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-8.)(7.,8.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5.,-8.)(7.,8.)
\psgrid[subgriddiv=1](-5.,-8.)(7.,8.)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{7.0}{(2.0*x^(3.0)+3.0)/(x^(2.0)-1.0)}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-5.0}{7.0}{2.0*x}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](-1,-8)(-1,8)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](1,-8)(1,8)
\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](2,4){$\mathcal{D}$}
\uput[ur](0,-3){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}

\end{center}


\label{fin}
\end{document}
